2-группа

В математике , A 2-группа , или 2-мерный выше , группа , определенная комбинация группы и группоиде . 2-группы являются частью более крупной иерархии n -групп . В некоторой литературе 2-группы также называются gr-категориями или групповыми группоидами .

Определение [ править ]

2-группа - это моноидальная категория G, в которой каждый морфизм обратим и каждый объект имеет слабый обратный. (Здесь слабым обратным объектом x является объект y, такой что xy и yx оба изоморфны единичному объекту.)

Строгие 2 группы [ править ]

Большая часть литературы посвящена строгим 2-группам . Строгая 2-группа - это строгая моноидальная категория, в которой каждый морфизм обратим, и каждый объект имеет строгий обратный (так что xy и yx фактически равны единичному объекту).

Строгая 2-группа - это групповой объект в категории категорий ; как таковые, их также называют групповыми категориями . И наоборот, строгая 2-группа является категориальным объектом в категории групп ; как таковые, их также называют категориальными группами . Их также можно идентифицировать с помощью скрещенных модулей , и они наиболее часто изучаются в такой форме. Таким образом, 2-группы в целом можно рассматривать как ослабление скрещенных модулей .

Каждая 2-группа эквивалентна строгой 2-группе, хотя это невозможно сделать когерентно: она не распространяется на гомоморфизмы 2-групп.

Свойства [ править ]

Слабые обратные всегда может быть назначены последовательно: один можно определить функтор на любой 2-группу G , что правопреемники слабый обратные к каждому объекту и делает что -то объект сопряженной эквивалентности в моноидальной категории G .

Учитывая бикатегорию Б и объект х из B , существует автоморфизм 2-группа из й в B , написанная Аи _В ( х ). Объекты являются автоморфизмами из х , с умножением данной композицией, а морфизмы являются обратимыми 2-морфизмами между ними. Если B - 2-группоид (так что все объекты и морфизмы слабо обратимы) и x - его единственный объект, то Aut _B ( x ) - единственные данные, оставшиеся в B. Таким образом, 2-группы можно отождествлять с 2-группоидами с одним объектом, так же как группы можно отождествлять с группоидами с одним объектом, а моноидальные категории можно отождествлять с бикатегориями с одним объектом.

Если G является строгой 2-группой, то объекты G образуют группу, называемую основной группой из G и письменной G ₀ . Это не сработает для произвольных 2-х групп; однако, если идентифицировать изоморфные объекты, то классы эквивалентности образуют группу, называемую фундаментальной группой группы G и записываемой как π ₁ ( G ). (Обратите внимание, что даже для строгой 2-группы фундаментальная группа будет только фактор-группой основной группы.)

В моноидальной категории, любая 2-группа G имеет единичный объект I _G . Группа автоморфизмов из I _G является абелевой группой по аргументу Экманн-Hilton , написанный Aut ( я _G ) или π ₂ ( G ).

Фундаментальная группа группы G действует по обе стороны от π ₂ ( G ), а ассоциатор группы G (как моноидальная категория) определяет элемент группы когомологий H ³ (π ₁ ( G ), π ₂ ( G )). Фактически, 2-группы классифицируются следующим образом: для группы π ₁ , абелевой группы π ₂ , группового действия π ₁ на π ₂ и элемента из H ³ (π ₁ , π ₂ ) существует уникальный ( доэквивалентности) 2-группа G с π ₁ ( G ), изоморфной π ₁ , π ₂ ( G ) изоморфной π ₂ , а остальные данные соответствуют.

Элемент группы H ³ (π ₁ , π ₂ ), ассоциированный с 2-группой, иногда называют ее инвариантом Sinh , поскольку он был разработан учеником Гротендика Хоанг Суан Синь .

Фундаментальная 2-группа [ править ]

Учитывая топологическое пространство X и точку й в этом пространстве, существует фундаментальная 2-группа из X в й , записывается Π ₂ ( Х , х ). Как моноидальная категория, объекты представляют собой петли в точке x с умножением, задаваемым конкатенацией, а морфизмы - это сохраняющие базовую точку гомотопии между петлями, причем эти морфизмы идентифицированы, если они сами гомотопны.

Наоборот, для любой 2-группы G можно найти единственное (с точностью до слабой гомотопической эквивалентности ) точечное связное пространство (X, x) , фундаментальная 2-группа которого есть G, а гомотопические группы π _n тривиальны при n > 2. В таким образом, 2-группы классифицируют точечно-связные слабые гомотопические 2-типы. Это обобщение конструкции пространств Эйленберга – Маклейна .

Если Х представляет собой топологическое пространство с Basepoint х , то фундаментальная группа из X в й такой же , как фундаментальная группе фундаментальной 2-группы X в х ; это,

{\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x) = \ pi _ {1} (\ Pi _ {2} (X, x)). \!}

Этот факт является источником термина «фундаментальный» в обоих его 2-групповых примерах.

По аналогии,

{\ displaystyle \ pi _ {2} (X, x) = \ pi _ {2} (\ Pi _ {2} (X, x)). \!}

Таким образом, и первая, и вторая гомотопические группы пространства содержатся в его фундаментальной 2-группе. Поскольку эта 2-группа также определяет действие π ₁ ( X , x ) на π ₂ ( X , x ) и элемент группы когомологий H ³ (π ₁ ( X , x ), π ₂ ( X , x ) ), это именно те данные , необходимые для формирования Постникова башни из X , если Х представляет собой заостренный подключенный гомотопический 2-типа.

См. Также [ править ]

N-группа (теория категорий)
Абелева 2-группа

Ссылки [ править ]

Джон К. Баез и Аарон Д. Лауда, Многомерная алгебра V: 2-группы , теория и приложения категорий 12 (2004), 423–491.
Джон К. Баэз и Дэнни Стивенсон, Классифицирующее пространство топологической 2-группы .
Р. Браун и П. Дж. Хиггинс, Классифицирующее пространство скрещенного комплекса, Math. Proc. Camb. Фил. Soc. 110 (1991) 95-120.
Р. Браун , П. Дж. Хиггинс, Р. Сивера, Неабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды, EMS Tracts in Mathematics Vol. 15, 703 с. (2011).
Хендрик Пфайффер, 2-группы, тригебры и их категории Хопфа представлений , Adv. Математика. 212 № 1 (2007) 62–108.
Хоанг Сюань Синь , Gr-категории , диссертация, 1975.

Двойные группоиды и гомотопические 2-типы

Внешние ссылки [ править ]

2-группа в nLab
2008 Семинар по категориальным группам в Центре исследования математики