Бикатегория

В математике , бикатегория (или слабая 2-категория ) представляет собой понятие в теории категорий используются для расширения понятия категории обрабатывать случаи , когда композиция морфизмов не является (строго) ассоциативна , но только ассоциативной до с изоморфизмом . Это понятие было введено в 1967 году Жаном Бенабу .

Бикатегории можно рассматривать как ослабление определения 2-категорий . Аналогичный процесс для 3-категорий приводит к трикатегориям и, в более общем смысле, к слабым n -категориям для n -категорий .

Определение [ править ]

Формально бикатегория B состоит из:

• объекты a , b , ... называются 0- ячейками ;
• морфизмы f , g , ... с фиксированными исходными и целевыми объектами, называемыми 1- клетками ;
• «морфизмы между морфизмами» ρ, σ, ... с фиксированными исходными и целевыми морфизмами (которые сами должны иметь один и тот же источник и одну и ту же цель), называемые 2- ячейками ;

с еще некоторой структурой:

• для двух объектов a и b существует категория B ( a , b ), объекты которой являются 1-клетками, а морфизмы - 2-клетками. Композиция в этой категории называется вертикальной композицией ;
• для трех объектов a , b и c существует бифунктор, называемый горизонтальной композицией .${\ displaystyle *: \ mathbf {B} (b, c) \ times \ mathbf {B} (a, b) \ to \ mathbf {B} (a, c)}$

Требуется, чтобы горизонтальная композиция была ассоциативной с точностью до естественного изоморфизма α между морфизмами и . Более того, требуется выполнение еще некоторых аксиом когерентности , подобных тем, которые необходимы для моноидальных категорий : моноидальная категория - это то же самое, что и бикатегория с одной 0-клеткой.${\ displaystyle h * (g * f)}$${\ displaystyle (h * g) * f}$

Ссылки [ править ]

• Ж. Бенабу. «Введение в бикатегории, часть I». В Отчетах о семинаре категории Среднего Запада , Конспект лекций по математике 47, страницы 1-77. Спрингер, 1967.

Внешние ссылки [ править ]

• Бикатегория в nLab