Неопределенная форма

В исчислении и других разделах математического анализа пределы, включающие алгебраическую комбинацию функций от независимой переменной, часто могут быть оценены путем замены этих функций их пределами ; если выражение, полученное после этой подстановки, не дает достаточной информации для определения исходного предела, то выражение называется неопределенной формой . Более конкретно, неопределенная форма - это математическое выражение, включающее не более двух из или , полученное путем применения алгебраической предельной теоремы . ${\ Displaystyle 0 ~}$ ${\ Displaystyle 1}$ ${\ Displaystyle \ infty}$ в процессе попытки определить предел, который не может ограничить этот предел одним конкретным значением или бесконечностью и, таким образом, не определяет искомый предел. Предел, подтвержденный как бесконечность, не является неопределенным, поскольку определено, что он имеет определенное значение (бесконечность). ^[1] Термин был первоначально введен учеником Коши Мойньо в середине 19-го века.

Наиболее распространенный пример неопределенной формы возникает при определении предела отношения двух функций, при котором обе эти функции в пределе стремятся к нулю, и называется «неопределенной формой ». Например, при приближении отношения , , и переходят к , , и соответственно. В каждом случае, если подставить пределы числителя и знаменателя, результирующее выражение равно , которое не определено. Грубо говоря, может принимать значения , или , и легко построить подобные примеры, для которых пределом является любое конкретное значение. ${\ Displaystyle 0/0}$ ${\ Displaystyle х}$ ${\ Displaystyle 0 ~}$ ${\ Displaystyle х / х ^ {3}}$ ${\ Displaystyle х / х}$ ${\ Displaystyle х ^ {2} / х}$ ${\ Displaystyle \ infty}$ ${\ Displaystyle 1}$ ${\ Displaystyle 0 ~}$ ${\ Displaystyle 0/0}$ ${\ Displaystyle 0/0}$ ${\ Displaystyle 0 ~}$ ${\ Displaystyle 1}$ ${\ Displaystyle \ infty}$

Итак, учитывая, что две функции и обе приближаются по мере приближения к некоторой предельной точке , сам по себе этот факт не дает достаточно информации для оценки предела . ${\ Displaystyle е (х)}$ ${\ Displaystyle г (х)}$ ${\ Displaystyle 0 ~}$ ${\ Displaystyle х}$ ${\ Displaystyle с}$