Этальный морфизм

Было высказано предположение , что Этальная алгебра быть объединена в эту статью. ( Обсудить ) Предлагается с января 2021 года.

В алгебраической геометрии , этальна морфизм ( французский:  [идр] ) морфизм схем , который формально этальна и локально конечной презентации. Это алгебраический аналог понятия локального изоморфизма в комплексной аналитической топологии. Они удовлетворяют условиям теоремы о неявной функции , но поскольку открытые множества в топологии Зарисского настолько велики, они не обязательно являются локальными изоморфизмами. Несмотря на это, этальные отображения сохраняют многие свойства локальных аналитических изоморфизмов и полезны при определении алгебраической фундаментальной группы и этальной топологии .

Слово étale - это французское прилагательное , которое означает «слабый», как в «слабом приливе», или, образно говоря, спокойный, неподвижный, что-то, что нужно уладить. ^[1]

Определение

Позвольте быть гомоморфизмом колец . Это делает в алгебру. Выберите унитарный многочлен в и полином в таком , что производная от является единицей . Мы говорим, что это стандартная эталь, если и может быть выбрана так, что она изоморфна в качестве -алгебры и является каноническим отображением.${\ displaystyle \ phi: R \ to S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle R [x]}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle R [x]}$ ${\ displaystyle f '}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle (р [х] / fR [х]) _ {g}}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle (р [х] / fR [х]) _ {g}}$${\ displaystyle \ phi}$

Позвольте быть морфизм схем . Мы говорим , что это этально тогда и только тогда , когда она имеет какую - либо из следующих эквивалентных свойств:${\ displaystyle f: X \ to Y}$${\ displaystyle f}$

1. ${\ displaystyle f}$является плоским и неразветвленным . ^[2]
2. ${\ displaystyle f}$является гладким морфизмом и неразветвлен. ^[2]
3. ${\ displaystyle f}$плоский, локально конечного представления , и для каждого in слой представляет собой несвязное объединение точек, каждая из которых является спектром конечного сепарабельного полевого расширения поля вычетов . ^[2]${\ displaystyle y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (y)}$${\ Displaystyle \ каппа (у)}$
4. ${\ displaystyle f}$плоский, локально конечного представления, и для каждого in и каждого алгебраического замыкания поля вычетов геометрический слой представляет собой несвязное объединение точек, каждая из которых изоморфна . ^[2]${\ displaystyle y}$${\ displaystyle Y}$${\displaystyle k'}$${\displaystyle \kappa (y)}$${\displaystyle f^{-1}(y)\otimes _{\kappa (y)}k'}$${\displaystyle {\mbox{Spec }}k'}$
5. ${\displaystyle f}$является гладким морфизмом относительной размерности нуль. ^[3]
6. ${\displaystyle f}$является гладким морфизмом и локально квазиконечным морфизмом . ^[4]
7. ${\displaystyle f}$ локально конечного представления и локально является стандартным этальным морфизмом, т. е.

   Для каждого в , пусть . Тогда существует открытая аффинная окрестность Spec R из и аффинной окрестности открытой Spec S из таких , что F (Spec S ) содержатся в Spec R и таким образом, что кольцевой гомоморфизм R → S , индуцированный является стандартным этально. ^[5]${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$

8. ${\displaystyle f}$локально конечного представления и формально этальна . ^[2]
9. ${\displaystyle f}$локально конечного представления и формально этальна для отображений из локальных колец, то есть:

   Пусть A - локальное кольцо и J - идеал кольца A такой, что J ² = 0 . Установите Z = Spec A и Z ₀ = Spec A / J , и пусть i  : Z ₀ → Z будет каноническим замкнутым погружением. Обозначим через z замкнутую точку Z ₀ . Пусть h  : Z → Y и g ₀  : Z ₀ → X- морфизмы такие, что f ( g ₀ ( z )) = h ( i ( z )) . Тогда существует единственный Y -морфизм g  : Z → X такой, что gi = g ₀ . ^[6]

Предположим, что она локально нётерова, а f локально конечного типа. Для in , пусть и пусть будет индуцированное отображение на завершенных локальных кольцах. Тогда следующие эквиваленты:${\displaystyle Y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{Y,y}\to {\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}}$

1. ${\displaystyle f}$ эталь.
2. Для каждого in индуцированное отображение на пополненных локальных кольцах формально является этальным для адической топологии. ^[7]${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$
3. Для каждого дюйма , является свободным модулем и волокно представляет собой поле , которое является конечным разъемным расширением поля вычетов поля . ^[7] (Вот максимальный идеал .)${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}}$${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{Y,y}}$${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}/m_{y}{\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}}$${\displaystyle \kappa (y)}$${\displaystyle m_{y}}$${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{Y,y}}$
4. f формально этальна для отображений локальных колец со следующими дополнительными свойствами. Локальное кольцо A можно считать артиновым. Если m - максимальный идеал A , то можно предположить , что J удовлетворяет mJ = 0 . Наконец, морфизм полей вычетов κ ( y ) → A / m можно считать изоморфизмом. ^[8]

Если вдобавок все отображения на полях вычетов являются изоморфизмами или если они сепарабельно замкнуты, то эталны тогда и только тогда, когда для каждого in индуцированное отображение на завершенных локальных кольцах является изоморфизмом. ^[7]${\displaystyle \kappa (y)\to \kappa (x)}$${\displaystyle \kappa (y)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$

Примеры

Любое открытое погружение является этальным, поскольку является локальным изоморфизмом.

Накрывающие пространства образуют примеры этальных морфизмов. Например, если - целое число, обратимое в кольце, то${\displaystyle d\geq 1}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\text{Spec}}(R[t,t^{-1},y]/(y^{d}-t))\to {\text{Spec}}(R[t,t^{-1}])}$

является морфизмом этальной степени .${\displaystyle d}$

Любое разветвленное покрытие имеет неразветвленный локус.${\displaystyle \pi :X\to Y}$

${\displaystyle \pi :X_{un}\to Y_{un}}$

который является эталоном.

Морфизмы

${\displaystyle {\text{Spec}}(L)\to {\text{Spec}}(K)}$

индуцированные конечными сепарабельными расширениями полей являются этальными - они образуют арифметические накрывающие пространства с группой преобразований колоды, задаваемой .${\displaystyle {\text{Gal}}(L/K)}$

Любой гомоморфизм колец вида , где все являются многочленами, а определитель Якоби является единицей в , является этальным. Например, морфизм этальный и соответствует степени покрытия пространства группой преобразований колоды.${\displaystyle R\to S=R[x_{1},\ldots ,x_{n}]_{g}/(f_{1},\ldots ,f_{n})}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle \det(\partial f_{i}/\partial x_{j})}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {C} [t,t^{-1}]\to \mathbb {C} [x,t,t^{-1}]/(x^{n}-t)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}\in Sch/\mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$

Продолжая предыдущий пример, предположим, что у нас есть морфизм гладких комплексных алгебраических многообразий. Поскольку задается уравнениями, мы можем интерпретировать его как карту комплексных многообразий. Всякий раз, когда якобиан отличен от нуля, является локальным изоморфизмом комплексных многообразий по теореме о неявной функции . В предыдущем примере наличие ненулевого якобиана равносильно этальному.${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

Пусть - доминантный морфизм конечного типа с X , Y локально нётеровым, неприводимым и Y нормальным. Если f не разветвлен , то он этален. ^[9]${\displaystyle f:X\to Y}$

Для поля K любая K -алгебра A обязательно плоская. Следовательно, A является этальной алгеброй тогда и только тогда, когда она неразветвлена, что также эквивалентно

${\displaystyle A\otimes _{K}{\bar {K}}\cong {\bar {K}}\oplus ...\oplus {\bar {K}},}$

где - сепарабельное замыкание поля K, а правая часть - конечная прямая сумма, все слагаемые которой равны . Эта характеристика этальных K -алгебр является ступенькой в ​​переосмыслении классической теории Галуа (см . Теорию Галуа Гротендика ).${\displaystyle {\bar {K}}}$${\displaystyle {\bar {K}}}$

Характеристики

• Этальные морфизмы сохраняются при изменении состава и основы.
• Этальные морфизмы локальны на источнике и на основании. Другими словами, является этальным тогда и только тогда, когда для каждого покрытия открытыми подсхемами ограничение на каждую из открытых подсхем покрытия является этальным, а также тогда и только тогда, когда для каждого покрытия открытыми подсхемами индуцированные морфизмы этальны. для каждой подсхемы покрытия. В частности, можно проверить свойство быть этальным на открытых аффинах .${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f_{(U)}:X\times _{Y}U\to U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V=\operatorname {Spec} (B)\to U=\operatorname {Spec} (A)}$
• Продукт конечного семейства этальных морфизмов этален.
• Для конечного семейства морфизмов дизъюнктное объединение является этальным тогда и только тогда, когда каждое из них этально.${\displaystyle \{f_{\alpha }:X_{\alpha }\to Y\}}$${\displaystyle \coprod f_{\alpha }:\coprod X_{\alpha }\to Y}$${\displaystyle f_{\alpha }}$
• Пусть и , и предположим, что это неразветвленный и этальный. Тогда это эталь. В частности, если и этальны , то любой -морфизм между и этален.${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle g:Y\to Z}$${\displaystyle g}$${\displaystyle gf}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X'}$
• Квазикомпактные этальные морфизмы квазиконечны .
• Морфизм является открытым погружением тогда и только тогда, когда он этален и радиален . ^[10]${\displaystyle f:X\to Y}$
• Если этально и сюръективно, то (конечно или иначе).${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \dim X=\dim Y}$

Теорема об обратной функции

Этальные морфизмы

е : X  →  Y

являются алгебраическим аналогом локальных диффеоморфизмов . Более точно, морфизм между гладкими многообразиями этален в точке тогда и только тогда, когда дифференциал между соответствующими касательными пространствами является изоморфизмом. Это , в свою очередь , именно условие , необходимое для того , чтобы карта между многообразием является локальным диффеоморфизмом, т.е. для любой точки у ∈ Y , существует открытая окрестность U от х , таких , что сужение F на U является диффеоморфизмом. Этот вывод неверен в алгебраической геометрии, потому что топология слишком грубая. Например, рассмотрим проекцию fот параболы

у  =  х ²

к оси Y. Этот морфизм этален во всех точках, кроме начала координат (0, 0), потому что дифференциал задается как 2 x , которое не обращается в нуль в этих точках.

Однако не существует (по Зарисскому ) локальной обратной функции f только потому, что квадратный корень не является алгебраическим отображением и не задается полиномами. Однако есть выход из этой ситуации, используя этальную топологию. Точное утверждение таково: если является этальным и конечным, то для любой точки y, лежащей в Y , существует этальный морфизм V → Y, содержащий y в своем образе ( V можно рассматривать как этальную открытую окрестность y ), такой, что когда мы заменяем f на V , то${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X\times _{Y}V\to V}$(первый член будет вполне прообраз V по F , если V были Зарискому открытая окрестность) является конечным объединением непересекающихся открытых подмножеств изоморфно V . Другими словами, эталокально в Y морфизм f является топологическим конечным покрытием.

Для гладкого морфизма относительной размерности n , этально-локально в X и в Y , f является открытым погружением в аффинное пространство . Это эталонный аналог структурной теоремы о субмерсиях .${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \mathbb {A} _{Y}^{n}}$

Смотрите также

• Чистота (алгебраическая геометрия)

использованная литература

Библиография

• Хартсхорн, Робин (1977), алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157
• Гротендик, Александр ; Жан Дьедонна (1964), "ЭЛЕМЕНТЫ геометрический подход algébrique (rédigés АВЭК л сотрудничество де Жан Дьедонна). IV Étude локаль дез SCHEMAS и др дезы morphismes де SCHEMAS, Première партии Специального " , Публикации Mathématiques де l'IHES , 20 : 5-259, DOI : 10.1007 / bf02684747 , S2CID  118147570
• Гротендик, Александр ; Dieudonné, Жан (1964), "ЭЛЕМЕНТЫ геометрического подхода algébrique (rédigés АВЭК л сотрудничество де Жан Дьедонна): IV Étude локаль дез SCHEMAS и др дезы morphismes де SCHEMAS, Première PARTIE." , Публикации Mathématiques де l'IHES , 20 : 5-259 , DOI : 10.1007 / bf02684747 , S2CID  118147570
• Гротендик, Александр; Dieudonné, Жан (1967), "ЭЛЕМЕНТЫ геометрического подхода algébrique (rédigés АВЭК л сотрудничество де Жан Дьедонна): IV Étude локаль дез SCHEMAS и др дезы morphismes де SCHEMAS, Quatrième PARTIE." , Публикации Mathématiques де l'IHES , 32 : 5-333 , DOI : 10.1007 / BF02732123 , S2CID  189794756
• Гротендик, Александр ; Рейно, Michèle (2003) [1971], семинария Geometrie Algébrique Дюбуа Мари - 1960-61 - Revêtements étales и др GROUPE fondamental - (SGA 1) (Документы Mathématiques 3 ) , Париж: Société Mathematique - де - Франс, XVIII + 327, Arxiv : math.AG/0206203 , ISBN 978-2-85629-141-2
• Дж. С. Милн (1980), Étale cohomology , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 0-691-08238-3
• Дж. С. Милн (2008). Лекции по этальным когомологиям