Etendue

Etendue или étendue ( / ˌ eɪ т ɒ п д ¯u / ; французское произношение: [etɑdy] ) является свойством света в оптической системе , которая характеризует , насколько «распространено» свет находится в области и под углом. Это соответствует произведению параметров пучка (BPP) в оптике гауссова пучка .

С точки зрения источника, это произведение площади источника и телесного угла, которое образует входной зрачок системы, если смотреть из источника. Точно так же, с точки зрения системы, внешняя длина равна площади входного зрачка, умноженной на телесный угол, который образует источник, если смотреть со стороны зрачка. Эти определения должны применяться к бесконечно малым «элементам» площади и телесного угла, которые затем должны быть суммированы как по источнику, так и по диафрагме, как показано ниже. Etendue можно рассматривать как объем в фазовом пространстве .

Etendue никогда не уменьшается ни в одной оптической системе, где сохраняется оптическая мощность. ^[1] Совершенная оптическая система создает изображение с той же продолжительностью, что и исходное. Внешняя оболочка связана с инвариантом Лагранжа и оптическим инвариантом , которые разделяют свойство быть постоянными в идеальной оптической системе. Сияния оптической системы равно производной от лучистого потока по отношению к etendue.

Термин étendue происходит от французского étendue géométrique , что означает «геометрическая протяженность». Другие названия этого свойства: приемка , пропускная способность , захват света , светосилы или светосилы , оптическая протяженность , геометрическая протяженность и продукт АО . Пропускная способность и произведение AОм особенно используются в радиометрии и переносе излучения, где они связаны с коэффициентом обзора (или коэффициентом формы). Это центральное понятие в оптике без формирования изображений . ^[2]^[3]^[4]

Определение [ править ]

Etendue для дифференциального элемента поверхности в 2D (слева) и 3D (справа).

Бесконечно малый элемент поверхности dS с нормалью n _S погружен в среду с показателем преломления n . Поверхность пересекает (или излучает) свет , ограничивается телесного угла, д Ом , под углом & thetas с нормальным п _S . Площадь d S, проецируемая в направлении распространения света, равна d S cos θ . Продолжительность этого светового пересечения dS определяется как

{\ displaystyle \ mathrm {d} G = n ^ {2} \, \ mathrm {d} S \ cos \ theta \, \ mathrm {d} \ Omega.}

Поскольку углы, телесные углы и показатели преломления являются безразмерными величинами , etendue имеет единицы площади (заданные dS).

Сохранение etendue [ править ]

Как показано ниже, внешняя энергия сохраняется, когда свет проходит через свободное пространство и при преломлении или отражении. Затем он также сохраняется, когда свет проходит через оптические системы, где он претерпевает идеальные отражения или преломления. Однако, если свет попадет, скажем, в рассеиватель , его телесный угол увеличится, увеличивая непрерывность. В этом случае Etendue может оставаться постоянным или может увеличиваться по мере распространения света через оптику, но не может уменьшаться. Это прямой результат увеличения энтропии , которую можно обратить вспять, только если априорные знания используются для восстановления синхронизированного волнового фронта, например, с фазово-сопряженными зеркалами .

Сохранение продолжительности может быть получено в различных контекстах, например, из первых оптических принципов, из гамильтоновой оптики или из второго закона термодинамики . ^[2]

В свободном пространстве [ править ]

Etendue в свободном пространстве.

Рассмотрим источник света Σ и детектор света S , оба из которых являются протяженными поверхностями (а не дифференциальными элементами) и разделены средой с показателем преломления n, которая является совершенно прозрачной (показано). Чтобы вычислить etendue системы, необходимо учитывать вклад каждой точки на поверхности источника света, когда они направляют лучи в каждую точку приемника. ^[5]

Согласно приведенному выше определению, длина светового перехода d Σ в сторону d S определяется как:

\mathrm {d} G_{\Sigma }=n^{2}\,\mathrm {d} \Sigma \cos \theta _{\Sigma }\,\mathrm {d} \Omega _{\Sigma }=n^{2}\,\mathrm {d} \Sigma \cos \theta _{\Sigma }{\frac {\mathrm {d} S\cos \theta _{S}}{d^{2}}}

где d Ω _Σ - телесный угол, определяемый площадью d S в области d Σ , а d - расстояние между двумя областями. Аналогично, длина светового пересечения d S, исходящего из d Σ , определяется как:

\mathrm {d} G_{S}=n^{2}\,\mathrm {d} S\cos \theta _{S}\,\mathrm {d} \Omega _{S}=n^{2}\,\mathrm {d} S\cos \theta _{S}{\frac {\mathrm {d} \Sigma \cos \theta _{\Sigma }}{d^{2}}},

где d Ω _S - телесный угол, определяемый площадью dΣ. Эти выражения приводят к

\mathrm {d} G_{\Sigma }=\mathrm {d} G_{S},

показывая, что внешняя среда сохраняется при распространении света в свободном пространстве.

В таком случае значение всей системы будет следующим:

G=\int _{\Sigma }\!\int _{S}\mathrm {d} G.

Если обе поверхности d Σ и d S погружены в воздух (или в вакуум), n = 1 и приведенное выше выражение для внешнего вида может быть записано как

\mathrm {d} G=\mathrm {d} \Sigma \,\cos \theta _{\Sigma }\,{\frac {\mathrm {d} S\,\cos \theta _{S}}{d^{2}}}=\pi \,\mathrm {d} \Sigma \,\left({\frac {\cos \theta _{\Sigma }\cos \theta _{S}}{\pi d^{2}}}\,\mathrm {d} S\right)=\pi \,\mathrm {d} \Sigma \,F_{\mathrm {d} \Sigma \rightarrow \mathrm {d} S},

где Р _{д Е → d S} является фактором вида между дифференциальными поверхностями д Е и г S . Интегрирование по d Σ и d S приводит к G = π Σ F _{Σ → S,} что позволяет получить расстояние между двумя поверхностями из факторов обзора между этими поверхностями, как указано в списке факторов обзора для конкретных геометрических случаев или в нескольких учебники по теплообмену .

Сохранение бесконечности в свободном пространстве связано с теоремой взаимности для множителей вида .

В преломлениях и отражениях [ править ]

Etendue в преломлении.

Обсуждаемое выше сохранение непрерывности применимо к случаю распространения света в свободном пространстве или, в более общем смысле, в среде, в которой показатель преломления постоянен. Однако при преломлении и отражении также сохраняется внутренняя энергия. ^[2] На рис «etendue в рефракции» показывает бесконечно малой поверхности д S на ху плоскости раздела двух сред показателей преломления п _Е и п _S .

Нормаль к d S указывает в направлении оси z . Входящий свет ограничен телесным углом d Ω _Σ и достигает d S под углом θ _Σ к его нормали. Преломленный свет ограничен телесным углом d Ω _S и покидает d S под углом θ _S к нормали. Направления падающего и преломленного света содержатся в плоскости, составляющей угол φ к оси x , определяя эти направления в сферической системе координат . С этими определениями закон преломления Снеллиуса может быть записан как

n_{\Sigma }\sin \theta _{\Sigma }=n_{S}\sin \theta _{S},

и его производная по θ

n_{\Sigma }\cos \theta _{\Sigma }\,\mathrm {d} \theta _{\Sigma }=n_{S}\cos \theta _{S}\mathrm {d} \theta _{S},

умноженные друг на друга приводят к

n_{\Sigma }^{2}\cos \theta _{\Sigma }\!\left(\sin \theta _{\Sigma }\,\mathrm {d} \theta _{\Sigma }\,\mathrm {d} \varphi \right)=n_{S}^{2}\cos \theta _{S}\!\left(\sin \theta _{S}\,\mathrm {d} \theta _{S}\,\mathrm {d} \varphi \right),

где обе части уравнения также были умножены на d φ, которое не меняется при преломлении. Теперь это выражение можно записать как

n_{\Sigma }^{2}\cos \theta _{\Sigma }\,\mathrm {d} \Omega _{\Sigma }=n_{S}^{2}\cos \theta _{S}\,\mathrm {d} \Omega _{S},

и умножая обе части на d S, получаем

n_{\Sigma }^{2}\,\mathrm {d} S\cos \theta _{\Sigma }\,\mathrm {d} \Omega _{\Sigma }=n_{S}^{2}\,\mathrm {d} S\cos \theta _{S}\,\mathrm {d} \Omega _{S}

это

\mathrm {d} G_{\Sigma }=\mathrm {d} G_{S},

показывая, что длина света, преломленного в точке d S , сохраняется. Такой же результат также справедливо и для случая отражения на поверхности г S , и в этом случае п _Е = п _S и & thetas ; _Е = & thetas ; _S .

Сохранение основного сияния [ править ]

Сияние поверхности связано с яркостью:

L_{\mathrm {e} ,\Omega }=n^{2}{\frac {\partial \Phi _{\mathrm {e} }}{\partial G}},

где

$\Phi _{\mathrm {e} }$ - излучаемый, отраженный, переданный или принятый лучистый поток ;
n - показатель преломления, в который эта поверхность погружена;
G - длина светового луча.

Поскольку свет проходит через идеальную оптическую систему, сохраняется как внешний поток, так и лучистый поток. Таким образом, базовое сияние определяется как: ^[6]

L_{\mathrm {e} ,\Omega }^{*}={\frac {L_{\mathrm {e} ,\Omega }}{n^{2}}}

также сохраняется. В реальных системах интенсивность излучения может увеличиваться (например, из-за рассеяния) или лучистый поток может уменьшаться (например, из-за поглощения), и, следовательно, базовая яркость может уменьшаться. Однако étendue не может уменьшаться, и лучистый поток не может увеличиваться, и, следовательно, базовая яркость не может увеличиваться.

Etendue как объем в фазовом пространстве [ править ]

Оптический импульс.

В контексте гамильтоновой оптики в точке пространства луч света может быть полностью определен точкой r = ( x , y , z ) , единичным евклидовым вектором v = (cos α _X , cos α _Y , cos α _Z ) с указанием его направления и показателя преломления n в точке r . Оптический импульс луча в этой точке определяется выражением

\mathbf {p} =n(\cos \alpha _{X},\cos \alpha _{Y},\cos \alpha _{Z})=(p,q,r),

где || p || = п . Геометрия вектора оптического момента проиллюстрирована на рисунке «оптический момент».

В сферической системе координат p можно записать как

\mathbf {p} =n\!\left(\sin \theta \cos \varphi ,\sin \theta \sin \varphi ,\cos \theta \right),

откуда

\mathrm {d} p\,\mathrm {d} q={\frac {\partial (p,q)}{\partial (\theta ,\varphi )}}\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =\left({\frac {\partial p}{\partial \theta }}{\frac {\partial q}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial p}{\partial \varphi }}{\frac {\partial q}{\partial \theta }}\right)\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =n^{2}\cos \theta \sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =n^{2}\cos \theta \,\mathrm {d} \Omega ,

и, следовательно, для бесконечно малой площади d S = d x d y на плоскости xy, погруженной в среду с показателем преломления n , внешняя длина определяется выражением

\mathrm {d} G=n^{2}\,\mathrm {d} S\cos \theta \,\mathrm {d} \Omega =\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} p\,\mathrm {d} q,

который является бесконечно малым объемом в фазовом пространстве x , y , p , q . Сохранение бесконечности в фазовом пространстве эквивалентно в оптике теореме Лиувилля в классической механике. ^[2] Etendue как объем в фазовом пространстве обычно используется в оптике без визуализации .

Максимальная концентрация [ править ]

Etendue для большого телесного угла.

Рассмотрим бесконечно малую поверхность d S , погруженную в среду с показателем преломления n, пересекаемую (или излучающую) свет внутри конуса с углом α . Продолжительность этого света определяется

\mathrm {d} G=n^{2}\,\mathrm {d} S\int \cos \theta \,\mathrm {d} \Omega =n^{2}dS\int _{0}^{2\pi }\!\int _{0}^{\alpha }\cos \theta \sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =\pi n^{2}\mathrm {d} S\sin ^{2}\alpha .

Учитывая, что n sin α - числовая апертура NA луча света, это также можно выразить как

\mathrm {d} G=\pi \,\mathrm {d} S\,\mathrm {NA} ^{2}.

Обратите внимание, что d Ω выражается в сферической системе координат . Теперь, если большую поверхность S пересекает (или излучает) свет, также ограниченный конусом угла α , длина пересечения света S равна

G=\pi n^{2}\sin ^{2}\alpha \int \mathrm {d} S=\pi n^{2}S\sin ^{2}\alpha =\pi S\,\mathrm {NA} ^{2}.

Etendue и идеальная концентрация.

Предел максимальной концентрации (показан) - это оптика с входной апертурой S в воздухе ( n _i = 1 ), собирающая свет в пределах телесного угла 2 α (его угол приема ) и отправляющая его на приемник меньшей площади Σ, погруженный в воду. в среде с показателем преломления n , точки которой освещены в пределах телесного угла 2 β . Исходя из приведенного выше выражения, длина падающего света равна

G_{\mathrm {i} }=\pi S\sin ^{2}\alpha

а длина света, достигающего приемника, равна

G_{\mathrm {r} }=\pi n^{2}\Sigma \sin ^{2}\beta .

Тогда сохранение конечного значения G _i = G _r дает

C={\frac {S}{\Sigma }}=n^{2}{\frac {\sin ^{2}\beta }{\sin ^{2}\alpha }},

где C - концентрация оптики. Для данной угловой апертуры α падающего света эта концентрация будет максимальной для максимального значения sin β , то есть β = π / 2. Тогда максимально возможная концентрация составляет ^[2]^[3]

C_{\mathrm {max} }={\frac {n^{2}}{\sin ^{2}\alpha }}.

В случае, если индекс инцидентности не равен единице, имеем

G_{\mathrm {i} }=\pi n_{\mathrm {i} }S\sin ^{2}\alpha =G_{\mathrm {r} }=\pi n_{\mathrm {r} }\Sigma \sin ^{2}\beta ,

и другие

C=\left({\frac {\mathrm {NA} _{\mathrm {r} }}{\mathrm {NA} _{\mathrm {i} }}}\right)^{2},

и в лучшем случае β = π / 2 это становится

C_{\mathrm {max} }={\frac {n_{\mathrm {r} }^{2}}{\mathrm {NA} _{\mathrm {i} }^{2}}}.

Если бы оптика была коллиматором, а не концентратором, направление света меняется на противоположное, и сохранение непрерывной длины дает нам минимальную апертуру S для данного выходного полного угла 2 α .

См. Также [ править ]

Световое поле
Продукт параметра луча
Симплектическая геометрия
Теорема Нётер
Излучение луча

Ссылки [ править ]

^ Конспекты лекций по Radiance
^ a b c d e Чавес, Хулио (2015). Введение в оптику без изображений, второе издание . CRC Press . ISBN 978-1482206739.
^ a b Роланд Уинстон и др., Nonimaging Optics , Academic Press, 2004 ISBN 978-0127597515
^ Мэтью С. Бреннесхольц, Эдвард Х. Ступп, Проекционные дисплеи , John Wiley & Sons Ltd, 2008 ISBN 978-0470518038
^ Wikilivre де Photographie , Notion d'étendue géométrique (на французском языке). По состоянию на 27 января 2009 г.
^ Уильям Росс МакКлуни, Введение в радиометрию и фотометрию , Artech House, Бостон, Массачусетс, 1994 ISBN 978-0890066782

Дальнейшее чтение [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме Etendue .

Поищите etendue в Викисловаре, бесплатном словаре.

Грейвенкамп, Джон Э. (2004). Полевое руководство по геометрической оптике . SPIE Field Guides vol. FG01 . ШПИОН. ISBN 0-8194-5294-7.
Xutao Sun et al. , 2006, "Etendue анализ и измерение источника света с эллиптическим отражателем", Дисплеи (27), 56–61.
Рэндалл Манро объясняет, почему невозможно зажечь огонь концентрированным лунным светом, используя аргумент сохранения продолжительности жизни. Манро, Рэндалл. «Огонь из лунного света» . Что, если? . Проверено 28 июля 2020 . CS1 maint: discouraged parameter (link)

[1] Конспекты лекций по Radiance

[IntroNio2e-2] Чавес, Хулио (2015). Введение в оптику без изображений, второе издание . CRC Press . ISBN 978-1482206739.

[NIO-3] Роланд Уинстон и др., Nonimaging Optics , Academic Press, 2004 ISBN 978-0127597515

[Projection_Displays-4] Мэтью С. Бреннесхольц, Эдвард Х. Ступп, Проекционные дисплеи , John Wiley & Sons Ltd, 2008 ISBN 978-0470518038

[Wikilivre-5] Wikilivre де Photographie , Notion d'étendue géométrique (на французском языке). По состоянию на 27 января 2009 г.

[6] Уильям Росс МакКлуни, Введение в радиометрию и фотометрию , Artech House, Бостон, Массачусетс, 1994 ISBN 978-0890066782

[1]