Термин дифференциал используется в исчислении для обозначения бесконечно малого (бесконечно малого) изменения некоторой переменной величины . Например, если x - переменная , то изменение значения x часто обозначается как Δ x (произносится как дельта x ). Дифференциал dx представляет собой бесконечно малое изменение переменной x . Идея бесконечно малого или бесконечно медленного изменения интуитивно чрезвычайно полезна, и есть несколько способов сделать это понятие математически точным.
Используя исчисление, можно математически связать бесконечно малые изменения различных переменных друг с другом, используя производные . Если y является функцией от x , то дифференциал dy от y связан с dx формулой
где д / дх обозначает производная от у по й . Эта формула резюмирует интуитивную идею о том, что производная y по x является пределом отношения разностей Δ y / Δ x, когда Δ x становится бесконечно малым.
Существует несколько подходов к математической точности понятия дифференциалов.
- Дифференциалы как линейные отображения . Этот подход лежит в основе определения производной и внешней производной в дифференциальной геометрии . [1]
- Дифференциалы как нильпотентные элементы коммутативных колец . Этот подход популярен в алгебраической геометрии. [2]
- Дифференциалы в гладких моделях теории множеств. Этот подход известен как синтетическая дифференциальная геометрия или гладкий инфинитезимальный анализ и тесно связан с алгебро-геометрическим подходом, за исключением того, что идеи теории топосов используются, чтобы скрыть механизмы, с помощью которых вводятся нильпотентные бесконечно малые. [3]
- Дифференциалы как бесконечно малые в гиперреальных системах счисления, которые являются расширениями действительных чисел, которые содержат обратимые бесконечно малые и бесконечно большие числа. Это подход нестандартного анализа, впервые примененный Абрахамом Робинсоном . [4]
Эти подходы сильно отличаются друг от друга, но их объединяет идея быть количественными , то есть говорить не только о том, что разница бесконечно мала, но и о том , насколько она мала.
История и использование
Бесконечно малые величины сыграли значительную роль в развитии математического анализа. Архимед использовал их, хотя и не верил в строгость аргументов, касающихся бесконечно малых. [5] Исаак Ньютон называл их флюксиями . Однако именно Готфрид Лейбниц ввел термин дифференциалы для бесконечно малых величин и ввел их обозначения, которые используются до сих пор.
В обозначениях Лейбница , если x - переменная величина, то dx обозначает бесконечно малое изменение переменной x . Таким образом, если у является функцией х , то производная от у по отношению к х часто обозначается ду / дх , которые иначе были бы обозначать (в обозначениях Ньютона или Лагранжа ) Y или Y ' . Использование дифференциалов в этой форме вызвало много критики, например, в известной брошюре «Аналитик » епископа Беркли. Тем не менее, это обозначение осталось популярным, поскольку оно убедительно свидетельствует о том, что производная y в точке x является его мгновенной скоростью изменения ( наклон касательной к графику ), которую можно получить, взяв предел отношения Δ y / Δ x изменения y по сравнению с изменением x , поскольку изменение x становится сколь угодно малым. Дифференциалы также совместимы с анализом размерностей , где дифференциал, такой как dx, имеет те же размеры, что и переменная x .
Дифференциалы также используются в обозначениях интегралов, потому что интеграл можно рассматривать как бесконечную сумму бесконечно малых величин: площадь под графом получается путем разбиения графа на бесконечно тонкие полосы и суммирования их площадей. В таком выражении, как
знак интеграла (который является модифицированным длинным s ) обозначает бесконечную сумму, f ( x ) обозначает «высоту» тонкой полосы, а дифференциал dx обозначает ее бесконечно тонкую ширину.
Дифференциалы как линейные карты
Есть простой способ понять дифференциалы, рассматривая их как линейные карты . Для иллюстрации, предположит , что F ( х ) является вещественной функцией на R . Мы можем переинтерпретировать переменную x в f ( x ) как функцию, а не как число, а именно как карту тождества на действительной прямой, которая принимает действительное число p себе: x ( p ) = p . Тогда f ( x ) - это композиция f с x , значение которой в p равно f ( x ( p )) = f ( p ) . Дифференциала DF (который, конечно , зависит от того, е ) является функцией, значение которой в р (обычно обозначается DF р ) не является числом, а линейное отображение из R в R . Поскольку линейное отображение из R в R задается матрицей 1 × 1 , это, по сути, то же самое, что и число, но изменение точки зрения позволяет нам думать о df p как о бесконечно малом и сравнивать его с стандартный бесконечно малый dx p , который снова является тождественным отображением из R в R ( матрица 1 × 1 с элементом 1). Тождественное отображение обладает тем свойством, что если ε очень мало, то dx p ( ε ) очень мало, что позволяет нам считать его бесконечно малым. Дифференциал df p имеет то же свойство, потому что он просто кратен dx p , и это кратное является производной f ′ ( p ) по определению. Таким образом, получаем, что df p = f ′ ( p ) dx p , а значит, df = f ′ dx . Таким образом, мы восстанавливаем идею о том, что f ′ - это отношение дифференциалов df и dx .
Это было бы просто уловкой, если бы не факт, что:
- он отражает идею производной f в точке p как наилучшего линейного приближения к f в точке p ;
- у него много обобщений.
Например, если F является функцией от R п к R , то мы говорим , что F является дифференцируемой [6] при р ∈ R п , если существует линейное отображение DF р из R п к R такое , что для любого е > 0 , существует окрестность Н из р такое , что при х ∈ N ,
Теперь мы можем использовать тот же прием, что и в одномерном случае, и думать о выражении f ( x 1 , x 2 ,…, x n ) как о композиции f со стандартными координатами x 1 , x 2 ,…, x n на R n (так что x j ( p ) j -я компонента p ∈ R n ). Тогда дифференциалы ( dx 1 ) p , ( dx 2 ) p , ( dx n ) p в точке p образуют базис для векторного пространства линейных отображений из R n в R, и, следовательно, если f дифференцируема в точке p , мы можно записать df p как линейную комбинацию этих базовых элементов:
Коэффициенты Д J е ( р ) являются (по определению) , что частные производные от F при р относительно х 1 , х 2 , ..., х п . Следовательно, если f дифференцируема на всем R n , мы можем записать более кратко:
В одномерном случае это становится
как прежде.
Эта идея напрямую обобщается на функции от R n до R m . Кроме того, он имеет решающее преимущество перед другими определениями производной в том, что он инвариантен при изменении координат. Это означает , что та же идея может быть использована для определения дифференциала в гладких отображений между гладких многообразий .
Кроме того: обратите внимание, что существование всех частных производных функции f ( x ) в точке x является необходимым условием существования дифференциала в точке x . Однако это не достаточное условие . Контрпримеры см. В разделе « Производная Гато» .
Алгебраическая геометрия
В алгебраической геометрии дифференциалы и другие бесконечно малые понятия обрабатываются очень явно, принимая, что координатное кольцо или структурный пучок пространства может содержать нильпотентные элементы . Простейший пример - кольцо двойственных чисел R [ ε ], где ε 2 = 0.
Это может быть мотивировано алгебро-геометрической точкой зрения на производную функции f от R до R в точке p . Для этого сначала заметим, что f - f ( p ) принадлежит идеалу I p функций на R, обращающихся в нуль в p . Если производная f обращается в нуль в точке p , то f - f ( p ) принадлежит квадрату I p 2 этого идеала. Следовательно , производная F при р может быть захвачен классом эквивалентности [ ф - ф ( р )] в фактор - пространство I р / я р 2 , и 1-струи из F (который кодирует его значение и его первую производную) класс эквивалентности f в пространстве всех функций по модулю I p 2 . Алгебраические геометры рассматривать этот класс эквивалентности как ограничение на F к утолщенной версии в точке р , координата которого кольцо не является Р (который является фактор - пространством функций на R по модулю I р ) , но R [ ε ] , которая является фактор - пространством функции на R по модулю I p 2 . Такая утолщенная точка - простой пример схемы . [2]
Синтетическая дифференциальная геометрия
Третий подход к бесконечно малым - это метод синтетической дифференциальной геометрии [7] или гладкий инфинитезимальный анализ . [8] Это тесно связано с алгебро-геометрическим подходом, за исключением того, что бесконечно малые величины более неявны и интуитивно понятны. Основная идея этого подхода заключается в том, чтобы заменить категорию множеств с другой категорией из плавно меняющихся множеств , которая является топосом . В этой категории можно определить действительные числа, гладкие функции и т. Д., Но действительные числа автоматически содержат нильпотентные бесконечно малые числа, поэтому их не нужно вводить вручную, как в алгебро-геометрическом подходе. Однако логика в этой новой категории не идентична известной логике категории множеств: в частности, не выполняется закон исключенного третьего. Это означает, что теоретико-множественные математические аргументы распространяются на гладкий инфинитезимальный анализ только в том случае, если они конструктивны (например, не используют доказательство от противного ). Некоторые [ кто? ] расценивают этот недостаток как положительный момент, поскольку он заставляет искать конструктивные аргументы везде, где они есть.
Нестандартный анализ
Последний подход к бесконечно малым снова включает расширение действительных чисел, но менее радикальным способом. В подходе нестандартного анализа нет нильпотентных бесконечно малых чисел , только обратимые, которые можно рассматривать как обратные величины бесконечно больших чисел. [4] Такие расширения действительных чисел могут быть построены в явном виде , используя классы эквивалентности последовательностей действительных чисел , так что, например, последовательность (1, 1/2, 1/3, ..., 1 / п ,. ..) представляет собой бесконечно малую величину. Логика первого порядка этого нового набора гипердействительных чисел такой же , как логика для обычных вещественных чисел, но полнота аксиома (которая включает в себя логику второго порядка ) не выполняется. Тем не менее, этого достаточно, чтобы разработать элементарный и довольно интуитивный подход к исчислению с использованием бесконечно малых величин, см. Принцип переноса .
Смотрите также
- Дифференциальное уравнение
- Дифференциальная форма
- Дифференциал функции
Заметки
- ↑ Дорогая, 1994 .
- ^ а б Эйзенбад и Харрис 1998 .
- ↑ См. Kock 2006 и Moerdijk & Reyes 1991 .
- ^ Б См Robinson 1996 и Кейслера 1986 .
- ^ Бойер 1991 .
- ^ См., Например, Апостол 1967 .
- ^ См. Kock 2006 и Lawvere 1968 .
- ^ См Moerdijk & Reyes 1991 и Bell 1998 .
Рекомендации
- Апостол, Том М. (1967), Исчисление (2-е изд.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1.
- Белл , Джон Л. (1998), Приглашение к гладкому анализу бесконечно малых (PDF).
- Бойер, Карл Б. (1991), «Архимед Сиракузский», История математики (2-е изд.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-54397-8.
- Дарлинг, RWR (1994), Дифференциальные формы и связи , Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46800-8.
- Эйзенбуд, Дэвид ; Харрис, Джо (1998), Геометрия схем , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98637-1
- Кейслер, Х. Джером (1986), Элементарное исчисление: бесконечно малый подход (2-е изд.).
- Кок, Андерс (2006), Синтетическая дифференциальная геометрия (PDF) (2-е изд.), Cambridge University Press.
- Ловер, FW (1968), Очерк синтетической дифференциальной геометрии (PDF) (опубликовано в 1998 году).
- Moerdijk, I .; Рейес, Г.Е. (1991), Модели для гладкого инфинитезимального анализа , Springer-Verlag.
- Робинсон, Абрахам (1996), нестандартный анализ , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04490-3.