Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике , Евклид числа являются целыми числами вида Е п = р п # + 1 , где р п # является п - й primorial , то есть произведение первых п простых чисел . Они названы в честь древнегреческого математика Евклида в связи с теоремой Евклида о том, что простых чисел бесконечно много.

Примеры [ править ]

Например, первые три простых числа - 2, 3, 5; их произведение равно 30, а соответствующее число Евклида равно 31.

Первые несколько чисел Евклида: 3 , 7 , 31 , 211 , 2311, 30031, 510511, 9699691, 223092871, 6469693231, 200560490131, ... (последовательность A006862 в OEIS ).

История [ править ]

Иногда ошибочно утверждают, что знаменитое доказательство Евклида бесконечности простых чисел основывалось на этих числах. [1] Евклид не начал с предположения, что множество всех простых чисел конечно. Скорее он сказал: рассмотрите любой конечный набор простых чисел (он не предполагал, что он содержит только первые n простых чисел, например, это могло быть {3, 41, 53} ) и рассуждал отсюда к выводу, что по крайней мере одно простое число существует, которого нет в этом наборе. [2] Тем не менее, аргумент Евклида, примененный к множеству первых n простых чисел, показывает, что n- е число Евклида имеет простой множитель, которого нет в этом множестве.

Свойства [ править ]

Не все числа Евклида простые.E 6 = 13 # + 1 = 30031 = 59 × 509 - первое составное число Евклида.

Каждое число Евклида конгруэнтно 3 по модулю 4, так как примориал, из которого оно состоит, является дважды произведением только нечетных простых чисел и, таким образом, сравним с 2 по модулю 4. Это свойство означает, что никакое число Евклида не может быть квадратом .

Для всех n ≥ 3 последняя цифра E n равна 1, поскольку E n - 1 делится на 2 и 5. Другими словами, поскольку все первичные числа больше E 2 имеют 2 и 5 в качестве простых делителей, они делятся на 10, поэтому все E n  ≥ 3 +1 имеют последнюю цифру 1.

Нерешенные проблемы [ править ]

Нерешенная задача по математике :

Есть ли бесконечное количество простых чисел Евклида?

(больше нерешенных задач по математике)

Неизвестно, существует ли бесконечное количество простых чисел Евклида ( примитивных простых чисел ). [3] Также неизвестно, является ли каждое число Евклида бесквадратным числом . [4]

Нерешенная задача по математике :

Каждое ли число Евклида бесквадратное?

(больше нерешенных задач по математике)

Обобщение [ править ]

Евклида количество второго рода (также называемый куммерова номер ) представляет собой целое число вида Е п = р п # - 1, где р п # является п - й primorial. Первые несколько таких чисел:

1, 5, 29, 209, 2309, 30029, 510509, 9699689, 223092869, 6469693229, 200560490129, ... (последовательность A057588 в OEIS )

Как и в случае с числами Евклида, неизвестно, существует ли бесконечно много простых чисел Куммера. Первое из этих чисел, которое должно быть составным, - 209 . [5]

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Майкл Харди и Кэтрин Вудголд, "Prime Simplicity", Mathematical Intelligencer , том 31, номер 4, осень 2009 г., страницы 44–52.
  2. ^ «Предложение 20» .
  3. ^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A006862 (числа Евклида)» . Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
  4. ^ Варди, Илан (1991). Вычислительные развлечения в системе Mathematica . Эддисон-Уэсли. С. 82–89. ISBN 9780201529890.
  5. ^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A125549 (составные числа Куммера)» . Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.