Диск Эйлера , изобретенный между 1987 и 1990 годами Джозефом Бендиком [1], является торговой маркой научно- образовательной игрушки . [2] Он используется для иллюстрации и изучения динамической системы вращающегося и катящегося диска на плоской или изогнутой поверхности, и он был предметом ряда научных работ. [3]
Открытие
Джозеф Бендик впервые заметил интересное движение вращающегося диска во время работы в Hughes Aircraft (Карлсбадский исследовательский центр) после того, как однажды во время обеда крутил тяжелый шлифовальный патрон на своем столе. Эффект вращения был настолько впечатляющим, что он немедленно позвонил своему другу и коллеге Ричарду Генри Уайлсу, чтобы посмотреть. Он также позвонил своему другу Ларри Шоу ( изобретателю Astrojax ) по телефону и попросил его послушать звук вращающегося диска.
Аппарат известен как впечатляющая визуализация обмена энергией в трех различных тесно связанных процессах. По мере того, как диск постепенно уменьшает свое азимутальное вращение, также происходит уменьшение амплитуды и увеличение частоты осевой прецессии диска.
Эволюцию осевой прецессии диска легко визуализировать в замедленном видео, глядя на сторону диска, следующую за единственной точкой, отмеченной на диске. Эволюцию вращения диска легко визуализировать в замедленном движении, глядя на верхнюю часть диска по стрелке, нарисованной на диске, представляющей его радиус.
Когда диск высвобождает начальную энергию, заданную пользователем, и приближается к остановке, диск, кажется, бросает вызов гравитации посредством этих динамических обменов энергией. Бендик назвал игрушку в честь Леонарда Эйлера , изучавшего подобную физику в 18 веке. [ необходима цитата ]
Компоненты и работа
Имеющаяся в продаже игрушка состоит из тяжелого толстого хромированного стального диска и жесткого слегка вогнутого зеркального основания. Входящие в комплект голографические магнитные наклейки могут быть прикреплены к диску, чтобы усилить визуальный эффект раскачивания. Эти вложения являются строго декоративными и могут снизить способность видеть и понимать, какие процессы действительно работают.
Диск, когда вращается на плоской поверхности, демонстрирует вращательное / перекатывающееся движение, медленно прогрессируя через различные скорости и типы движения, прежде чем остановиться. В частности, скорость прецессии оси симметрии диска увеличивается по мере того, как диск вращается вниз. Жесткое зеркало используется для создания подходящей поверхности с низким коэффициентом трения и небольшой вогнутостью, которая не позволяет вращающемуся диску «смещаться» с опорной поверхности.
Обычная монета, вращающаяся на столе, как и любой диск, вращающийся на относительно плоской поверхности, демонстрирует, по сути, тот же тип движения, но не вращается так долго, как диск Эйлера. Имеющиеся в продаже диски Эйлера обеспечивают более эффективную демонстрацию этого явления, чем более часто встречающиеся предметы, с оптимизированным соотношением сторон и прецизионно отполированными, слегка закругленными краями для максимального увеличения времени вращения / прокатки.
Физика
Вращающийся / катящийся диск в конечном итоге довольно резко останавливается, причем заключительная стадия движения сопровождается жужжащим звуком с быстро увеличивающейся частотой. Когда диск катится, точка контакта качения описывает круг, который колеблется с постоянной угловой скоростью.. Если движение недиссипативное (без трения),постоянно, и движение сохраняется вечно; это противоречит наблюдению, посколькуне является постоянным в реальных жизненных ситуациях. Фактически, скорость прецессии оси симметрии приближается к сингулярности за конечное время, моделируемой степенным законом с показателем примерно -1/3 (в зависимости от конкретных условий).
Есть два заметных эффекта рассеяния: трение качения, когда монета скользит по поверхности, и сопротивление воздуха из-за сопротивления воздуха. Эксперименты показывают, что трение качения в основном отвечает за рассеяние и поведение [4] - эксперименты в вакууме показывают, что отсутствие воздуха влияет на поведение лишь незначительно, тогда как поведение (скорость прецессии) систематически зависит от коэффициента трения . В пределе малого угла (т.е. непосредственно перед тем, как диск перестанет вращаться), сопротивление воздуха (в частности, вязкая диссипация ) является доминирующим фактором, но до этой конечной стадии трение качения является доминирующим эффектом.
Устойчивое движение с покоящимся центром диска
Поведение вращающегося диска с неподвижным центром можно описать следующим образом. [5] Назовем осью линию от центра диска до точки контакта с плоскостью.. Поскольку центр диска и точка контакта мгновенно находятся в состоянии покоя (при условии отсутствия проскальзывания), ось- мгновенная ось вращения. Угловой момент равен которое справедливо для любого тонкого симметричного диска с массой ; для диска с массой, сосредоточенной на ободе, для равномерного диска (например, круга Эйлера), - радиус диска, а - угловая скорость вдоль .
Контактная сила является где - ускорение свободного падения и вертикальная ось направлена вверх. Крутящий момент относительно центра масс равен который мы можем переписать как где . Можно сделать вывод, что как угловой момент, и диск прецессируют вокруг вертикальной оси по ставке
( 1 )
В то же время - угловая скорость точки контакта с плоскостью. Определим осьлежать вдоль оси симметрии диска и направлять вниз. Тогда он считает, что, где - угол наклона диска относительно горизонтальной плоскости. Угловая скорость может быть представлена как состоящая из двух частей., где - угловая скорость диска вдоль оси симметрии. Из геометрии легко сделать вывод, что:
Подключение в уравнение ( 1 ) окончательно получаем
( 2 )
В виде адиабатически приближается к нулю, угловая скорость точки контакта становится очень большим, и вы слышите высокочастотный звук, связанный с вращающимся диском. Однако вращение фигуры на лицевой стороне монеты, угловая скорость которой составляетприближается к нулю. Полная угловая скорость также обращается в нуль, как и полная энергия
в виде приближается к нулю. Здесь мы использовали уравнение ( 2 ).
В виде приближается к нулю, диск окончательно теряет контакт со столом, и диск быстро оседает на горизонтальной поверхности. Слышен звук с частотой, который становится значительно выше, пока звук резко не прекращается.
История исследования
Моффатт
В начале 2000 - х лет, исследование было вызвано статьей в апреле 20, 2000 издания Nature , [6] , где Кейт Моффат показал , что вязкую диссипацию в тонком слое воздуха между диском и столом будет достаточно , чтобы учесть наблюдается резкость процесса оседания. Он также показал, что движение завершается сингулярностью за конечное время . Его первая теоретическая гипотеза была опровергнута последующими исследованиями, которые показали, что трение качения является доминирующим фактором.
Моффатт показал, что со временем приближается к определенному времени (что математически является константой интегрирования ), вязкая диссипация приближается к бесконечности . Особенность , что это означает , не реализуется на практике, так как величина вертикального ускорения не может превышать ускорение силы тяжести (диск теряет контакт с опорной поверхностью). Моффатт продолжает доказывать, что теория ломается каждый раз. до окончательного времени отстаивания , предоставленный:
где - радиус диска, ускорение свободного падения Земли, динамическая вязкость по воздуху , имасса диска. Для коммерчески доступной игрушки Диск Эйлера (см. Ссылку в разделе «Внешние ссылки» ниже), около секунды, когда угол между монетой и поверхностью, , составляет примерно 0,005 радиана, а угловая скорость качения , составляет около 500 Гц.
Используя указанные выше обозначения, общее время вращения / прокатки составляет:
где - начальный наклон диска, измеренный в радианах . Моффатт также показал, что если, сингулярность за конечное время в дан кем-то
Результаты экспериментов
Теоретическая работа Моффатта вдохновила нескольких других исследователей на экспериментальное исследование диссипативного механизма вращающегося / катящегося диска с результатами, которые частично противоречили его объяснению. В этих экспериментах использовались вращающиеся объекты и поверхности различной геометрии (диски и кольца) с различными коэффициентами трения как в воздухе, так и в вакууме, а также использовались инструменты, такие как высокоскоростная фотография, для количественной оценки явления.
В номере журнала Nature от 30 ноября 2000 г. физики Ван ден Энг, Нельсон и Роуч обсуждают эксперименты, в которых диски вращались в вакууме. [7] Ван ден Энг использовал rijksdaalder , голландскую монету, магнитные свойства которой позволяли вращать ее с точно определенной скоростью. Они обнаружили, что проскальзывание между диском и поверхностью может быть объяснением наблюдений, а наличие или отсутствие воздуха лишь незначительно влияет на поведение диска. Они указали, что теоретический анализ Моффатта предсказывает очень долгое время вращения диска в вакууме, чего не наблюдалось.
Моффат ответил обобщенной теорией, которая должна позволить экспериментально определить, какой механизм диссипации является доминирующим, и указал, что доминирующим механизмом диссипации всегда будет вязкая диссипация в пределе малых величин. (т.е. непосредственно перед установкой диска). [8]
Более поздняя работа Петри, Ханта и Грея в Университете Гвельфа [9] показала, что проведение экспериментов в вакууме (давление 0,1 паскаль ) не оказало существенного влияния на скорость диссипации энергии. Petrie et al. также показали, что на скорости в значительной степени не повлияла замена диска кольцевой формой, и что условие отсутствия проскальзывания было выполнено для углов более 10 °. Другая работа Кэпса, Дорболо, Понте, Круазье и Вандевалля [10] пришла к выводу, что воздух является второстепенным источником рассеивания энергии. Основной процесс рассеивания энергии - это качение и скольжение диска по опорной поверхности. Экспериментально показано, что угол наклона, скорость прецессии и угловая скорость подчиняются степенному закону.
Несколько раз во время забастовки Гильдии писателей Америки 2007–2008 годов ведущий ток-шоу Конан О'Брайен крутил обручальное кольцо на своем столе, пытаясь вращать кольцо как можно дольше. Стремление к увеличению продолжительности вращения привело к тому, что он пригласил на шоу профессора Массачусетского технологического института Питера Фишера, чтобы поэкспериментировать с этой проблемой. Вращение кольца в вакууме не имело заметного эффекта, в то время как опорная поверхность из тефлона дала рекордное время в 51 секунду, подтверждая утверждение о том, что трение качения является основным механизмом рассеивания кинетической энергии. [ необходима цитата ] Различные виды трения качения в качестве основного механизма рассеяния энергии были изучены Лейном [11], который экспериментально подтвердил, что сопротивление трения движения точки контакта по ободу диска, скорее всего, является основным механизмом рассеивания в масштабе времени в секундах.
В популярной культуре
Диски Эйлера появляются в фильме « Снежный пирог» 2006 года и в телешоу «Теория большого взрыва» , сезон 10, серия 16, который транслировался 16 февраля 2017 года.
Звуковая группа для фильма 2001 года « Перл-Харбор» использовала вращающийся Диск Эйлера в качестве звукового эффекта для торпед. Во время вручения премии Оскар был показан короткий клип звуковой команды, играющей с Диском Эйлера. [ необходима цитата ]
Смотрите также
- Список тем имени Леонарда Эйлера
- Tippe top - еще одна вращающаяся физическая игрушка, которая демонстрирует удивительное поведение
Рекомендации
- ↑ Фред Гутер (1 декабря 1996 г.). «Игрушки науки» . Откройте для себя . Проверено 23 ноября 2018 .
Играя с диском, Бендик подумал: «Может, получится хорошая игрушка».
- ^ «Товарные знаки> Система электронного поиска товарных знаков (ТЭСС)> Диск Эйлера» . Ведомство США по патентам и товарным знакам. 21 сентября 2010 . Проверено 23 ноября 2018 .
Индикатор Live / Dead: ЖИВОЙ
- ^ «Публикации» . eulersdisk.com.
- ^ Ишвар, К .; Rouyer, F .; Менон, Н. (2002). «Ускорение до остановки: конечное время особенности вращающегося диска». Physical Review E . 66 (4): 045102. Bibcode : 2002PhRvE..66d5102E . DOI : 10.1103 / PhysRevE.66.045102 . PMID 12443243 .
- ^ Макдональд, Александр Дж .; Макдональд, Кирк Т. (2000). «Катящееся движение диска по горизонтальной плоскости». arXiv : физика / 0008227 .
- ^ Моффатт, Гонконг (20 апреля 2000 г.). «Диск Эйлера и его конечная временная особенность». Природа . 404 (6780): 833–834. Bibcode : 2000Natur.404..833M . DOI : 10.1038 / 35009017 . PMID 10786779 . S2CID 197644581 .
- ^ Ван ден Энг, Гер; Нельсон, Питер; Роуч, Джаред (30 ноября 2000 г.). «Аналитическая динамика: нумизматические колебания». Природа . 408 (6812): 540. Bibcode : 2000Natur.408..540V . DOI : 10.1038 / 35046209 . PMID 11117733 . S2CID 4407382 .
- ^ Моффатт, Гонконг (30 ноября 2000 г.). «Ответ: нумизматические колебания». Природа . 408 (6812): 540. Bibcode : 2000Natur.408..540M . DOI : 10.1038 / 35046211 . S2CID 205011563 .
- ^ Petrie, D .; Хант, JL; Грей, CG (2002). «Диск Эйлера скользит при движении?». Американский журнал физики . 70 (10): 1025–1028. Bibcode : 2002AmJPh..70.1025P . DOI : 10.1119 / 1.1501117 . S2CID 28497371 .
- ^ Колпачки, H .; Dorbolo, S .; Ponte, S .; Croisier, H; Вандевалле, Н. (май 2004 г.). «Катящееся и скользящее движение диска Эйлера» (PDF) . Phys. Rev. E . 69 (5): 056610. arXiv : cond-mat / 0401278 . Bibcode : 2004PhRvE..69e6610C . DOI : 10.1103 / PhysRevE.69.056610 . PMID 15244966 .
- ^ Leine, RI (2009). «Экспериментальное и теоретическое исследование рассеивания энергии катящегося диска во время его конечной стадии движения» (PDF) . Архив прикладной механики . 79 (11): 1063–1082. Bibcode : 2009AAM .... 79.1063L . DOI : 10.1007 / s00419-008-0278-6 . ЛВП : 20.500.11850 / 12334 . S2CID 48358816 .
Внешние ссылки
- Eulersdisk.com
- Физика вращающейся монеты (20 апреля 2000 г.) PhysicsWeb
- Экспериментальное и теоретическое исследование рассеяния энергии катящегося диска на заключительной стадии его движения (12 декабря 2008 г.) Arch Appl Mech
- Комментарий к диску Моффата (31 марта 2002 г.)
- «Диск Эйлера» . Проблемы физики реального мира . real-world-physics-problems.com . Проверено 11 июля 2014 . Подробный математико-физический анализ движения диска
- Видео на YouTube о диске Эйлера в действии