В математике , А особенностью является точка , в которой данный математический объект не определен, или точка , в которой математический объект перестает быть хорошо себя каким - то определенным образом, например, путем отсутствует дифференцируемость или аналитичность . [1] [2] [3] [4]
Например, реальная функция
имеет особенность на , где численное значение функции приближается к поэтому функция не определена. Абсолютное значение функциитакже имеет особенность в точке x = 0 , так как там она не дифференцируема . [1] [5]
Алгебраическая кривая определяется в система координат имеет особенность (называемую куспидом ) в точке. Об особенностях алгебраической геометрии см. Особую точку алгебраического многообразия . Об особенностях в дифференциальной геометрии см. Теорию особенностей .
Реальный анализ
В реальном анализе особенности - это либо разрывы , либо разрывы производной (иногда также разрывы производных более высокого порядка). Существует четыре вида разрывов: тип I , который имеет два подтипа, и тип II , который также можно разделить на два подтипа (хотя обычно это не так).
Чтобы описать способ использования этих двух типов ограничений, предположим, что является функцией действительного аргумента , и для любого значения его аргумента, скажем , то левый предел ,, и правый предел ,, определяются:
- , сдерживаемый а также
- , сдерживаемый .
Значение это значение, которое функция стремится к как ценность подходы из ниже , а значение это значение, которое функция стремится к как ценность подходы от выше , независимо от фактического значения функция имеет в точке , где .
Есть функции, для которых эти ограничения вообще не существуют. Например, функция
ни к чему не стремится как подходы . Пределы в этом случае не бесконечны, а скорее неопределенны : нет значения, котороеоседает на. Заимствуя сложный анализ, это иногда называют существенной сингулярностью .
Возможные случаи при заданной стоимости аргументы заключаются в следующем.
- Точка непрерывности является значением для которого , как и следовало ожидать от гладкой функции. Все значения должны быть конечными. Если не является точкой непрерывности, то разрыв происходит в .
- Разрыв типа I возникает, когда оба а также существуют и конечны, но также применяется по крайней мере одно из следующих трех условий:
- ;
- не определено для случая ; или же
- имеет определенное значение, которое, однако, не соответствует значению двух пределов.
- Разрывы типа I можно далее выделить как один из следующих подтипов:
- Прыжок разрыв происходит , когда, несмотря на погоду определено, и независимо от его значения, если оно определено.
- Съемный разрыв происходит , когда, также независимо от того, определен, и независимо от его значения, если он определен (но который не совпадает с этим из двух пределов).
- Разрыв типа II возникает, когда либо или же не существует (возможно, оба). Он имеет два подтипа, которые обычно не рассматриваются отдельно:
- Бесконечный разрыв является частным случаем , когда либо левая или правая рука предел не существует, а именно потому , что она бесконечна, а другой предел либо бесконечна, или некоторые хорошо определены конечное число. Другими словами, функция имеет бесконечный разрыв, когда ее график имеет вертикальную асимптоту .
- Существенная особенность является термин , заимствованный из комплексного анализа (см . Ниже) Это тот случай, когда один или другой предел или же не существует, но не потому, что это бесконечный разрыв . Существенные особенности не имеют предела, даже если верные ответы расширены, чтобы включить.
В реальном анализе сингулярность или разрыв - это свойство только функции. Любые особенности, которые могут существовать в производной функции, считаются принадлежащими производной, а не исходной функции.
Координатные особенности
Координат особенность возникает , когда кажущаяся особенность или разрыва происходит в одной системе координат, который может быть удален путем выбора другого кадра. Примером этого является кажущаяся сингулярность на широте 90 градусов в сферических координатах . Объект, движущийся строго на север (например, по линии 0 градусов долготы) на поверхности сферы, внезапно испытает мгновенное изменение долготы на полюсе (в случае примера, прыжок с долготы 0 на долготу 180 градусов) . Этот разрыв, однако, только очевиден; это артефакт выбранной системы координат, которая является сингулярной на полюсах. Другая система координат устранила бы очевидную неоднородность (например, заменив представление широты / долготы представлением n- вектора ).
Комплексный анализ
В комплексном анализе выделяют несколько классов особенностей. К ним относятся изолированные особенности, неизолированные особенности и точки ветвления.
Изолированные особенности
Предположим , что U является открытое подмножество из комплексных чисел C , с точкой является элементом U , и что е является сложным дифференцируемая функция , определенная на некоторой окрестности вокруг , за исключением а : U \ { }, то:
- Точка является устранимой особенностью из F , если существует голоморфная функция г , определенная на всех U такая , что F ( г ) = г ( г ) для всех г в U \ { }. Функция g является непрерывной заменой функции f . [6]
- Точка a является полюсом или несущественной особенностью функции f, если существует голоморфная функция g, определенная на U с g ( a ), отличным от нуля, и натуральное число n такое, что f ( z ) = g ( z ) / ( z - а ) n для всех z в U \ { a }. Наименьшее такое число n называется порядком полюса . Сама производная в несущественной особенности имеет несущественную особенность, причем n увеличивается на 1 (кроме случаев, когда n равно 0, так что особенность устранима).
- Точка является существенной особенностью в F , если она не является ни съемная сингулярностью , ни полюс. Точка a является существенной особенностью тогда и только тогда, когда ряд Лорана имеет бесконечно много степеней отрицательной степени. [2]
Неизолированные особенности
Помимо изолированных сингулярностей, сложные функции одной переменной могут демонстрировать другое сингулярное поведение. Они называются неизолированными особенностями и бывают двух типов:
- Точки скопления : предельные точки изолированных особенностей. Если все они являются полюсами, несмотря на допущение разложения в ряд Лорана для каждого из них, то такое разложение невозможно на его пределе.
- Естественные границы : любое неизолированное множество (например, кривая), на котором функции не могут быть аналитически продолжены вокруг (или вне их, если они являются замкнутыми кривыми в сфере Римана ).
Пункты ответвления
Точки ветвления обычно являются результатом многозначной функции , например или же , которые определены в определенной ограниченной области, чтобы функция могла быть однозначной в пределах области. Разрез - это линия или кривая, исключенная из области, чтобы ввести техническое разделение между прерывистыми значениями функции. Когда разрез действительно требуется, функция будет иметь совершенно разные значения на каждой стороне разреза ветки. Форма среза ветки является вопросом выбора, даже если она должна соединять две разные точки ветвления (например, а также для ), которые фиксируются на месте.
Конечная сингулярность
Конечное время особенность возникает , когда один входные переменное время, а также увеличивает выход переменных к бесконечности в конечное время. Они важны в кинематике и PDE ( уравнения с частными производными ) - бесконечности не возникают физически, но поведение вблизи сингулярности часто представляет интерес. Математически простейшие особенности за конечное время являются степенными законами для различных показателей видаиз которых самый простой - гиперболический рост , где показатель степени равен (отрицательному) 1: Точнее, чтобы получить сингулярность в положительный момент времени с течением времени (чтобы результат увеличивался до бесконечности), вместо этого используется (используя t для времени, меняя направление на так что время увеличивается до бесконечности, и сдвиг сингулярности вперед от 0 до фиксированного времени ).
Примером может служить отскок неупругого шара по плоскости. Если рассматривать идеализированное движение, при котором одна и та же часть кинетической энергии теряется при каждом отскоке, частота отскоков становится бесконечной, поскольку мяч останавливается за конечное время. Другие примеры сингулярностей с конечным временем включают различные формы парадокса Пенлеве (например, тенденция мелка скакать, когда его тянут по доске), и то, как скорость прецессии монеты, вращающейся на плоской поверхности, ускоряется до бесконечности - перед резкой остановкой (что было изучено с помощью игрушки «Диск Эйлера» ).
Гипотетические примеры включают шутливое « уравнение судного дня» Хайнца фон Ферстера (упрощенные модели дают бесконечное человеческое население за конечное время).
Алгебраическая геометрия и коммутативная алгебра
В алгебраической геометрии , А особенность алгебраического многообразия является точка многообразия , где касательное пространство не может быть определен на регулярной основе . Простейшим примером особенностей являются пересекающиеся кривые. Но есть и другие типы особенностей, например куспиды . Например, уравнение y 2 - x 3 = 0 определяет кривую, которая имеет острие в начале координат x = y = 0 . Можно определить ось x как касательную в этой точке, но это определение не может быть таким же, как определение в других точках. Фактически, в этом случае ось x является «двойным касанием».
Для аффинных и проективных многообразий особенности - это точки, в которых матрица Якоби имеет ранг ниже, чем в других точках этого многообразия.
Можно дать эквивалентное определение в терминах коммутативной алгебры , которое распространяется на абстрактные многообразия и схемы : точка является особой, если локальное кольцо в этой точке не является регулярным локальным кольцом .
Смотрите также
- Теория катастроф
- Определенный и неопределенный
- Вырождение (математика)
- Деление на ноль
- Гиперболический рост
- Патологический (математика)
- Уникальное решение
- Устранимая особенность
Рекомендации
- ^ a b "Окончательный словарь высшего математического жаргона - сингулярность" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 12 декабря 2019 .
- ^ а б «Особенности, нули и полюсы» . mathfaculty.fullerton.edu . Проверено 12 декабря 2019 .
- ^ «Особенность | комплексные функции» . Британская энциклопедия . Проверено 12 декабря 2019 .
- ^ «Сингулярность (математика)» . TheFreeDictionary.com . Проверено 12 декабря 2019 .
- ^ Берресфорд, Джеффри Ч .; Рокетт, Эндрю М. (2015). Прикладное исчисление . Cengage Learning. п. 151. ISBN. 978-1-305-46505-3.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Сингулярность» . mathworld.wolfram.com . Проверено 12 декабря 2019 .