Ожидаемое значение
В теории вероятностей ожидаемое значение ( также называемое ожиданием , математическим ожиданием , средним значением , средним значением или первым моментом ) является обобщением средневзвешенного значения . Неформально ожидаемое значение представляет собой среднее арифметическое большого числа независимо выбранных исходов случайной величины .
Ожидаемое значение случайной величины с конечным числом исходов представляет собой средневзвешенное значение всех возможных исходов. В случае континуума возможных результатов ожидание определяется интегрированием . В аксиоматическом обосновании вероятности, обеспечиваемом теорией меры , ожидание дается интегрированием по Лебегу .
Ожидаемое значение случайной величины X часто обозначается как E( X ) , E[ X ] или E X , где E также часто стилизовано под E или [1] [2] [3] .
Идея математического ожидания возникла в середине 17 века при изучении так называемой проблемы очков , которая направлена на справедливое распределение ставок между двумя игроками, которые должны закончить свою игру до того, как она будет решена должным образом. законченный. [4] Эта проблема обсуждалась веками. Много противоречивых предложений и решений было предложено за годы, когда это было предложено Блезу Паскалю французским писателем и математиком-любителем Шевалье де Мере.в 1654 году. Мере утверждал, что эта проблема не может быть решена и что она показывает, насколько ошибочна математика, когда дело доходит до ее применения в реальном мире. Паскаль, будучи математиком, был спровоцирован и полон решимости решить проблему раз и навсегда.
Он начал обсуждать проблему в знаменитой серии писем к Пьеру де Ферма . Вскоре они оба независимо друг от друга нашли решение. Они решили задачу разными вычислительными способами, но их результаты были идентичными, поскольку их вычисления были основаны на одном и том же фундаментальном принципе. Принцип заключается в том, что стоимость будущего выигрыша должна быть прямо пропорциональна шансу его получить. Этот принцип казался естественным для них обоих. Они были очень довольны тем фактом, что нашли по существу такое же решение, и это, в свою очередь, вселило в них полную уверенность в том, что они окончательно решили проблему; однако они не опубликовали свои выводы. Об этом они сообщили лишь небольшому кругу общих друзей-ученых в Париже. [5]
В книге голландского математика Христиана Гюйгенса он рассмотрел проблему точек и представил решение, основанное на том же принципе, что и решения Паскаля и Ферма. Гюйгенс опубликовал свой трактат в 1657 г. (см. Гюйгенс (1657) ) « De ratiociniis in ludo aleæ » по теории вероятностей сразу после посещения Парижа. Книга расширила концепцию ожидания, добавив правила расчета ожиданий в более сложных ситуациях, чем исходная задача (например, для трех или более игроков), и ее можно рассматривать как первую успешную попытку заложить основы теории . вероятности .
