Расширенный фильтр Калмана

В теории оценивания , то расширенный фильтр Калмана ( EKF ) является нелинейной версией фильтра Кальмана , который линеаризует об оценке текущего среднего и ковариации . В случае четко определенных моделей перехода EKF считается ^[1] стандартом де-факто в теории нелинейного оценивания состояния, навигационных систем и GPS . ^[2]

История [ править ]

Документы , устанавливающие математические основы фильтров Калмана типа были опубликованы в период между 1959 и 1961 ^{[3] [4] [5]} фильтр Калмана является оптимальной линейной оценки для линейных моделей систем с аддитивным белым шумом независимым как в переходе и измерение системы. К сожалению, в технике большинство систем являются нелинейными , поэтому были предприняты попытки применить этот метод фильтрации к нелинейным системам; Большая часть этой работы была проделана в NASA Ames . ^{[6] [7]} EKF адаптировал методы исчисления , а именно многомерный ряд Тейлора.расширения, чтобы линеаризовать модель относительно рабочей точки. Если модель системы (как описано ниже) недостаточно известна или неточна, для оценки используются методы Монте-Карло , особенно фильтры частиц . Методы Монте-Карло предшествовали существованию EKF, но требуют больших вычислительных затрат для любого пространства состояний средней размерности .

Формулировка [ править ]

В расширенном фильтре Калмана модели перехода состояний и наблюдения не обязательно должны быть линейными функциями состояния, но вместо этого могут быть дифференцируемыми функциями.

${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}} _ {k} = f ({\ boldsymbol {x}} _ {k-1}, {\ boldsymbol {u}} _ {k}) + {\ boldsymbol {w} } _ {k}}$

${\ displaystyle {\ boldsymbol {z}} _ {k} = h ({\ boldsymbol {x}} _ {k}) + {\ boldsymbol {v}} _ {k}}$

Здесь w _k и v _k - шумы процесса и наблюдения, которые предполагаются как многомерные гауссовские шумы с нулевым средним с ковариацией Q _k и R _k соответственно. u _k - вектор управления.

Функцию f можно использовать для вычисления прогнозируемого состояния на основе предыдущей оценки, и аналогичным образом функция h может использоваться для вычисления прогнозируемого измерения на основе прогнозируемого состояния. Однако f и h нельзя применять к ковариации напрямую. Вместо этого вычисляется матрица частных производных ( якобиан ).

На каждом временном шаге якобиан оценивается с учетом текущих предсказанных состояний. Эти матрицы могут использоваться в уравнениях фильтра Калмана. Этот процесс существенно линеаризует нелинейную функцию относительно текущей оценки.

Обозначения см. В статье о фильтре Калмана .

Уравнения прогнозирования и обновления в дискретном времени [ править ]

Обозначение представляет собой оценку в момент времени n данных наблюдений до момента времени m ≤ n включительно .${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{n\mid m}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$

Прогнозировать [ править ]

Прогнозируемая оценка состояния	${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1}=f({\hat {\boldsymbol {x}}}_{k-1|k-1},{\boldsymbol {u}}_{k})}$
Прогнозируемая оценка ковариации	${\displaystyle {\boldsymbol {P}}_{k|k-1}={{\boldsymbol {F}}_{k}}{\boldsymbol {P}}_{k-1|k-1}{{\boldsymbol {F}}_{k}^{\top }}+{\boldsymbol {Q}}_{k}}$

Обновить [ изменить ]

Нововведение или остаток измерения	${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {y}}}_{k}={\boldsymbol {z}}_{k}-h({\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1})}$
Инновационная (или остаточная) ковариация	${\displaystyle {\boldsymbol {S}}_{k}={{\boldsymbol {H}}_{k}}{\boldsymbol {P}}_{k|k-1}{{\boldsymbol {H}}_{k}^{\top }}+{\boldsymbol {R}}_{k}}$
Почти оптимальное усиление Калмана	${\displaystyle {\boldsymbol {K}}_{k}={\boldsymbol {P}}_{k|k-1}{{\boldsymbol {H}}_{k}^{\top }}{\boldsymbol {S}}_{k}^{-1}}$
Обновленная государственная оценка	${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k}={\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1}+{\boldsymbol {K}}_{k}{\tilde {\boldsymbol {y}}}_{k}}$
Обновленная оценка ковариации	${\displaystyle {\boldsymbol {P}}_{k|k}=({\boldsymbol {I}}-{\boldsymbol {K}}_{k}{{\boldsymbol {H}}_{k}}){\boldsymbol {P}}_{k|k-1}}$

где матрицы перехода состояний и наблюдения определены как следующие якобианы

${\displaystyle {{\boldsymbol {F}}_{k}}=\left.{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {x}}}}\right\vert _{{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k-1|k-1},{\boldsymbol {u}}_{k}}}$

${\displaystyle {{\boldsymbol {H}}_{k}}=\left.{\frac {\partial h}{\partial {\boldsymbol {x}}}}\right\vert _{{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1}}}$

Недостатки [ править ]

В отличие от своего линейного аналога, расширенный фильтр Калмана в целом не является оптимальным оценщиком (он оптимален, если измерение и модель перехода состояний являются линейными, поскольку в этом случае расширенный фильтр Калмана идентичен обычному). Кроме того, если первоначальная оценка состояния неверна или процесс моделируется неправильно, фильтр может быстро расходиться из-за его линеаризации. Другая проблема с расширенным фильтром Калмана состоит в том, что оцененная ковариационная матрица имеет тенденцию занижать истинную ковариационную матрицу и, следовательно, рискует стать несовместимой в статистическом смысле без добавления «стабилизирующего шума» ^[8] .

При этом расширенный фильтр Калмана может дать разумную производительность и, возможно, является стандартом де-факто в навигационных системах и GPS.

Обобщения [ править ]

Расширенный фильтр Калмана с непрерывным временем [ править ]

Модель

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {x} }}(t)&=f{\bigl (}\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t){\bigr )}+\mathbf {w} (t)&\mathbf {w} (t)&\sim {\mathcal {N}}{\bigl (}\mathbf {0} ,\mathbf {Q} (t){\bigr )}\\\mathbf {z} (t)&=h{\bigl (}\mathbf {x} (t){\bigr )}+\mathbf {v} (t)&\mathbf {v} (t)&\sim {\mathcal {N}}{\bigl (}\mathbf {0} ,\mathbf {R} (t){\bigr )}\end{aligned}}}$

Инициализировать

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}(t_{0})=E{\bigl [}\mathbf {x} (t_{0}){\bigr ]}{\text{, }}\mathbf {P} (t_{0})=Var{\bigl [}\mathbf {x} (t_{0}){\bigr ]}}$

Прогнозировать-Обновить

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\hat {\mathbf {x} }}}(t)&=f{\bigl (}{\hat {\mathbf {x} }}(t),\mathbf {u} (t){\bigr )}+\mathbf {K} (t){\Bigl (}\mathbf {z} (t)-h{\bigl (}{\hat {\mathbf {x} }}(t){\bigr )}{\Bigr )}\\{\dot {\mathbf {P} }}(t)&=\mathbf {F} (t)\mathbf {P} (t)+\mathbf {P} (t)\mathbf {F} (t)^{\top }-\mathbf {K} (t)\mathbf {H} (t)\mathbf {P} (t)+\mathbf {Q} (t)\\\mathbf {K} (t)&=\mathbf {P} (t)\mathbf {H} (t)^{\top }\mathbf {R} (t)^{-1}\\\mathbf {F} (t)&=\left.{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\right\vert _{{\hat {\mathbf {x} }}(t),\mathbf {u} (t)}\\\mathbf {H} (t)&=\left.{\frac {\partial h}{\partial \mathbf {x} }}\right\vert _{{\hat {\mathbf {x} }}(t)}\end{aligned}}}$

В отличие от расширенного фильтра Калмана с дискретным временем, этапы прогнозирования и обновления связаны в расширенном фильтре Калмана с непрерывным временем. ^[9]

Измерения в дискретном времени [ править ]

Большинство физических систем представлены в виде моделей с непрерывным временем, в то время как измерения с дискретным временем часто проводятся для оценки состояния с помощью цифрового процессора. Таким образом, модель системы и модель измерения задаются следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {x} }}(t)&=f{\bigl (}\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t){\bigr )}+\mathbf {w} (t)&\mathbf {w} (t)&\sim {\mathcal {N}}{\bigl (}\mathbf {0} ,\mathbf {Q} (t){\bigr )}\\\mathbf {z} _{k}&=h(\mathbf {x} _{k})+\mathbf {v} _{k}&\mathbf {v} _{k}&\sim {\mathcal {N}}(\mathbf {0} ,\mathbf {R} _{k})\end{aligned}}}$

где .${\displaystyle \mathbf {x} _{k}=\mathbf {x} (t_{k})}$

Инициализировать

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{0|0}=E{\bigl [}\mathbf {x} (t_{0}){\bigr ]},\mathbf {P} _{0|0}=E{\bigl [}\left(\mathbf {x} (t_{0})-{\hat {\mathbf {x} }}(t_{0})\right)\left(\mathbf {x} (t_{0})-{\hat {\mathbf {x} }}(t_{0})\right)^{T}{\bigr ]}}$

Предсказывать

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{solve }}&{\begin{cases}{\dot {\hat {\mathbf {x} }}}(t)=f{\bigl (}{\hat {\mathbf {x} }}(t),\mathbf {u} (t){\bigr )}\\{\dot {\mathbf {P} }}(t)=\mathbf {F} (t)\mathbf {P} (t)+\mathbf {P} (t)\mathbf {F} (t)^{\top }+\mathbf {Q} (t)\end{cases}}\qquad {\text{with }}{\begin{cases}{\hat {\mathbf {x} }}(t_{k-1})={\hat {\mathbf {x} }}_{k-1|k-1}\\\mathbf {P} (t_{k-1})=\mathbf {P} _{k-1|k-1}\end{cases}}\\\Rightarrow &{\begin{cases}{\hat {\mathbf {x} }}_{k|k-1}={\hat {\mathbf {x} }}(t_{k})\\\mathbf {P} _{k|k-1}=\mathbf {P} (t_{k})\end{cases}}\end{aligned}}}$

куда

${\displaystyle \mathbf {F} (t)=\left.{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\right\vert _{{\hat {\mathbf {x} }}(t),\mathbf {u} (t)}}$

Обновлять

${\displaystyle \mathbf {K} _{k}=\mathbf {P} _{k|k-1}\mathbf {H} _{k}^{\top }{\bigl (}\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k|k-1}\mathbf {H} _{k}^{\top }+\mathbf {R} _{k}{\bigr )}^{-1}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k|k}={\hat {\mathbf {x} }}_{k|k-1}+\mathbf {K} _{k}{\bigl (}\mathbf {z} _{k}-h({\hat {\mathbf {x} }}_{k|k-1}){\bigr )}}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{k|k}=(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k})\mathbf {P} _{k|k-1}}$

куда

${\displaystyle {\textbf {H}}_{k}=\left.{\frac {\partial h}{\partial {\textbf {x}}}}\right\vert _{{\hat {\textbf {x}}}_{k|k-1}}}$

Уравнения обновления идентичны уравнениям расширенного фильтра Калмана с дискретным временем.

Расширенные фильтры Калмана высшего порядка [ править ]

Вышеупомянутая рекурсия представляет собой расширенный фильтр Калмана первого порядка (EKF). EKF более высокого порядка могут быть получены путем сохранения большего количества членов разложений в ряд Тейлора. Например, были описаны EKF второго и третьего порядка. ^[10] Однако EKF более высокого порядка, как правило, дают преимущества в производительности только тогда, когда шум измерения невелик.

Формулировка и уравнения неаддитивного шума [ править ]

Типичная формулировка EKF включает допущение об аддитивном технологическом и измерительном шумах. Однако это предположение не является необходимым для реализации EKF . ^[11] Вместо этого рассмотрите более общую систему вида:

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{k}=f({\boldsymbol {x}}_{k-1},{\boldsymbol {u}}_{k-1},{\boldsymbol {w}}_{k-1})}$

${\displaystyle {\boldsymbol {z}}_{k}=h({\boldsymbol {x}}_{k},{\boldsymbol {v}}_{k})}$

Здесь w _k и v _k - шумы процесса и наблюдения, которые предполагаются как многомерные гауссовские шумы с нулевым средним с ковариацией Q _k и R _k соответственно. Тогда ковариационный прогноз и уравнения инноваций становятся

${\displaystyle {\boldsymbol {P}}_{k|k-1}={{\boldsymbol {F}}_{k-1}}{{\boldsymbol {P}}_{k-1|k-1}}{{\boldsymbol {F}}_{k-1}^{\top }}{+}{{\boldsymbol {L}}_{k-1}}{{\boldsymbol {Q}}_{k-1}}{{\boldsymbol {L}}_{k-1}^{T}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}_{k}={{\boldsymbol {H}}_{k}}{{\boldsymbol {P}}_{k|k-1}}{{\boldsymbol {H}}_{k}^{\top }}{+}{{\boldsymbol {M}}_{k}}{{\boldsymbol {R}}_{k}}{{\boldsymbol {M}}_{k}^{T}}}$

где матрицы и - матрицы Якоби:${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{k-1}}$${\displaystyle {\boldsymbol {M}}_{k}}$

${\displaystyle {{\boldsymbol {L}}_{k-1}}=\left.{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {w}}}}\right\vert _{{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k-1|k-1},{\boldsymbol {u}}_{k-1}}}$

${\displaystyle {{\boldsymbol {M}}_{k}}=\left.{\frac {\partial h}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\right\vert _{{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1}}}$

Прогнозируемая оценка состояния и остаток измерения оцениваются как среднее значение шума процесса и измерения, которое предполагается равным нулю. В остальном формулировка неаддитивного шума реализуется таким же образом, как и аддитивный шум EKF .

Неявный расширенный фильтр Калмана [ править ]

В некоторых случаях модель наблюдения нелинейной системы не может быть решена для , но может быть выражена неявной функцией :${\displaystyle {\boldsymbol {z}}_{k}}$

${\displaystyle h({\boldsymbol {x}}_{k},{\boldsymbol {z'}}_{k})={\boldsymbol {0}}}$

где зашумленные наблюдения.${\displaystyle {\boldsymbol {z}}_{k}={\boldsymbol {z'}}_{k}+{\boldsymbol {v}}_{k}}$

Обычный расширенный фильтр Калмана можно применить со следующими заменами: ^{[12] [13]}

${\displaystyle {{\boldsymbol {R}}_{k}}\leftarrow {{\boldsymbol {J}}_{k}}{{\boldsymbol {R}}_{k}}{{\boldsymbol {J}}_{k}^{T}}}$

${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {y}}}_{k}\leftarrow -h({\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1},{\boldsymbol {z}}_{k})}$

куда:

${\displaystyle {{\boldsymbol {J}}_{k}}=\left.{\frac {\partial h}{\partial {\boldsymbol {z}}}}\right\vert _{{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1},{\hat {\boldsymbol {z}}}_{k}}}$

Здесь исходная ковариационная матрица наблюдения преобразуется, а нововведение определяется по-другому. Матрица Якоби определяется, как и раньше, но определяется из модели неявного наблюдения .${\displaystyle {{\boldsymbol {R}}_{k}}}$${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {y}}}_{k}}$${\displaystyle {{\boldsymbol {H}}_{k}}}$${\displaystyle h({\boldsymbol {x}}_{k},{\boldsymbol {z}}_{k})}$

Модификации [ править ]

Итерированный расширенный фильтр Калмана [ править ]

Итерированный расширенный фильтр Калмана улучшает линеаризацию расширенного фильтра Калмана путем рекурсивного изменения центральной точки разложения Тейлора. Это снижает ошибку линеаризации за счет увеличения вычислительных требований. ^[13]

Надежный расширенный фильтр Калмана [ править ]

Расширенный фильтр Калмана возникает путем линеаризации модели сигнала относительно оценки текущего состояния и использования линейного фильтра Калмана для предсказания следующей оценки. Это пытается создать локально оптимальный фильтр, однако он не обязательно является стабильным, потому что решения лежащего в основе уравнения Риккати не гарантируют, что они будут положительно определенными. Одним из способов повышения производительности является искусственный алгебраический метод Риккати ^[14], который жертвует оптимальностью в пользу стабильности. Знакомая структура расширенного фильтра Калмана сохраняется, но стабильность достигается путем выбора положительно определенного решения ложного алгебраического уравнения Риккати для схемы усиления.

Другим способом улучшения характеристик расширенного фильтра Калмана является использование результатов H-бесконечности от робастного управления. Надежные фильтры получаются добавлением положительно определенного члена к расчетному уравнению Риккати. ^[15] Дополнительный член параметризуется скаляром, который разработчик может настроить, чтобы достичь компромисса между критериями эффективности среднеквадратичной ошибки и максимальной погрешности.

Инвариантный расширенный фильтр Калмана [ править ]

Инвариантный расширенный фильтр Калмана (IEKF) - это модифицированная версия EKF для нелинейных систем, обладающих симметриями (или инвариантами ). Он сочетает в себе преимущества EKF и недавно представленных фильтров, сохраняющих симметрию . Вместо использования линейного поправочного члена, основанного на линейной выходной ошибке, IEKF использует геометрически адаптированный поправочный член, основанный на инвариантной выходной ошибке; таким же образом матрица усиления обновляется не из линейной ошибки состояния, а из инвариантной ошибки состояния. Основное преимущество заключается в том, что уравнения усиления и ковариации сходятся к постоянным значениям на гораздо большем наборе траекторий, чем точки равновесия, как это имеет место для EKF, что приводит к лучшей сходимости оценки.

Фильтры Калмана без запаха [ править ]

Нелинейный фильтр Калмана, который является многообещающим улучшением по сравнению с EKF, - это фильтр Калмана без запаха (UKF). В UKF плотность вероятности аппроксимируется детерминированной выборкой точек, которые представляют лежащее в основе распределение как гауссовское . Нелинейное преобразование этих точек предназначено для оценки апостериорного распределения, моменты которого затем могут быть получены из преобразованных выборок. Преобразование известно как преобразование без запаха . UKF имеет тенденцию быть более надежным и точным, чем EKF, в оценке ошибок во всех направлениях.

«Расширенный фильтр Калмана (EKF), вероятно, является наиболее широко используемым алгоритмом оценки для нелинейных систем. Однако более чем 35-летний опыт работы в оценочном сообществе показал, что его сложно реализовать, сложно настроить и он надежен только для систем, которые практически линейны по шкале времени обновлений. Многие из этих трудностей возникают из-за использования линеаризации ". ^[1]

Документ 2012 года включает результаты моделирования, которые показывают, что некоторые опубликованные варианты UKF не могут быть такими же точными, как расширенный фильтр Калмана второго порядка (SOEKF), также известный как расширенный фильтр Калмана. ^[16] SOEKF предшествует UKF примерно на 35 лет, причем моментная динамика впервые описана Bass et al. ^[17] Сложность реализации любых фильтров типа Калмана для нелинейных переходов состояний связана с проблемами численной стабильности, необходимыми для точности, ^[18] однако UKF не избегает этой трудности, поскольку также использует линеаризацию, а именно линейную регрессию. Проблемы стабильности для UKF обычно возникают из-за численного приближения к квадратному корню из ковариационной матрицы, тогда как проблемы устойчивости как для EKF, так и для SOEKF возникают из возможных проблем в приближении ряда Тейлора вдоль траектории.

Ансамблевый фильтр Калмана [ править ]

UKF был на самом деле предшествовали Фильтр Ансамбля Калмана, изобретенный Evensen в 1994 году ансамбль фильтра Калмана . Он имеет преимущество перед UKF в том, что количество используемых членов ансамбля может быть намного меньше, чем измерение состояния, что позволяет применять приложения в системах очень большой размерности, таких как прогноз погоды, с размерами пространства состояний в миллиард или более.

См. Также [ править ]

• Фильтр Калмана
• Ансамблевый фильтр Калмана
• Быстрый фильтр Калмана
• Инвариантный расширенный фильтр Калмана
• Оценка подвижного горизонта
• Фильтр твердых частиц
• Фильтр Калмана без запаха

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Оценка положения дифференциально-колесного робота на основе одометрии и ориентиров