Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Для журнала спекулятивной фантастики см Экстраполяция (журнал) . Об альбоме Джона Маклафлина см. Extrapolation (альбом) .

В математике , экстраполяция является типом оценки , за пределами первоначального диапазона наблюдения, значения переменного на основе его отношений с другим переменным. Это похоже на интерполяцию , которая дает оценки между известными наблюдениями, но экстраполяция подвержена большей неопределенности и более высокому риску получения бессмысленных результатов. Экстраполяция также может означать расширение метода , если будут применимы аналогичные методы. Экстраполяция также применима к человеческому опыту.проецировать, расширять или расширять известный опыт в области, неизвестной или ранее испытанной, чтобы прийти к (обычно предполагаемому) знанию неизвестного [1] (например, водитель экстраполирует дорожные условия за пределы его поля зрения во время вождения). Метод экстраполяции может быть применен в задаче внутренней реконструкции .

Примерная иллюстрация проблемы экстраполяции, состоящая из присвоения значимого значения синему прямоугольнику, в заданных красных точках данных.

Методы [ править ]

Обоснованный выбор того, какой метод экстраполяции применить, зависит от предварительного знания процесса, создавшего существующие точки данных. Некоторые эксперты предложили использовать причинные силы при оценке методов экстраполяции. [2] Ключевыми вопросами являются, например, можно ли предположить, что данные являются непрерывными, гладкими, возможно периодическими и т. Д.

Линейный [ править ]

Линейная экстраполяция означает создание касательной в конце известных данных и расширение ее за этот предел. Линейная экстраполяция даст хорошие результаты только тогда, когда она используется для расширения графика приблизительно линейной функции или не слишком далеко за пределы известных данных.

Если две точки данных, ближайшие к точке, подлежащей экстраполяции, равны и , линейная экстраполяция дает функцию:

(что идентично линейной интерполяции, если ). Можно включить более двух точек и усреднить наклон линейного интерполянта с помощью методов, подобных регрессии , для точек данных, выбранных для включения. Это похоже на линейное предсказание .

Полином [ править ]

Экстраполяции Лагранжа последовательности 1,2,3. Экстраполяция на 4 приводит к полиному минимальной степени ( голубая линия).

Полиномиальная кривая может быть построена по всем известным данным или только ближе к концу (две точки для линейной экстраполяции, три точки для квадратичной экстраполяции и т. Д.). Полученная кривая затем может быть расширена за пределы известных данных. Полиномиальная экстраполяция обычно выполняется с помощью интерполяции Лагранжа или с использованием метода конечных разностей Ньютона для создания ряда Ньютона, который соответствует данным. Полученный многочлен можно использовать для экстраполяции данных.

Экстраполяцию полиномов высокого порядка следует использовать с должной осторожностью. Для примера набора данных и проблемы на рисунке выше все, что выше порядка 1 (линейная экстраполяция), возможно, даст непригодные для использования значения; оценка ошибки экстраполированного значения будет расти с увеличением степени экстраполяции полинома. Это связано с феноменом Рунге .

Коник [ править ]

Коническое сечение может быть создано с использованием пяти точек вблизи конца известных данных. Если созданное коническое сечение представляет собой эллипс или круг , при экстраполяции оно будет возвращаться в цикл и соединиться заново. Экстраполированная парабола или гипербола не соединятся сами с собой, но могут искривляться относительно оси X. Этот тип экстраполяции может быть выполнен с помощью шаблона конических сечений (на бумаге) или с помощью компьютера.

Французская кривая [ править ]

Экстраполяция французской кривой - это метод, подходящий для любого распределения, которое имеет тенденцию быть экспоненциальным, но с факторами ускорения или замедления. [3] Этот метод успешно использовался для составления прогнозов роста ВИЧ / СПИДа в Великобритании с 1987 года и варианта CJD в Великобритании в течение ряда лет. Другое исследование показало, что экстраполяция может дать такое же качество результатов прогнозирования, как и более сложные стратегии прогнозирования. [4]

Качество [ править ]

Обычно качество конкретного метода экстраполяции ограничивается предположениями о функции, сделанной этим методом. Если метод предполагает, что данные гладкие, то негладкая функция будет плохо экстраполирована.

Что касается сложных временных рядов, некоторые эксперты обнаружили, что экстраполяция более точна, если выполняется путем разложения причинных сил. [5]

Даже для правильных предположений о функции экстраполяция может сильно отличаться от функции. Классический пример - это представление sin ( x ) и связанных с ним тригонометрических функций в виде усеченного степенного ряда . Например, взяв только данные, близкие к x  = 0, мы можем оценить, что функция ведет себя как sin ( x ) ~  x . В окрестности x  = 0 это отличная оценка. Однако вдали от x  = 0 экстраполяция произвольно удаляется от оси x, в то время как sin ( x ) остается в интервале [−1, 1]. Т.е. погрешность неограниченно возрастает.

Взятие большего количества членов в степенной ряд sin ( x ) около x  = 0 приведет к лучшему согласованию в большем интервале около x  = 0, но приведет к экстраполяции, которая в конечном итоге отклонится от оси x даже быстрее, чем линейное приближение.

Это расхождение является специфическим свойством методов экстраполяции, и его можно обойти только тогда, когда функциональные формы, принятые методом экстраполяции (непреднамеренно или намеренно из-за дополнительной информации), точно представляют характер экстраполируемой функции. Для конкретных задач эта дополнительная информация может быть доступна, но в общем случае невозможно удовлетворить все возможные варианты поведения функций с работоспособным небольшим набором потенциального поведения.

В комплексной плоскости [ править ]

В комплексном анализе проблема экстраполяции может быть преобразована в задачу интерполяции путем замены переменной . Это преобразование заменяет часть комплексной плоскости внутри единичной окружности на часть комплексной плоскости вне единичной окружности. В частности, точка компактификации на бесконечности отображается на начало координат и наоборот. Однако с этим преобразованием следует проявлять осторожность, поскольку исходная функция могла иметь на бесконечности «особенности», например полюса и другие особенности , которые не были очевидны из выборочных данных.

Другая проблема экстраполяции слабо связана с проблемой аналитического продолжения , где (обычно) представление функции степенным рядом расширяется в одной из точек сходимости для получения степенного ряда с большим радиусом сходимости . Фактически, набор данных из небольшой области используется для экстраполяции функции на большую область.

Опять же, аналитическому продолжению могут мешать функциональные особенности, которые не были очевидны из исходных данных.

Кроме того , можно использовать преобразование последовательности , как Пад и преобразования последовательностей Левина типа как методы экстраполяции , которые приводят к суммированию из силовых рядов , которые являются расходящимися вне первоначального радиуса сходимости . В этом случае часто получаются рациональные аппроксимации .

Быстро [ править ]

Экстраполированные данные часто свертываются в функцию ядра. После экстраполяции данных размер данных увеличивается в N раз, здесь N составляет примерно 2–3. Если эти данные необходимо  преобразовать в известную функцию ядра, численные вычисления увеличатся в N log (N) раз даже при использовании быстрого преобразования Фурье (БПФ). Есть алгоритм, который аналитически рассчитывает вклад части экстраполированных данных. Время вычисления можно опустить по сравнению с исходным вычислением свертки. Следовательно, с помощью этого алгоритма вычисления свертки с использованием экстраполированных данных почти не увеличиваются. Это называется быстрой экстраполяцией. Быстрая экстраполяция была применена к реконструкции изображения КТ. [6]

Аргументы экстраполяции [ править ]

Аргументы экстраполяции - это неформальные и не поддающиеся количественной оценке аргументы, которые утверждают, что что-то истинно за пределами диапазона значений, для которых это известно. Например, мы верим в реальность того, что видим через увеличительное стекло, потому что оно согласуется с тем, что мы видим невооруженным глазом, но выходит за его пределы; мы верим в то, что видим в световые микроскопы, потому что это согласуется с тем, что мы видим через увеличительные стекла, но выходит за рамки этого; и то же самое для электронных микроскопов.

Подобно аргументам о скользкой дорожке, аргументы экстраполяции могут быть сильными или слабыми в зависимости от таких факторов, как то, насколько экстраполяция выходит за пределы известного диапазона. [7]

См. Также [ править ]

  • Прогнозирование
  • Минимальная полиномиальная экстраполяция
  • Многосеточный метод
  • Интервал прогноза
  • Регрессивный анализ
  • Экстраполяция Ричардсона
  • Статический анализ
  • Оценка тренда
  • Анализ области экстраполяции
  • Счисление
  • Реконструкция интерьера
  • Теория экстремальных ценностей

Примечания [ править ]

  1. ^ Экстраполяция , запись в Merriam-Webster
  2. ^ Дж. Скотт Армстронг; Фред Коллопи (1993). «Причинные силы: структурирование знаний для экстраполяции временных рядов» . Журнал прогнозирования . 12 (2): 103–115. CiteSeerX  10.1.1.42.40 . DOI : 10.1002 / for.3980120205 . Проверено 10 января 2012 .
  3. ^ AIDSCJDUK.info Главный указатель
  4. ^ Дж. Скотт Армстронг (1984). «Прогнозирование путем экстраполяции: выводы двадцати пяти лет исследований» . Интерфейсы . 14 (6): 52–66. CiteSeerX 10.1.1.715.6481 . DOI : 10.1287 / inte.14.6.52 . Проверено 10 января 2012 . 
  5. ^ Дж. Скотт Армстронг; Фред Коллопи; Дж. Томас Йокум (2004). "Разложение причинными силами: процедура прогнозирования сложных временных рядов" (PDF) .
  6. ^ Шуангрен Чжао; Кан Ян; Синьти Ян (2011). «Реконструкция из усеченных проекций с использованием смешанных экстраполяций экспоненциальных и квадратичных функций» (PDF) . Журнал рентгеновской науки и техники . 19 (2): 155–72. DOI : 10.3233 / XST-2011-0284 . PMID 21606580 . Архивировано из оригинального (PDF) 29 сентября 2017 года . Проверено 3 июня 2014 .  
  7. ^ Дж. Франклин, Аргументы, сила которых зависит от непрерывного изменения , Журнал неформальной логики 33 (2013), 33-56.

Ссылки [ править ]

  • Методы экстраполяции. Теория и практика К. Брезинского и М. Редиво Загля, Северная Голландия, 1991.