Факторион

В теории чисел , факторион в данной системе счисления является натуральное число , что равняется сумме факториалов своих цифр . ^{[1] [2] [3]} Название factorion было придумано автором Клиффордом А. Пиковером . ^[4]${\ displaystyle b}$

Определение [ править ]

Позвольте быть натуральным числом. Определим сумму факториалов цифр ^{[5] [6]} в течение базового быть следующее:${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle b> 1}$ ${\ displaystyle SFD_ {b}: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N}}$

${\ displaystyle SFD_ {b} (n) = \ sum _ {i = 0} ^ {k-1} d_ {i}!}$.

где это количество цифр в номере в базе , является факториалом из и ${\ Displaystyle к = \ lfloor \ log _ {b} {n} \ rfloor +1}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle n!}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle d_ {i} = {\ frac {n {\ bmod {b ^ {i + 1}}}} - n {\ bmod {b ^ {i}}}} {b ^ {i}}}}$

- значение каждой цифры числа. Натуральное число является - факторион , если она является неподвижной точкой для , которое происходит , если . ^[7] и являются неподвижными точками для всех , а значит, являются тривиальными факторионами для всех , а все остальные факторионы являются нетривиальными факторионами . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle SFD_ {b}}$${\displaystyle SFD_{b}(n)=n}$ ${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$

Например, число 145 в основании - это факторион, потому что . ${\displaystyle b=10}$${\displaystyle 145=1!+4!+5!}$

Ведь сумма факториала цифр - это просто количество цифр в представлении по основанию 2. ${\displaystyle b=2}$${\displaystyle k}$

Натуральное число является общительным фактором, если оно является периодической точкой для , где для положительного целого числа и образует цикл периода . Факторион - это общительный фактор , а дружественный фактор - это общительный фактор . ^{[8] [9]}${\displaystyle n}$${\displaystyle SFD_{b}}$${\displaystyle SFD_{b}^{k}(n)=n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle k=2}$

Все натуральные числа являются препериодическими точками для независимо от основания. Это потому, что все натуральные числа с основанием и цифрами удовлетворяют . Однако, когда , то для , так любое удовлетворит до . Существует конечное число натуральных чисел меньше чем , поэтому число гарантированно достигает периодической точки или фиксированной точки меньше чем , что делает ее предпериодической точкой. For , количество цифр для любого числа, опять же, что делает его предпериодической точкой. Это также означает, что для любой данной базы существует конечное число факторионов и циклов . ${\displaystyle n}$${\displaystyle SFD_{b}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle k}$${\displaystyle b^{k-1}\leq n\leq (b-1)!(k)}$${\displaystyle k\geq b}$${\displaystyle b^{k-1}>(b-1)!(k)}$${\displaystyle b>2}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n>SFD_{b}(n)}$${\displaystyle n<b^{b}}$${\displaystyle b^{b}}$${\displaystyle b^{b}}$${\displaystyle b=2}$${\displaystyle k\leq n}$${\displaystyle b}$

Число итераций , необходимых для достичь фиксированной точки является функциональным направлением настойчивости в и неопределенной , если он никогда не достигает фиксированную точку.${\displaystyle i}$${\displaystyle SFD_{b}^{i}(n)}$${\displaystyle SFD_{b}}$${\displaystyle n}$

Факторионы для ${\displaystyle SFD_{b}}$[ править ]

Ь = (к - 1)! [ редактировать ]

Позвольте быть положительным целым числом и основанием числа . Потом:${\displaystyle k}$${\displaystyle b=(k-1)!}$

• ${\displaystyle n_{1}=kb+1}$это фактор для всех .${\displaystyle SFD_{b}}$${\displaystyle k}$

• ${\displaystyle n_{2}=kb+2}$это фактор для всех .${\displaystyle SFD_{b}}$${\displaystyle k}$

Факторионы

${\displaystyle k}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle n_{1}}$	${\displaystyle n_{2}}$
4	6	41 год	42
5	24	51	52
6	120	61	62
7	720	71	72

б = к! - k + 1 [ править ]

Позвольте быть положительным целым числом и основанием числа . Потом:${\displaystyle k}$${\displaystyle b=k!-k+1}$

• ${\displaystyle n_{1}=b+k}$это фактор для всех .${\displaystyle SFD_{b}}$${\displaystyle k}$

Факторионы

${\displaystyle k}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle n_{1}}$
3	4	13
4	21 год	14
5	116	15
6	715	16

Таблица факторизов и циклов ${\displaystyle SFD_{b}}$[ править ]

Все числа представлены в базе . ${\displaystyle b}$

Основание ${\displaystyle b}$	Нетривиальный факторион ( , ) [10]${\displaystyle n\neq 1}$${\displaystyle n\neq 2}$	Циклы
2	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle \varnothing }$
3	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle \varnothing }$
4	13	3 → 12 → 3
5	144	${\displaystyle \varnothing }$
6	41, 42	${\displaystyle \varnothing }$
7	${\displaystyle \varnothing }$	36 → 2055 → 465 → 2343 → 53 → 240 → 36
8	${\displaystyle \varnothing }$	3 → 6 → 1320 → 12 175 → 12051 → 175
9	62558
10	145, 40585	871 → 45361 → 871 [9] 872 → 45362 → 872 [8]

Пример программирования [ править ]

В приведенном ниже примере реализуется сумма факториала цифр, описанная в определении выше, для поиска факториалов и циклов в Python .

def  factorial ( x :  int )  ->  int :  total  =  1  для  i  в  диапазоне ( 0 ,  x ):  total  =  total  *  ( i  +  1 )  вернуть  итогdef  sfd ( x :  int ,  b :  int )  ->  int :  "" "Сумма факториала цифр." ""  total  =  0,  а  x  >  0 :  total  =  total  +  factorial ( x  %  b )  x  =  x  //  b  вернуть  суммуЗащиту  sfd_cycle ( х :  INT ,  б :  ИНТ )  ->  Список [ ИНТ ]:  видел  =  [] ,  а  х  не  в  видел :  видел . append ( x )  x  =  sfd ( x ,  b )  cycle  =  [],  пока  x  не находится  в  цикле :  cycle . добавить ( х )  х  = sfd ( x ,  b )  цикл возврата 

См. Также [ править ]

• Арифметическая динамика
• Номер Дудени
• Счастливый номер
• Постоянная Капрекара
• Число Капрекара
• Число Меертенса
• Нарциссическое число
• Идеальный инвариант между цифрами
• Идеальный цифровой инвариант
• Сумма-номер продукта

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Факторион в Wolfram MathWorld