В физике элементарных частиц , то семейные симметрии или горизонтальные симметрии являются различные дискретные, глобальные или локальные симметрии между кварк - лептонного семей или поколений. В отличие от внутрисемейных или вертикальных симметрий (собранных в традиционной Стандартной модели и Теории Великого Объединения ), которые действуют внутри каждого семейства, эти симметрии предположительно лежат в основе физики семейных ароматов. Их можно рассматривать как новый набор квантовых зарядов, приписываемых различным семействам кварков и лептонов.
Считается, что спонтанное нарушение симметрии этих симметрий приводит к адекватному описанию ароматического смешения кварков и лептонов разных семейств. Это, безусловно, одна из основных проблем, с которыми в настоящее время сталкивается физика элементарных частиц . Несмотря на большой успех в объяснении основных взаимодействий природы, Стандартная модель все еще страдает отсутствием такой уникальной способности объяснять углы смешивания ароматов или слабые углы смешивания (как их принято называть), наблюдаемые значения которых собраны в соответствующие матрицы Кабиббо – Кобаяши – Маскавы .
Будучи концептуально полезными и ведущими в некоторых случаях к физически ценным моделям смешивания ароматов, семейные симметрии еще не подтверждены наблюдениями.
Вступление
Как хорошо известно, стандартная модель основана на внутренних симметрии в унитарных группы продуктов члены которых имеют совершенно разную природу. Цветовая симметрия имеет векторную структуру, благодаря которой левый и правый кварки преобразуются так же, как и его фундаментальные триплеты. В то же время электрослабая симметрия, состоящая из слабого изоспина и гиперзаряд хиральный. Итак, левыми компонентами всех кварков и лептонов являются дублеты,
тогда как их правые компоненты являются его синглетами
Здесь кварк-лептонные семейства пронумерованы индексом как для кварковых, так и для лептонных. Правые кварки и лептоны, расположенные вверх и вниз, записываются отдельно, а для полноты правосторонние нейтрино также включены.
Было сделано много попыток интерпретировать существование кварк-лептонных семейств и характер их смешивания в терминах различных симметрий семейств - дискретных или непрерывных, глобальных или локальных. Среди них абелева и неабелева а также семейные симметрии кажутся наиболее интересными. Они дают некоторое руководство по массовым матрицам для семейств кварков и лептонов, приводя к отношениям между их массами и параметрами смешивания. В рамках суперсимметричной Стандартной модели такая семейная симметрия должна в то же время обеспечивать почти однородный спектр масс для суперпартнеров с высокой степенью сохранения семейного аромата, что делает ее существование еще более необходимым в случае SUSY .
В случай симметрии
Этот класс моделей симметрии семейства был впервые изучен Фроггаттом и Нильсеном в 1979 г. [1] и позже расширен в [2] [3] [4]. В этом механизме вводится новое комплексное скалярное поле, называемое флавонным. ожидаемое значение вакуума (VEV) предположительно нарушает глобальную симметрию семьи навязывается. При такой симметрии разные кварк-лептонные семейства несут разные заряды.. Соответственно, связь между семействами обеспечивается включением в игру (с помощью соответствующего механизма качелей ) некоторого промежуточного тяжелого фермиона (ов), должным образом заряженного в соответствии с симметрией семейства.. Итак, эффективные константы связи Юкавы ибо кварк-лептонные семейства устроены таким образом, что они могут появляться только через первичные связи этих семейств с мессенджер-фермионом (ами) и полем флавонов. . Иерархия этих связей определяется небольшим параметром, который определяется соотношением флавона VEV к массе промежуточного тяжелого фермиона, (или Не удалось выполнить синтаксический анализ (MathML с запасным вариантом SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов специальных возможностей): недопустимый ответ («Расширение Math не может подключиться к Restbase.») от сервера «/ mathoid / local / v1 /» :): { \ displaystyle \ epsilon = <\ phi> / \ Lambda_ {F}} , если фермионы-мессенджеры были интегрированы в некотором высокоэнергетическом масштабе отсечки). Поскольку разные кварк-лептонные семейства несут разные заряды, разные константы связи подавляются разными силами в первую очередь контролируется постулируемым распределением заряда фермионов.
Специально для кварков эти связи приобретают вид
где индекс обозначает конкретное семейство ап-кварков () и даун-кварки (), включая их левую и правую компоненты соответственно. Эта иерархия затем переносится на их массовые матрицы, как только обычный бозон Хиггса Стандартной модели разрабатывает собственный ВЭВ, . Таким образом, массовые матрицы, пропорциональные матрицам констант связи Юкавы, обычно могут давать (при соответствующем выборе семействазарядов) требуемые картины для слабых углов смешивания, которые в основном согласуются с соответствующими наблюдаемыми матрицами Кабиббо – Кобаяши – Маскавы . Таким же образом можно расположить соответствующие массовые матрицы для лептонных семейств.
Среди некоторых других приложений семейство симметрии, наиболее интересная может быть связана с ее возможной связью (или даже отождествлением) с симметрией Печчеи – Куинна . Это может указать на некоторую глубокую связь между проблемой фермионов смешения и проблемы сильного CP в стандартной модели , которая также обсуждалась в литературе. [2] [5]
В семейная симметрия
В Семейные модели симметрии были впервые рассмотрены Вильчеком и Зи в 1979 году [6], а затем интерес к ним возобновился в 90-х годах [7] [8], особенно в связи с суперсимметричной стандартной моделью .
В исходной модели [6] кварк-лептонные семейства попадают в горизонтальные тройки локальныхсимметрия взята. К счастью, эта симметрия обычно свободна от проблемы калибровочной аномалии, которая может возникнуть для других кандидатов в локальные семейства симметрий. Как правило, модель содержит набор мультиплетов бозона Хиггса, являющихся скалярными, векторными и тензорными, кроме них все являются дублетами обычной электрослабой симметрии . Эти скалярные мультиплеты обеспечивают матрицы масс для кварков и лептонов, что в конечном итоге дает разумные слабые углы смешивания в терминах отношений масс фермионов. В принципе, можно было бы надеяться достичь этого более экономичным способом, когда тяжелые семейные массы появляются на уровне деревьев, в то время как легкие семейства приобретают свои массы за счет радиационных поправок на однопетлевом уровне и выше. [7]
Другой и, предположительно, более реальный способ [7] [8] использования семьи симметрия основана на картине, что в отсутствие смешения ароматов только частицы, принадлежащие к третьему поколению ( ) имеют ненулевые массы. Массы и углы смешения легких первого и второго семейств являются дублетамиСимметрия возникает тогда в результате трехуровневого смешения семейств, связанного со спонтанным нарушением этой симметрии. Затем иерархия горизонтальных скаляров VEV расширяется за счет задействованной эффективной шкалы отсечки. Опять же, как в вышеизложенном В случае симметрии смешения семейств в конечном итоге оказываются пропорциональными степеням некоторого малого параметра, которые определяются размерами семейная симметрия разрешенных операторов. Это, наконец, генерирует эффективные (диагональные и недиагональные связи Юкавы для легких семейств в рамках (обычной или суперсимметричной) Стандартной модели .
В суперсимметричных теориях существуют матрицы масс и взаимодействий для скварков и слептонов , что приводит к богатой структуре ароматов. В частности, если фермионы и скаляры с заданным зарядом имеют матрицы масс, которые не диагонализованы одним и тем же вращением, в вершинах гауджино возникают новые матрицы смешения . В целом это может привести к опасным процессам изменения аромата легкого семейства, еслисимметрия, которая контролирует сектор легких семейств, вместе с малыми массами фермионов приводит к небольшому расщеплению масс их скалярных суперпартнеров . [8]
Помимо всего этого, существует также динамический аспект местного симметрия, связанная с его горизонтальными калибровочными бозонами. Однако дело в том, что эти бозоны (а также различные вовлеченные бозоны Хиггса) должны быть на несколько порядков массивнее, чем бозоны W и Z Стандартной модели , чтобы избежать запрещенного изменения кваркового и лептонного ароматов. переходы. Как правило, это требует введения дополнительных бозонов Хиггса, чтобы придать большие массы горизонтальным калибровочным бозонам, чтобы не нарушить массы вовлеченных фермионов.
Хиральный альтернатива симметрии
В целом можно утверждать, что предположительно адекватная семейная симметрия должна быть киральной, а не векторной, поскольку векторные симметрии семейств [6] [9] в целом не запрещают большие инвариантные массы для кварк-лептонных семейств. Это может привести (без специальной тонкой настройки параметров) к почти однородным масс-спектрам для них, что было бы естественно, если бы симметрия семейства была точной, а не нарушенной. Интересно, что оба известных примера локальной векторной симметрии, электромагнитной и цвет , кажутся точными симметриями, в то время как все киральные симметрии, включая обычную электрослабую симметрию и великие объединения SU (5) , SO (10) и E (6) оказываются нарушенными. В связи с этим один из наиболее потенциально актуальных вариантов, рассматриваемых в литературе, может быть связан с локальным хиральнымсемейная симметрия, введенная Чкареули в 1980 г. [10] в рамках единой семьи.симметрия и развивалась сама по себе. [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18]
Мотивация
Выбор поскольку основная симметрия семейства за пределами Стандартной модели, по- видимому, связана со следующими проблемами:
- (i) Он обеспечивает естественное объяснение числа три наблюдаемых семейств кварк-лептонов, коррелирующих с тремя видами безмассовых или легких нейтрино, вносящих вклад в частичную ширину распада невидимого Z-бозона ;
- (ii) Его локальный характер соответствует другим локальным симметриям Стандартной модели , таким как слабая изоспиновая симметрияили цветовая симметрия . Это фактически приводит к единой для всей семьи Стандартной модели с полной симметрией. который затем ломается в каком-то большом семейном масштабе вплоть до обычного SM;
- (iii) Его киральная природа, согласно которой левые и правые фермионы считаются соответственно фундаментальными триплетами и антитриплетами симметрия. Это означает , что их массы могут появиться только в результате его спонтанного нарушения симметрии из анизотропия в пространстве ароматов семейства обеспечивает иерархический спектр масс кварк-лептонных семейств;
- (iv) инвариантные связи Юкавы всегда сопровождаются случайным глобальным киральным симметрия, которую можно отождествить с симметрией Печчеи – Куинна , что дает решение сильной CP-проблемы ;
- (v) Благодаря своей хиральной структуре он допускает естественное объединение с традиционными теориями Великого объединения в форме прямого продукта, такой как , или же , а также как подгруппа расширенного (семейного) или же GUTs ;
- (vi) Она имеет прямое расширение на суперсимметричную Стандартную модель и GUT .
С принятием этих естественных критериев другие кандидаты на семейную симметрию оказались, по крайней мере, частично дискриминированными. Действительно,Симметрия семейства не удовлетворяет критерию (i) и фактически применима к любому количеству кварк-лептонных семейств. Так же Симметрия семейства может содержать, помимо двух легких семейств, рассматриваемых как его дублеты, любое количество дополнительных (синглетов или новых дублетов ) семьи. Все глобальные неабелевы симметрии исключаются критерием (ii), а векторные симметрии исключаются критериями (iii) и (v).
Основные приложения
В Стандартной модели и GUT, расширенном локальной киральной кварки и лептоны симметрии должны быть киральные тройки, так что их левосторонние (слабодублетные) компоненты - а также - считаются тройками , а их правые (слабо-синглетные) компоненты - , , а также - антитройни (или наоборот). Здесь это индекс симметрии семьи ( ), а не индекс введено в разделе чтобы просто пронумеровать все вовлеченные семьи. Спонтанное нарушение этой симметрии дает некоторое понимание наблюдаемой иерархии между элементами массовых кварк-лептонных матриц и наличия в них текстурных нулей. Это нарушение обычно обеспечивается некоторым набором горизонтальных скалярных мультиплетов, которые симметричны и антисимметричны относительно, а также ( = 1, 2, ..., = 1, 2, ...). Когда они разрабатывают свои VEV, семейства верхних и нижних кварков приобретают свои эффективные константы взаимодействия Юкавы, которые обычно имеют вид
где снова индекс обозначает конкретное семейство ап-кварков ( ) и даун-кварки ( ), соответственно ( а также - некоторые безразмерные константы пропорциональности заказывать). Эти константы связи обычно появляются через своего рода качели из - за обмена специальным набором тяжелых (порядка шкалы симметрии семейства) векторноподобные фермионы. VEV горизонтальных скаляров, взятых в целом как, предполагается, что они иерархически расположены по разным направлениям в семейном пространстве ароматов. Затем эта иерархия переносится на их массовые матрицы а также , когда обычный бозон Хиггса Стандартной модели разрабатывает собственный VEV в соответствующих муфтах Yukawa
В минимальном случае с одним секстет и две тройни разработка базовой конфигурации VEV
один приходит типичный образец смешивания семейства ближайших соседей в массовых матрицах а также что приводит к тому, что слабые углы смешивания, как правило, приблизительно соответствуют соответствующим матрицам Кабиббо – Кобаяши – Маскавы . Таким же образом можно организовать соответствующие массовые матрицы для лептонных семейств, что приведет к реалистичному описанию - как в Стандартной модели, так и в GUT - масс лептонов и смешениях , включая массы и осцилляции нейтрино .
В рамках суперсимметричных теорий семейство симметрия рука об руку с иерархическими массами и смешениями кварков и лептонов приводит к почти однородному спектру масс их суперпартнеров с высокой степенью сохранения аромата. Благодаря особым соотношениям между массовыми матрицами фермионов и членами мягкого нарушения SUSY , опасные суперсимметричные вклады в процессы изменения аромата могут быть естественным образом подавлены. [19]
Среди других приложений симметрии, наиболее интересны те, которые связаны с ее калибровочным сектором. В общем, семейный размах может находиться в диапазоне от ГэВ до шкалы великого объединения и даже выше. Для относительно небольшой семьи, то Калибровочные бозоны также вступят в игру, так что могут стать важными многие редкие процессы, изменяющие аромат, включая некоторые из их астрофизических последствий. [16] В отличие от симметрий векторных семейств киральнаяв общем случае не свободен от калибровочных аномалий. Однако их легко отменить, введя соответствующий набор чисто горизонтальных фермионных мультиплетов. Поскольку они бесплодны по отношению ко всем другим взаимодействиям Стандартной модели , они могут рассматриваться как один из возможных кандидатов на роль темной материи во Вселенной.
Особый сектор приложений связан с топологическими дефектами нового типа - ароматизированными космическими струнами и монополями, которые могут возникать при самопроизвольном нарушениикоторые могут рассматриваться как возможные кандидаты в холодную темную материю во Вселенной. [20]
Резюме
Несмотря на некоторый прогресс в понимании проблемы смешения семейных ароматов, все еще остается неприятное ощущение, что во многих случаях проблема, кажется, просто переносится из одного места в другое. Своеобразная иерархия масс кварк-лептона заменяется своеобразным набором ароматические заряды или своеобразная иерархия горизонтальных ВЭВ поля Хиггса в случае неабелевой симметрии или же . В результате не так много отличительных и проверяемых общих предсказаний, связывающих слабые углы смешивания с массами кварк-лептонов, которые могли бы четко отличить одну модель симметрии семейства от другой. Это действительно связано с тем, что сектор Юкавы в теории несколько произвольный по сравнению с его калибровочным сектором. На самом деле, всегда можно расположить ароматические заряды семейств или VEV горизонтальных скаляров в этих моделях таким образом, чтобы получить приемлемые иерархические матрицы масс для кварков и относительно гладкие для лептонов.
Фактически, один из возможных способов для этих моделей иметь свои собственные конкретные предсказания может появиться, если природа будет благоприятствовать случаю локальной семейной симметрии. Это позволило бы полностью исключить глобальные случай симметрии семейства и правильно дифференцировать неабелев а также случаи симметрии. Все это возможно, конечно, при условии, что разбивающая шкаласимметрии такого семейства не так велики, как шкала GUT или шкала Планка. В противном случае все процессы изменения аромата, вызванные обменом горизонтальными калибровочными бозонами, будут подавлены в нуль.
Другой способ различения этих моделей мог бы появиться, если бы они в целом включались в некий расширенный GUT. В отличие от многих других такая возможность появляется для хиральных семейная симметрия (рассмотренная в предыдущем разделе), которая может быть включена в семейную унифицированную симметрия. [10] [21] [22] [23] [24] [25] [26] Даже если это GUT не обеспечит сравнительно низкие шкала симметрии семьи, наличие нескольких мультиплеты сверхтяжелых фермионов в исходном секторе материи SU (8) могут помочь в проверке модели. Некоторые из них с помощью естественного механизма качелей могут предоставить физические массы нейтрино, которые, в отличие от общепринятой картины, могут показаться соответствующими как прямой, так и перевернутой семейной иерархии. Другие смешиваются с обычными кварк-лептонными семействами таким образом, что может возникнуть заметное нарушение унитарности в матрице СКМ .
Также стоит отметить важный аспект, связанный с симметрией семьи. Фактически, существование трех идентичных кварк-лептонных семейств может означать, что могут существовать действительно элементарные фермионы, преоны , являющиеся фактическими носителями всех задействованных фундаментальных квантовых чисел Стандартной модели и составляющие наблюдаемые кварки и лептоны на больших расстояниях. Как правило, определенные закономерности в репликации частиц могут свидетельствовать об их составной структуре. Действительно, именно закономерности в спектроскопии адронов, наблюдавшиеся в 1960-х годах, позволили обнаружить составляющую кварковую структуру адронов . Что касается кварков и лептонов, кажется, что представление об их составной структуре может различать локальные киральныесемейная симметрия среди других кандидатов. [10] [26] А именно, преонная модель возникает при определенных природных условиях, чтобы определить локальный «метафлав».симметрия как основная внутренняя симметрия физического мира на малых расстояниях. Будучи точным для преонов, он затем разрушается на больших расстояниях до обычного SU (5) GUT с дополнительной локальной семейной симметрией и три стандартных семейства составных кварков и лептонов.
Рекомендации
- ^ CD Froggatt; HB Nielsen (1979). «Иерархия масс кварков, угол Кабиббо и CP-нарушение» . Nucl. Phys. B . 147 (3): 277–298. Bibcode : 1979NuPhB.147..277F . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (79) 90316-X .
- ^ а б Ф. Вильчек (1982). «Аксионы и нарушение семейной симметрии». Phys. Rev. Lett . 49 (21): 1549-1554. Bibcode : 1982PhRvL..49.1549W . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.49.1549 .
- ^ М. Леурер; Ю. Нир; Н. Зайберг (1993). «Матричные модели масс». Nucl. Phys. B . 398 (2): 319–342. arXiv : hep-ph / 9212278 . Bibcode : 1993NuPhB.398..319L . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (93) 90112-3 . S2CID 13930130 .
- ^ LE Ibanez; Г.Г. Росс (1994). «Массы фермионов и углы смешения из калибровочных симметрий». Phys. Lett. B . 332 (1–2): 100–110. arXiv : hep-ph / 9403338 . Bibcode : 1994PhLB..332..100I . DOI : 10.1016 / 0370-2693 (94) 90865-6 . S2CID 16300768 .
- ^ К. Боннефой; Э. Дудас; С. Покорский (2020). «Хиральные модели Фроггатта-Нильсена, калибровочные аномалии и ароматические аксионы». JHEP . 01 (1): 191-200. arXiv : 1909.05336 . Bibcode : 2020JHEP ... 01..191B . DOI : 10.1007 / JHEP01 (2020) 191 . S2CID 202565976 .
- ^ а б в Ф. Вильчек; А. Зи (1979). «Горизонтальное взаимодействие и слабые углы перемешивания». Phys. Rev. Lett . 42 (7): 421-425. Bibcode : 1979PhRvL..42..421W . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.42.421 .
- ^ а б в DS Shaw; Р. Р. Волкас (1993). "Систематическое исследование масс фермионов и углов смешения в горизонтальной SU (2) калибровочной теории". Phys. Rev. D . 47 (1): 241–255. arXiv : hep-ph / 9211209 . Bibcode : 1993PhRvD..47..241S . DOI : 10.1103 / PhysRevD.47.241 . PMID 10015395 . S2CID 14528335 .
- ^ а б в Р. Барбьери; LJ Hall; С. Раби; А. Романино (1997). «Единые теории с симметрией аромата U (2)». Nucl. Phys. B . 493 (1-2): 3-26. arXiv : hep-ph / 9610449 . Bibcode : 1997NuPhB.493 .... 3B . DOI : 10.1016 / S0550-3213 (97) 00134-X . S2CID 119362940 .
- ^ Т. Янагида (1979). «Горизонтальная симметрия и масса t-кварка». Phys. Rev. D . 20 (11): 2986–2988. Bibcode : 1979PhRvD..20.2986Y . DOI : 10.1103 / PhysRevD.20.2986 .
- ^ а б в Чкареули, JL (1980). «Кварк-лептонные семейства: от SU (5) к SU (8) -симметрии» (PDF) . Советский журнал экспериментальной и теоретической физики. Письма . 32 (11): 671–674. Bibcode : 1980JETPL..32..671C . ISSN 0021-3640 . DESY-L-TRANS-253.
- ^ Вильчек, Франк (1983). «Мысли о семейных симметриях препринт NSF-ITP-83-08». Материалы конференции AIP . 96 : 313. Bibcode : 1983AIPC ... 96..313W . DOI : 10.1063 / 1.33949 .
- ^ З.Г. Бережиани; JL Чкареули (1983). «Кварк-лептонные семейства в модели с SU (5) ⊗SU (3) -симметрией». Сов. J. Nucl. Phys . 37 (4): 618.
- ^ Бережиани З.Г. (1983). «Слабые углы смешивания в калибровочных моделях с горизонтальной симметрией - новый подход к массам кварков и лептонов». Физика Письма Б . 129 (1–2): 99–102. Полномочный код : 1983PhLB..129 ... 99B . DOI : 10.1016 / 0370-2693 (83) 90737-2 .
- ^ П. Рамонд (1998). «Семейная группа в теории великого объединения». arXiv : hep-ph / 9809459 . Bibcode : 1998hep.ph .... 9459R . Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь ) - ^ Чкареули, JL; Froggatt, CD; Нильсен, HB (2002). «Минимальное смешение кварков и лептонов в SU (3) теории аромата». Ядерная физика Б . 626 (1–2): 307–343. arXiv : hep-ph / 0109156 . Bibcode : 2002NuPhB.626..307C . CiteSeerX 10.1.1.346.7711 . DOI : 10.1016 / S0550-3213 (02) 00032-9 . S2CID 9421103 .
- ^ а б Хлопов, Максим Ю (1999). Космочастиц. Физика . Сингапур: World Scientific. п. 577. ISBN. 9810231881.
- ^ Кинг, Сан-Франциско; Росс, GG (2001). «Массы фермионов и углы смешивания из симметрии семейства SU (3)». Физика Письма Б . 520 (3–4): 243–253. arXiv : hep-ph / 0108112 . Bibcode : 2001PhLB..520..243K . DOI : 10.1016 / S0370-2693 (01) 01139-X . S2CID 6510221 .
- ^ Аппельквист, Томас; Бай, Ян; Пиаи, Маурицио (2005). «Нарушение дискретных симметрий в нарушенных калибровочных теориях». Physical Review D . 72 (3): 036005. arXiv : hep-ph / 0506137 . Bibcode : 2005PhRvD..72c6005A . DOI : 10.1103 / PhysRevD.72.036005 . S2CID 119330778 .
- ^ Бережиани, З.Г. (1998). «Единая картина масс частицы и частицы в SUSY GUT». Физика Письма Б . 417 (3–4): 287–296. arXiv : hep-ph / 9609342 . Bibcode : 1998PhLB..417..287B . DOI : 10.1016 / S0370-2693 (97) 01359-2 . S2CID 119406677 .
- ^ Спергель, Дэвид; Пен, Уэ-Ли (20 декабря 1997 г.). «Космология во Вселенной, в которой доминируют струны». Астрофизический журнал . 491 (2): L67 – L71. arXiv : astro-ph / 9611198 . Bibcode : 1997ApJ ... 491L..67S . DOI : 10.1086 / 311074 . S2CID 388418 .
- ^ Ю. Фудзимото (1981). "SU (8) Теория Великого Объединения: Следствие введения горизонтальной симметрии". Nucl. Phys. B . 182 (1): 242-260. Bibcode : 1981NuPhB.182..242F . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (81) 90467-3 .
- ^ Дж. Леон; М. Кирос; М. Рамон Медрано (1982). «К РЕАЛИСТИЧНОЙ СУПЕРСИММЕТРИЧНОЙ МОДЕЛИ SU (8)». Phys. Lett. B . 118 (4–6): 365-368. Bibcode : 1982PhLB..118..365L . DOI : 10.1016 / 0370-2693 (82) 90205-2 .
- ^ Б. де Вит; Х. Николай (1986). «d = 11 супергравитация с локальной SU (8) инвариантностью» . Nucl. Phys. B . 274 (2): 363-400. Bibcode : 1986NuPhB.274..363D . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (86) 90290-7 .
- ^ Ж. Л. Чкареули; И.Г. Гоголадзе; А.Б. Кобахидзе (1998). "SU (N) суперсимметричные теории великого объединения: естественная проекция на низкие энергии". Phys. Rev. Lett . 80 (5): 912-915. arXiv : hep-ph / 9809464 . Bibcode : 1998PhRvL..80..912C . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.80.912 .
- ^ С.Л. Адлер (2014). «Объединение семейства SU (8) с бозон-фермионным балансом». Int. J. Mod. Phys. . 29 (22): 1450130. arXiv : 1403.2099 . Bibcode : 2014IJMPA..2950130A . DOI : 10.1142 / S0217751X14501309 . S2CID 118727115 .
- ^ а б Ж. Л. Чкареули (2019). «SU (8) GUT с составными кварками и лептонами». Nucl. Phys. B . 941 : 425-457. arXiv : 1901.07428 . Bibcode : 2019NuPhB.941..425C . DOI : 10.1016 / j.nuclphysb.2019.02.009 .