Распределение жирных хвостов

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Распространение с жирным хвостом»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( апрель 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Распределение курдючного является распределением вероятности , что проявляет большой перекос или эксцесс , по отношению к тому , что либо из нормального распределения или экспоненциального распределения . В общем употреблении термины «толстохвостый» и « толстохвостый» иногда являются синонимами; толстохвостый иногда также определяется как подмножество толстохвостых. Различные исследовательские сообщества отдают предпочтение тому или другому в основном по историческим причинам и могут иметь различия в точном определении того или другого.

Распределения с жирным хвостом эмпирически встречались в различных областях: физике, науках о Земле, экономике и политологии. Класс распределений с толстыми хвостами включает те, хвосты которых распадаются по степенному закону , что является общей точкой отсчета при их использовании в научной литературе. Однако распределения с толстым хвостом также включают другие медленно затухающие распределения, такие как логарифмически нормальные . ^[1]

Крайний случай: степенное распределение [ править ]

Самый крайний случай толстого хвоста дается распределением, хвост которого затухает по степенному закону .

Разнообразие распределений Коши для различных параметров местоположения и масштаба. Распределения Коши являются примерами распределений с толстым хвостом.

То есть, если дополнительный кумулятивное распределение из случайной величины X может быть выражено как ^{[ править ]}

${\displaystyle \Pr[X>x]\sim x^{-\alpha }{\text{ as }}x\to \infty ,\qquad \alpha >0.\,}$

тогда говорят, что распределение имеет толстый хвост, если оно невелико. Например, если дисперсия и асимметрия хвоста математически не определены (особое свойство степенного распределения) и, следовательно, больше, чем любое нормальное или экспоненциальное распределение. Для значений утверждение о толстом хвосте более неоднозначно, потому что в этом диапазоне параметров дисперсия, асимметрия и эксцесс могут быть конечными, в зависимости от точного значения , и, следовательно, потенциально меньше, чем нормальный или экспоненциальный коэффициент с высокой дисперсией. хвост. Эта двусмысленность часто приводит к разногласиям по поводу того, что именно является распределением с толстым хвостом, а что нет. Для , то момент бесконечно, поэтому для каждого закона распределения мощности, некоторые моменты не определены. ^{[ цитата необходима}${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha <3}$${\displaystyle \alpha >3}$${\displaystyle \alpha >3}$${\displaystyle k>\alpha -1}$${\displaystyle k^{th}}$^]

Примечание: здесь обозначение тильды « » относится к асимптотической эквивалентности функций , означающей, что их отношение стремится к константе. Другими словами, асимптотически хвост распределения затухает по степенному закону. ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle \sim }$

Жирные хвосты и искажения оценок риска [ править ]

Полет Леви из распределения Коши по сравнению с броуновским движением (ниже). Центральные события встречаются чаще, а редкие события более экстремальны в распределении Коши, чем в броуновском движении. Одно событие может составлять 99% от общей вариации, отсюда «неопределенная вариация».

Полет Леви из нормального распределения ( броуновское движение ).

По сравнению с распределениями с толстым хвостом, в нормальном распределении события, которые отклоняются от среднего на пять или более стандартных отклонений («события 5-сигма»), имеют меньшую вероятность, что означает, что в нормальном распределении экстремальные события менее вероятны, чем для толстых хвостовые распределения. Распределения с жирными хвостами, такие как распределение Коши (и все другие стабильные распределения, за исключением нормального ), имеют «неопределенную сигму» (технически говоря, дисперсия не определена).

Как следствие, когда данные возникают из лежащего в основе распределения с толстым хвостом, использование модели риска «нормального распределения» и оценка сигмы, основанная (обязательно) на конечном размере выборки, будет занижать истинную степень сложности прогнозирования (и риск). Многие - особенно Бенуа Мандельброт и Нассим Талеб - отметили этот недостаток модели нормального распределения и предложили, чтобы распределения с толстыми хвостами, такие как стабильные распределения, управляли доходностью активов, часто встречающейся в финансах . ^{[2] [3] [4]}

Блэка-Шоулза модель ценообразования опционов основана на нормальном распределении. Если распределение на самом деле является «толстым хвостом», тогда модель будет занижать цены на варианты , которые далеко не соответствуют деньгам , поскольку событие 5 или 7 сигм гораздо более вероятно, чем предсказывало бы нормальное распределение. ^[5]

Приложения в экономике [ править ]

В финансах часто возникают толстые хвосты, но они считаются нежелательными из-за дополнительного риска, который они несут. Например, инвестиционная стратегия может иметь ожидаемую доходность через год, которая в пять раз превышает стандартное отклонение. Если предположить нормальное распределение, вероятность его отказа (отрицательная доходность) составляет менее одного на миллион; на практике он может быть выше. Нормальные распределения, которые возникают в финансах, обычно возникают потому, что факторы, влияющие на стоимость или цену актива, математически «хорошо себя ведут», и центральная предельная теорема предусматривает такое распределение. Однако травмирующие события «реального мира» (такие как нефтяной шок, банкротство крупного предприятия,или резкое изменение политической ситуации) обычно математически нехорошо себя ведет .

Исторические примеры включают Уолл - стрите 1929 , Черный понедельник (1987) , Dot-комов , Late-2000 - х годов финансовый кризис , 2010 вспышка аварии , то 2020 обвала фондового рынка и unpegging некоторых валют. ^[6]

Жирные хвосты в распределении рыночной доходности также имеют некоторые поведенческие корни (чрезмерный оптимизм или пессимизм инвесторов, ведущие к крупным движениям рынка) и поэтому изучаются в поведенческих финансах .

В маркетинге знакомое правило 80-20, которое часто встречается (например, «20% клиентов составляют 80% дохода»), является проявлением распределения, лежащего в основе данных. ^[7]

«Толстые хвосты» также наблюдаются на товарных рынках или в индустрии звукозаписи , особенно на рынке фонографий . Функция плотности вероятности для логарифма изменений еженедельных рекордных продаж сильно лептокуртична и характеризуется более узким и большим максимумом, а также более толстым хвостом, чем в случае гаусса. С другой стороны, у этого распределения есть только один жирный хвост, связанный с увеличением продаж за счет продвижения новых рекордов, попадающих в чарты. ^[8]

Приложения в геополитике [ править ]

В книге «Толстый хвост: сила политического знания для стратегического инвестирования» политологи Ян Бреммер и Престон Кит предлагают применить концепцию «толстого хвоста» к геополитике. Как отмечает Уильям Сэфайр в своей этимологии термина ^[9], толстый хвост возникает, когда есть неожиданно толстый конец или «хвост» к краям кривой распределения, что указывает на нерегулярно высокую вероятность катастрофических событий . Это представляет собой риски возникновения определенного события, которое настолько маловероятно и трудно предсказать, что многие предпочитают игнорировать их возможность.

См. Также [ править ]

• Хвостовой риск
• Теория черного лебедя
• Семь состояний случайности
• Распределение талеба

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Примеры толстых хвостов в финансовых временных рядах
• Распределение толстых хвостов - Джон А. Робб