Lévy полет , названный в честь французского математика Пола Леви , это случайное блуждание , в котором ступенчатые длины имеют распределение Леви , а вероятностное распределение , которое тяжелый хвост . При определении как прогулка в пространстве размерностью больше единицы, шаги выполняются в изотропных случайных направлениях.
Термин «Lévy полет» был придуман Бенуа Мандельброт , [1] , который использовал это для одного конкретного определения распределения размеров шага. Он использовал термин Коши полет для случая , когда распределение размеров шага является распределением Коши , [2] и Рэлей полет для того, когда распределение является нормальным распределением [3] (который не является примером распределения тяжелых хвостов вероятности ).
Позднее исследователи расширили использование термина «полет Леви», включив в него случаи, когда случайное блуждание происходит на дискретной сетке, а не на непрерывном пространстве. [4] [5]
Частный случай, для которого Мандельброт использовал термин «бегство Леви» [1] , определяется функцией выживания (обычно известной как функция выживания) распределения размеров шага, U , равной [6]
Здесь D - параметр, связанный с фрактальной размерностью, а распределение - это частный случай распределения Парето .
Характеристики
Полеты Леви по своей конструкции являются марковскими процессами . Для общих распределений размера шага, удовлетворяющих степенному условию, расстояние от начала случайного блуждания после большого числа шагов стремится к устойчивому распределению в соответствии с обобщенной центральной предельной теоремой , что позволяет многим процессам выполнять можно смоделировать с помощью полетов Леви.
Плотности вероятностей для частиц, совершающих полет Леви, можно смоделировать с помощью обобщенной версии уравнения Фоккера – Планка , которое обычно используется для моделирования броуновского движения . Уравнение требует использования дробных производных . Для длин скачка, которые имеют симметричное распределение вероятностей, уравнение принимает простую форму в терминах дробной производной Рисса . В одном измерении уравнение читается как
где γ - постоянная, близкая к константе диффузии, α - параметр стабильности [ необходима цитата ], а f (x, t) - потенциал. Производную Рисса можно понять в терминах ее преобразования Фурье .
Это можно легко расширить до нескольких измерений.
Еще одно важное свойство полета Леви - это расходящиеся дисперсии во всех случаях, кроме случая α = 2, т. Е. Броуновского движения. В общем случае дробный момент распределения θ расходится, если α ≤ θ . Также,
Экспоненциальное масштабирование длины шага придает полетам Леви свойство масштабной инвариантности [ необходима цитата ], и они используются для моделирования данных, демонстрирующих кластеризацию. [ необходима цитата ]
Приложения
Определение полета Леви происходит из математики, связанной с теорией хаоса, и полезно при стохастических измерениях и моделировании случайных или псевдослучайных природных явлений. Примеры включают анализ данных о землетрясениях , финансовую математику , криптографию , анализ сигналов, а также множество приложений в астрономии , биологии и физике .
Еще одно применение - гипотеза о поиске корма в полете Леви . Когда акулы и другие хищники океана не могут найти пищу, они отказываются от броуновского движения , случайного движения, наблюдаемого в закрученных молекулах газа, ради полета Леви - смеси длинных траекторий и коротких случайных движений, обнаруживаемых в турбулентных жидкостях. Исследователи проанализировали более 12 миллионов перемещений, зарегистрированных в течение 5700 дней у 55 животных, помеченных регистратором данных, из 14 видов океанских хищников в Атлантическом и Тихом океанах, включая шелковистых акул , желтоперого тунца , голубого марлина и меч-рыбу. Данные показали, что полеты Леви, перемежающиеся с броуновским движением, могут описывать характер охоты животных. [7] [8] [9] [10] Птицы и другие животные [11] (включая людей) [12] следуют путями, смоделированными с помощью полета Леви (например, при поиске пищи). [13] Биологические данные полета также, очевидно, могут имитироваться другими моделями, такими как составные коррелированные случайные блуждания, которые растут по шкале, чтобы сходиться к оптимальным прогулкам Леви. [13] Составные броуновские прогулки можно точно настроить на теоретически оптимальные прогулки Леви, но они не так эффективны, как поиск Леви по большинству типов ландшафтов, предполагая, что давление отбора для характеристик ходьбы Леви более вероятно, чем многомасштабные нормальные диффузные модели. [14]
Эффективная маршрутизация в сети может выполняться по ссылкам, имеющим распределение длины полета Леви с определенными значениями альфа. [4] [5]
Смотрите также
- Распределение жирных хвостов
- Распределение с тяжелым хвостом
- Леви процесс
- Альфа-стабильное распределение Леви
- Гипотеза о поисках пищи в полете Леви
Заметки
- ^ a b Мандельброт (1982 , с. 289)
- Перейти ↑ Mandelbrot (1982 , p. 290)
- Перейти ↑ Mandelbrot (1982 , p. 288)
- ^ а б Дж. М. Клейнберг (2000). «Навигация в маленьком мире» . Природа . 406 (6798): 845. Bibcode : 2000Natur.406..845K . DOI : 10.1038 / 35022643 . PMID 10972276 .
- ^ а б Li, G .; Рейс, SDS; Морейра А.А.; Хавлин, С .; Стэнли, HE ; Андраде, Дж.С. (06.01.2010). «К принципам проектирования оптимальных транспортных сетей» (PDF) . Письма с физическим обзором . 104 (1): 018701. arXiv : 0908.3869 . Bibcode : 2010PhRvL.104a8701L . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.104.018701 . ISSN 0031-9007 . PMID 20366398 .
- Перейти ↑ Mandelbrot (1982 , p. 294)
- ^ Симс, Дэвид В .; Саутхолл, Эмили Дж .; Хамфрис, Николас Э .; Hays, Graeme C .; Брэдшоу, Кори Дж. А.; Питчфорд, Джонатан В .; Джеймс, Алекс; Ахмед, Мохаммед З .; Бриерли, Эндрю С .; Hindell, Mark A .; Морритт, Дэвид; Musyl, Майкл К .; Райтон, Дэвид; Шепард, Эмили LC; Уэрмаут, Виктория Дж .; Уилсон, Рори П .; Витт, Мэтью Дж .; Меткалф, Джулиан Д. (2008). «Законы масштабирования поискового поведения морских хищников». Природа . 451 (7182): 1098–1102. Bibcode : 2008Natur.451.1098S . DOI : 10,1038 / природа06518 . PMID 18305542 .
- ^ Хамфрис, Николас Э .; Кейруш, Нуно; Дайер, Дженнифер RM; Паде, Николас Г .; Musyl, Майкл К .; Шефер, Курт М .; Фуллер, Дэниел В .; Brunnschweiler, Juerg M .; Дойл, Томас К .; Хоутон, Джонатан Д.Р.; Hays, Graeme C .; Джонс, Кэтрин С .; Благородный, Лесли Р .; Уэрмаут, Виктория Дж .; Саутхолл, Эмили Дж .; Симс, Дэвид В. (2010). «Экологический контекст объясняет Леви и броуновские модели передвижения морских хищников» (PDF) . Природа . 465 (7301): 1066–1069. Bibcode : 2010Natur.465.1066H . DOI : 10,1038 / природа09116 . PMID 20531470 .
- ^ Витце, Александра. «У акул есть математические навыки» . discovery.com . Проверено 22 февраля 2013 года .
- ^ Дейси, Джеймс. «Акулы охотятся рейсами Леви» . Physicsworld.com . Проверено 22 февраля 2013 года .
- ^ Вишванатан, GM; Булдырев С.В.; Хавлин, Шломо ; да Луз, MGE; Рапозо, EP; Стэнли, HE (1999). «Оптимизация успеха случайного поиска». Природа . 401 (6756): 911–914. Bibcode : 1999Natur.401..911V . DOI : 10.1038 / 44831 . PMID 10553906 .
- ^ Рейнольдс, Гретхен (1 января 2014 г.). «Navigating Our World Like Birds» и некоторые авторы утверждали, что это движение пчел » . Нью-Йорк Таймс .
- ^ а б Симс, Дэвид В .; Рейнольдс, Эндрю М .; Хамфрис, Николас Э .; Саутхолл, Эмили Дж .; Уэрмаут, Виктория Дж .; Меткалф, Бретт; Твитчетт, Ричард Дж. (29 июля 2014 г.). «Иерархические случайные блуждания в следах окаменелостей и происхождение оптимального поведения при поиске» . Труды Национальной академии наук . 111 (30): 11073–11078. DOI : 10.1073 / pnas.1405966111 . ISSN 0027-8424 . PMC 4121825 . PMID 25024221 .
- ^ Хамфрис, штат Невада; Симс, DW (2014). «Оптимальные стратегии поиска пищи: Леви пытается найти баланс между поиском и использованием заплат в очень широком диапазоне условий» (PDF) . Журнал теоретической биологии . 358 : 179–193. DOI : 10.1016 / j.jtbi.2014.05.032 . PMID 24882791 .
Рекомендации
- Мандельброт, Бенуа Б. (1982). Фрактальная геометрия природы (обновленное и дополненное ред.). Нью-Йорк: WH Freeman. ISBN 0-7167-1186-9. OCLC 7876824 .
дальнейшее чтение
- Viswanathan, G .; Bartumeus, F .; В. Булдырев, С .; Catalan, J .; Fulco, U .; Havlin, S .; Da Luz, M .; Lyra, M .; Raposo, E .; Юджин Стэнли, Х. (2002). «Леви совершает случайные поиски в биологических явлениях». Physica A: Статистическая механика и ее приложения . 314 (1–4): 208–213. Bibcode : 2002PhyA..314..208V . DOI : 10.1016 / S0378-4371 (02) 01157-3 .
- Viswanathan, G .; Афанасьев, В .; Булдырев, С .; Havlin, S .; Далуз, М .; Raposo, E .; Стэнли, Х. (2000). «Полеты Леви в случайных поисках». Physica A: Статистическая механика и ее приложения . 282 (1–2): 1–12. Bibcode : 2000PhyA..282 .... 1V . DOI : 10.1016 / S0378-4371 (00) 00071-6 .
- Cheng, Z .; Савит, Р. (1987). «Фрактальное и нефрактальное поведение в полетах Леви» (PDF) . Журнал математической физики . 28 (3): 592. Bibcode : 1987JMP .... 28..592C . DOI : 10.1063 / 1.527644 . ЛВП : 2027,42 / 70735 .
- Шлезингер, Майкл Ф .; Клафтер, Джозеф; Зумофен, Герт (декабрь 1999 г.). «Вверху, внизу и за пределами броуновского движения» (PDF) . Американский журнал физики . 67 (12): 1253–1259. Bibcode : 1999AmJPh..67.1253S . DOI : 10.1119 / 1.19112 . Архивировано из оригинального (PDF) 28 марта 2012 года.
Внешние ссылки
- Сравнение картин Джексона Поллока с летной моделью Леви