В теории вероятностей и статистике , то распределение Леви , названное в честь Пола Леви , является непрерывным распределением вероятностей для неотрицательной случайной величины . В спектроскопии это распределение с частотой в качестве зависимой переменной известно как профиль Ван-дер-Ваальса . [примечание 1] Это частный случай обратного гамма-распределения . Это стабильный дистрибутив .
Функция плотности вероятности | |||
Кумулятивная функция распределения | |||
Параметры | место расположения; шкала | ||
---|---|---|---|
Служба поддержки | |||
CDF | |||
Иметь в виду | |||
Медиана | |||
Режим | |||
Дисперсия | |||
Асимметрия | неопределенный | ||
Бывший. эксцесс | неопределенный | ||
Энтропия | где является постоянной Эйлера-Mascheroni | ||
MGF | неопределенный | ||
CF |
Определение
Функция плотности вероятности распределения Леви по области является
где является параметром расположения и- масштабный параметр . Кумулятивная функция распределения:
где - дополнительная функция ошибок иявляется функцией Лапласа (CDF стандартного нормального распределения). Параметр сдвига имеет эффект сдвига кривой вправо на величину , и меняя опору на интервал [, ). Как и все стабильные распределения , распределение Леви имеет стандартную форму f (x; 0,1), которая обладает следующим свойством:
где y определяется как
Характеристическая функция распределения Леви задается
Обратите внимание, что характеристическая функция также может быть записана в той же форме, что и для устойчивого распределения с а также :
Предполагая , n- й момент несдвинутого распределения Леви формально определяется следующим образом:
который расходится для всех так что целые моменты распределения Леви не существуют (только некоторые дробные моменты).
Функция создания момента формально определяется следующим образом:
однако это расходится для и поэтому не определен на интервале около нуля, поэтому функция, производящая момент, не определена как таковая .
Как и все стабильные распределения, кроме нормального , крыло функции плотности вероятности демонстрирует поведение тяжелого хвоста, спадающее по степенному закону:
- в виде
что показывает, что Леви не только с тяжелым хвостом, но и с толстым хвостом . Это проиллюстрировано на диаграмме ниже, на которой функции плотности вероятности для различных значений c инанесены на логарифмический график .
Стандартное распределение Леви удовлетворяет условию устойчивости
- ,
где - независимые стандартные переменные Леви с .
Связанные дистрибутивы
- Если тогда
- Если тогда ( обратное гамма-распределение )
Здесь распределение Леви является частным случаем V-распределения Пирсона. - Если ( Нормальное распределение ), тогда
- Если тогда
- Если тогда ( Стабильное распространение )
- Если тогда ( Масштабированное обратное распределение хи-квадрат )
- Если тогда ( Сложенное нормальное распределение )
Генерация случайной выборки
Случайные выборки из распределения Леви могут быть сгенерированы с использованием выборки с обратным преобразованием . Для случайной переменной U, взятой из равномерного распределения на единичном интервале (0, 1], переменная X, заданная формулой [1]
распространяется Леви с местоположением и масштабировать . Здесь- кумулятивная функция распределения стандартного нормального распределения .
Приложения
- Частота геомагнитных инверсий, по- видимому, соответствует распределению Леви.
- Время удара одну точку, на расстояниис начальной точки по броуновскому движению имеет распределение Леви с. (Для броуновского движения со сносом это время может следовать обратному гауссовскому распределению , которое имеет распределение Леви в качестве предела.)
- Длина пути, по которому проходит фотон в мутной среде, соответствует распределению Леви. [2]
- Процесс Коши может быть определен как броуновское движение , подчиненного к процессу , связанному с распределением Леви. [3]
Сноски
- ^ "профиль Ван-дер-Ваальса" появляется со строчной буквой "ван" почти во всех источниках, таких как: Статистическая механика поверхности жидкости Клайв Энтони Крокстон, 1980, публикация Wiley-Interscience, ISBN 0-471-27663-4 , ISBN 978-0-471-27663-0 , [1] ; и в " Журнале технической физики" , том 36, издательством Instytut Podstawowych Problemów Techniki (Polska Akademia Nauk), издатель: Państwowe Wydawn. Наукове., 1995, [2]
Заметки
- ^ Как получить функцию для случайной выборки из распределения Леви: http://www.math.uah.edu/stat/special/Levy.html
- ^ Роджерс, Джеффри Л. (2008). «Многолучевой анализ отражательной способности от мутной среды». Журнал Оптического общества Америки A . 25 (11): 2879–2883. Bibcode : 2008JOSAA..25.2879R . DOI : 10,1364 / josaa.25.002879 . PMID 18978870 .
- ^ Апплбаум, Д. "Лекции по процессам Леви и стохастическому исчислению, Брауншвейг; Лекция 2: Процессы Леви" (PDF) . Университет Шеффилда. С. 37–53.
Рекомендации
- «Информация о стабильных дистрибутивах» . Проверено 13 июля 2005 года .- Введение Джона П. Нолана в стабильные распределения, некоторые статьи по стабильным законам и бесплатную программу для вычисления стабильных плотностей, кумулятивных функций распределения, квантилей, параметров оценки и т. Д. См., В частности, Введение в стабильные распределения, глава 1
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. "Распределение Леви" . MathWorld .