Распределение Пирсона

Диаграмма системы Пирсона, показывающая распределения типов I, III, VI, V и IV с точки зрения β ₁ (квадрат асимметрии) и β ₂ (традиционный эксцесс)

Распределение Пирсона - это семейство непрерывных распределений вероятностей . Впервые он был опубликован Карлом Пирсоном в 1895 году и впоследствии расширен им в 1901 и 1916 годах в серии статей по биостатистике .

История [ править ]

Система Пирсона изначально была разработана для моделирования явно искаженных наблюдений. В то время было хорошо известно, как адаптировать теоретическую модель к первым двум кумулянтам или моментам наблюдаемых данных: любое распределение вероятностей можно напрямую расширить, чтобы сформировать семейство в масштабе местоположения . За исключением патологических случаев, семейство в масштабе местоположения может быть создано так, чтобы оно произвольно хорошо соответствовало наблюдаемому среднему (первый кумулянт) и дисперсии (второй кумулянт). Однако не было известно, как построить распределения вероятностей, в которых асимметрия (стандартизованный третий кумулянт) иэксцесс (стандартизованный четвертый кумулянт) можно регулировать одинаково свободно. Эта необходимость стала очевидной при попытке подогнать известные теоретические модели к наблюдаемым данным, показывающим асимметрию. Примеры Пирсона включают данные о выживаемости, которые обычно асимметричны.

В своей оригинальной статье Пирсон (1895, стр. 360) определил четыре типа распределений (пронумерованных с I по IV) в дополнение к нормальному распределению (которое первоначально было известно как тип V). Классификация зависела от того, поддерживаются ли распределения на ограниченном интервале, на полупрямой или на всей реальной прямой ; и были ли они потенциально искажены или обязательно симметричны. Во второй статье (Pearson 1901) были исправлены два упущения: он переопределил распределение типа V (первоначально просто нормальное распределение , но теперь распределение обратной гаммы).) и представил распределение типа VI. Вместе первые две статьи охватывают пять основных типов системы Пирсона (I, III, IV, V и VI). В третьей статье Пирсон (1916) ввел дополнительные частные случаи и подтипы (с VII по XII).

Райнд (1909, стр. 430–432) разработал простой способ визуализации пространства параметров системы Пирсона, который впоследствии был принят Пирсоном (1916, табл. 1 и стр. 430 и далее, 448 и далее). Типы Пирсона характеризуются двумя величинами, обычно называемыми β ₁ и β ₂ . Первый - это квадрат асимметрии : где γ ₁ - асимметрия, или третий стандартизованный момент . Второй - традиционный эксцесс , или четвертый стандартизованный момент: β ₂ = γ ₂ + 3. (Современные методы определяют эксцесс γ ₂ в терминах кумулянтов, а не моментов, так что для нормального распределения мы имеем γ ₂${\ displaystyle \ beta _ {1} = \ gamma _ {1} ^ {2}}$= 0 и β ₂ = 3. Здесь мы следуем историческому прецеденту и используем β _2. ) Диаграмма справа показывает, какому типу Пирсона принадлежит данное конкретное распределение (обозначенное точкой (β ₁ , β ₂ )).

Многие из известных нам сегодня асимметричных и / или немезокуртических распределений были еще неизвестны в начале 1890-х годов. То, что сейчас известно как бета-распределение, было использовано Томасом Байесом в качестве апостериорного распределения параметра распределения Бернулли в его работе 1763 года об обратной вероятности . Бета-распределение приобрело известность благодаря своей принадлежности к системе Пирсона и было известно до 1940-х годов как распределение Пирсона типа I. ^[1] (Распределение Пирсона типа II является частным случаем типа I, но обычно больше не выделяется.) Гамма-распределениевозникла из работы Пирсона (Пирсон 1893, стр. 331; Пирсон 1895, стр. 357, 360, 373–376) и была известна как распределение типа III Пирсона, прежде чем получить свое современное название в 1930-х и 1940-х годах. ^[2] 1895 документа Пирсон представил распределение IV типа, который содержит Стьюдент т -распределение как частный случай, предшествовавший Госсет последующего использование «s несколько лет. Его статья 1901 года представила обратное гамма-распределение (тип V) и бета-простое распределение (тип VI).

Определение [ править ]

Плотность Пирсона p определяется как любое допустимое решение дифференциального уравнения (см. Pearson 1895, стр. 381)

${\ displaystyle {\ frac {p '(x)} {p (x)}} + {\ frac {a + (x- \ lambda)} {b_ {0} + b_ {1} (x- \ lambda) + b_ {2} (x- \ lambda) ^ {2}}} = 0. \ qquad (1)}$

с:

${\ displaystyle {\ begin {align} b_ {0} & = {\ frac {4 \ beta _ {2} -3 \ beta _ {1}} {10 \ beta _ {2} -12 \ beta _ {1 } -18}} \ mu _ {2}, \\ [5pt] a = b_ {1} & = {\ sqrt {\ mu _ {2}}} {\ sqrt {\ beta _ {1}}} { \ frac {\ beta _ {2} +3} {10 \ beta _ {2} -12 \ beta _ {1} -18}}, \\ [5pt] b_ {2} & = {\ frac {2 \ beta _ {2} -3 \ beta _ {1} -6} {10 \ beta _ {2} -12 \ beta _ {1} -18}}. \ end {выравнивается}}}$

Согласно Орду ^[3] Пирсон разработал основную форму уравнения (1) на основе, во-первых, формулы для производной логарифма функции плотности нормального распределения (которая дает линейную функцию) и, во-вторых, , из рекуррентного соотношения для значений в функции вероятность массовой от гипергеометрического распределения (что дает линейную разделенному-на-квадратичной структура).

В уравнении (1) параметр a определяет стационарную точку и, следовательно, при некоторых условиях режим распределения, поскольку

${\ displaystyle p '(\ lambda -a) = 0}$

следует непосредственно из дифференциального уравнения.

Поскольку мы сталкиваемся с линейным дифференциальным уравнением первого порядка с переменными коэффициентами , его решение несложно:

${\ displaystyle p (x) \ propto \ exp \ left (- \ int {\ frac {x + a} {b_ {2} x ^ {2} + b_ {1} x + b_ {0}}} \, dx \ right).}$

Интеграл в этом решении значительно упрощается при рассмотрении некоторых частных случаев подынтегрального выражения. Пирсон (1895, с. 367) выделил два основных случая, определяемых знаком дискриминанта (и, следовательно, количеством действительных корней ) квадратичной функции

${\displaystyle f(x)=b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}.\qquad (2)}$

Особые виды распространения [ править ]

Случай 1, отрицательный дискриминант [ править ]

Распределение Пирсона типа IV [ править ]

Если дискриминант квадратичной функции (2) отрицательный ( ), у нее нет вещественных корней. Затем определите${\displaystyle b_{1}^{2}-4b_{2}b_{0}<0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=x+{\frac {b_{1}}{2b_{2}}},\\[5pt]\alpha &={\frac {\sqrt {4b_{2}b_{0}-b_{1}^{2}}}{2b_{2}}}.\end{aligned}}}$

Заметим, что α - вполне определенное действительное число и α ≠ 0 , потому что по предположению и, следовательно, b ₂ ≠ 0 . Применяя эти замены, квадратичная функция (2) преобразуется к виду${\displaystyle 4b_{2}b_{0}-b_{1}^{2}>0}$

${\displaystyle f(x)=b_{2}(y^{2}+\alpha ^{2}).}$

Отсутствие действительных корней очевидно из этой формулировки, потому что α ² обязательно положительно.

Теперь выразим решение дифференциального уравнения (1) как функцию от y :

${\displaystyle p(y)\propto \exp \left(-{\frac {1}{b_{2}}}\int {\frac {y-{\frac {b_{1}}{2b_{2}}}+a}{y^{2}+\alpha ^{2}}}\,dy\right).}$

Пирсон (1895, стр. 362) назвал это «тригонометрическим случаем», поскольку интеграл

${\displaystyle \int {\frac {y-{\frac {2b_{2}a-b_{1}}{2b_{2}}}}{y^{2}+\alpha ^{2}}}\,dy={\frac {1}{2}}\ln(y^{2}+\alpha ^{2})-{\frac {2b_{2}a-b_{1}}{2b_{2}\alpha }}\arctan \left({\frac {y}{\alpha }}\right)+C_{0}}$

включает в себя обратную тригонометрическую функцию арктангенса. потом

${\displaystyle p(y)\propto \exp \left[-{\frac {1}{2b_{2}}}\ln \left(1+{\frac {y^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)-{\frac {\ln \alpha }{b_{2}}}+{\frac {2b_{2}a-b_{1}}{2b_{2}^{2}\alpha }}\arctan \left({\frac {y}{\alpha }}\right)+C_{1}\right].}$

Наконец, пусть

${\displaystyle {\begin{aligned}m&={\frac {1}{2b_{2}}},\\[5pt]\nu &=-{\frac {2b_{2}a-b_{1}}{2b_{2}^{2}\alpha }}.\end{aligned}}}$

Применяя эти замены, получаем параметрическую функцию:

${\displaystyle p(y)\propto \left[1+{\frac {y^{2}}{\alpha ^{2}}}\right]^{-m}\exp \left[-\nu \arctan \left({\frac {y}{\alpha }}\right)\right].}$

Эта ненормализованная плотность поддерживается на всей реальной линии . Это зависит от параметра масштаба α> 0 и параметров формы m > 1/2 и  ν . Один параметр был потерян, когда мы решили найти решение дифференциального уравнения (1) как функцию от y, а не от x . Поэтому мы снова вводим четвертый параметр, а именно параметр местоположения λ . Таким образом, мы получили плотность распределения Пирсона типа IV :

${\displaystyle p(x)={\frac {\left|{\frac {\operatorname {\Gamma } \left(m+{\frac {\nu }{2}}i\right)}{\Gamma (m)}}\right|^{2}}{\alpha \operatorname {\mathrm {B} } \left(m-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}}\left[1+\left({\frac {x-\lambda }{\alpha }}\right)^{2}\right]^{-m}\exp \left[-\nu \arctan \left({\frac {x-\lambda }{\alpha }}\right)\right].}$

Нормирующая константа включает в себя сложную функцию Гамма (Г) и функцию бета  (B). Обратите внимание, что параметр местоположения λ здесь не совпадает с исходным параметром местоположения, введенным в общей формулировке, но связан через

${\displaystyle \lambda =\lambda _{original}+{\frac {\alpha \nu }{2(m-1)}}.}$

Распределение Пирсона типа VII [ править ]

Параметр формы ν распределения Пирсона типа IV контролирует его асимметрию . Если зафиксировать его значение равным нулю, мы получим симметричное трехпараметрическое семейство. Этот частный случай известен как распределение типа VII Пирсона (ср. Pearson 1916, p. 450). Его плотность

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{\alpha \operatorname {\mathrm {B} } \left(m-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}}\left[1+\left({\frac {x-\lambda }{\alpha }}\right)^{2}\right]^{-m},}$

где B - бета-функция .

Альтернативная параметризация (и небольшая специализация) распределения типа VII получается, если

${\displaystyle \alpha =\sigma {\sqrt {2m-3}},}$

для чего требуется m > 3/2. Это влечет за собой небольшую потерю общности, но гарантирует, что дисперсия распределения существует и равна σ ² . Теперь параметр m управляет только эксцессом распределения. Если m стремится к бесконечности, поскольку λ и σ остаются постоянными, нормальное распределение возникает как частный случай:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{m\to \infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2m-3}}\,\operatorname {\mathrm {B} } \left(m-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}}\left[1+\left({\frac {x-\lambda }{\sigma {\sqrt {2m-3}}}}\right)^{2}\right]^{-m}\\[5pt]={}&{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2}}\,\operatorname {\Gamma } \left({\frac {1}{2}}\right)}}\cdot \lim _{m\to \infty }{\frac {\Gamma (m)}{\operatorname {\Gamma } \left(m-{\frac {1}{2}}\right){\sqrt {m-{\frac {3}{2}}}}}}\cdot \lim _{m\to \infty }\left[1+{\frac {\left({\frac {x-\lambda }{\sigma }}\right)^{2}}{2m-3}}\right]^{-m}\\[5pt]={}&{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\cdot 1\cdot \exp \left[-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\lambda }{\sigma }}\right)^{2}\right].\end{aligned}}}$

Это плотность нормального распределения со средним значением λ и стандартным отклонением σ .

Удобно потребовать m > 5/2 и положить

${\displaystyle m={\frac {5}{2}}+{\frac {3}{\gamma _{2}}}.}$

Это еще одна специализация, которая гарантирует существование первых четырех моментов раздачи. Более конкретно, тип VII , Пирсона распределение параметрироваться в терминах (λ, σ, & gamma ; ₂ ) имеет среднее значение Х , стандартное отклонение от сг , перекос нуля, и избытка эксцесса Г ₂ .

T -распределение студента [ править ]

Пирсона типа VII распределение эквивалентно нестандартизированного Стьюдента т -распределение с параметрами ν> 0, ц, сг ² , применяя следующие подстановки в исходное параметризация:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda &=\mu ,\\[5pt]\alpha &={\sqrt {\nu \sigma ^{2}}},\\[5pt]m&={\frac {\nu +1}{2}},\end{aligned}}}$

Заметим, что выполняется ограничение m > 1/2 .

Результирующая плотность

${\displaystyle p(x\mid \mu ,\sigma ^{2},\nu )={\frac {1}{{\sqrt {\nu \sigma ^{2}}}\,\operatorname {\mathrm {B} } \left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\right)}}\left(1+{\frac {1}{\nu }}{\frac {(x-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}},}$

что легко узнать как плотность t- распределения Стьюдента.

Это означает , что Пирсона типа VII распределение вбирает стандартный Стьюдент т -распределение , а также стандартное распределение Коши . В частности, стандартное t -распределение Стьюдента возникает как подслучай, когда μ = 0 и σ ² = 1, что эквивалентно следующим заменам:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda &=0,\\[5pt]\alpha &={\sqrt {\nu }},\\[5pt]m&={\frac {\nu +1}{2}},\end{aligned}}}$

Плотность этого ограниченного однопараметрического семейства является стандартным t Стьюдента :

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{{\sqrt {\nu }}\,\operatorname {\mathrm {B} } \left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\right)}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}},}$

Случай 2, неотрицательный дискриминант [ править ]

Если квадратичная функция (2) имеет неотрицательный дискриминант ( ), у нее есть действительные корни a ₁ и a ₂ (не обязательно разные):${\displaystyle b_{1}^{2}-4b_{2}b_{0}\geq 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}&={\frac {-b_{1}-{\sqrt {b_{1}^{2}-4b_{2}b_{0}}}}{2b_{2}}},\\[5pt]a_{2}&={\frac {-b_{1}+{\sqrt {b_{1}^{2}-4b_{2}b_{0}}}}{2b_{2}}}.\end{aligned}}}$

При наличии действительных корней квадратичная функция (2) может быть записана как

${\displaystyle f(x)=b_{2}(x-a_{1})(x-a_{2}),}$

и поэтому решение дифференциального уравнения есть

${\displaystyle p(x)\propto \exp \left(-{\frac {1}{b_{2}}}\int {\frac {x-a}{(x-a_{1})(x-a_{2})}}\,dx\right).}$

Пирсон (1895, стр. 362) назвал это «логарифмическим случаем», потому что интеграл

${\displaystyle \int {\frac {x-a}{(x-a_{1})(x-a_{2})}}\,dx={\frac {(a_{1}-a)\ln(x-a_{1})-(a_{2}-a)\ln(x-a_{2})}{a_{1}-a_{2}}}+C}$

включает только функцию логарифма, а не функцию arctan, как в предыдущем случае.

Используя замену

${\displaystyle \nu ={\frac {1}{b_{2}(a_{1}-a_{2})}},}$

получаем следующее решение дифференциального уравнения (1):

${\displaystyle p(x)\propto (x-a_{1})^{-\nu (a_{1}-a)}(x-a_{2})^{\nu (a_{2}-a)}.}$

Поскольку эта плотность известна только с точностью до скрытой константы пропорциональности, эту константу можно изменить, а плотность записать следующим образом:

${\displaystyle p(x)\propto \left(1-{\frac {x}{a_{1}}}\right)^{-\nu (a_{1}-a)}\left(1-{\frac {x}{a_{2}}}\right)^{\nu (a_{2}-a)}.}$

Распределение Пирсона типа I [ править ]

Распределение Пирсона типа I (обобщение бета-распределения ) возникает, когда корни квадратного уравнения (2) имеют противоположный знак, то есть ,. Тогда решение p поддерживается на отрезке . Применить замену${\displaystyle a_{1}<0<a_{2}}$${\displaystyle (a_{1},a_{2})}$

${\displaystyle x=a_{1}+y(a_{2}-a_{1}),}$

где , что дает решение в терминах y , поддерживаемое на интервале (0, 1):${\displaystyle 0<y<1}$

${\displaystyle p(y)\propto \left({\frac {a_{1}-a_{2}}{a_{1}}}y\right)^{(-a_{1}+a)\nu }\left({\frac {a_{2}-a_{1}}{a_{2}}}(1-y)\right)^{(a_{2}-a)\nu }.}$

Можно определить:

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&={\frac {a-a_{1}}{b_{2}(a_{1}-a_{2})}},\\[5pt]m_{2}&={\frac {a-a_{2}}{b_{2}(a_{2}-a_{1})}}.\end{aligned}}}$

Перегруппировка констант и параметров упрощает:

${\displaystyle p(y)\propto y^{m_{1}}(1-y)^{m_{2}},}$

Таким образом следует с . Оказывается, что m ₁ , m ₂ > −1 необходимо и достаточно для того, чтобы p было правильной функцией плотности вероятности.${\displaystyle {\frac {x-\lambda -a_{1}}{a_{2}-a_{1}}}}$${\displaystyle \mathrm {B} (m_{1}+1,m_{2}+1)}$${\displaystyle \lambda =\mu _{1}-(a_{2}-a_{1}){\frac {m_{1}+1}{m_{1}+m_{2}+2}}-a_{1}}$

Распределение Пирсона типа II [ править ]

Распределение Пирсона типа II является частным случаем семейства Пирсона типа I, ограниченным симметричными распределениями.

Для кривой Пирсона типа II ^[4]

${\displaystyle y=y_{0}\left(1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}\right)^{m},}$

куда

${\displaystyle x=\sum d^{2}/2-(n^{3}-n)/12.}$

Ордината y - частота . Кривая Пирсона типа II используется при вычислении таблицы значимых коэффициентов корреляции для коэффициента ранговой корреляции Спирмена, когда количество элементов в серии меньше 100 (или 30, в зависимости от некоторых источников). После этого распределение имитирует стандартное t-распределение Стьюдента . Для таблицы значений определенные значения используются в качестве констант в предыдущем уравнении:${\displaystyle \sum d^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m&={\frac {5\beta _{2}-9}{2(3-\beta _{2})}},\\[5pt]a^{2}&={\frac {2\mu _{2}\beta _{2}}{3-\beta _{2}}},\\[5pt]y_{0}&={\frac {N[\Gamma (2m+2)]}{a[2^{2m+1}][\Gamma (m+1)]}}.\end{aligned}}}$

Используемые моменты x :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{2}&=(n-1)[(n^{2}+n)/12]^{2},\\[5pt]\beta _{2}&={\frac {3(25n^{4}-13n^{3}-73n^{2}+37n+72)}{25n(n+1)^{2}(n-1)}}.\end{aligned}}}$

Распределение Пирсона типа III [ править ]

Определение

${\displaystyle \lambda =\mu _{1}+{\frac {b_{0}}{b_{1}}}-(m+1)b_{1},}$

${\displaystyle b_{0}+b_{1}(x-\lambda )}$есть . Распределение Пирсона типа III - это обобщенное гамма-распределение или распределение хи-квадрат .${\displaystyle \operatorname {Gamma} (m+1,b_{1}^{2})}$

Распределение Пирсона типа V [ править ]

Определение новых параметров:

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{1}&={\frac {b_{1}}{2b_{2}}},\\\lambda &=\mu _{1}-{\frac {a-C_{1}}{1-2b_{2}}},\end{aligned}}}$

${\displaystyle x-\lambda }$следует за . Распределение Пирсона типа V является обратным гамма-распределением .${\displaystyle \operatorname {InverseGamma} ({\frac {1}{b_{2}}}-1,{\frac {a-C_{1}}{b_{2}}})}$

Распределение Пирсона типа VI [ править ]

Определение

${\displaystyle \lambda =\mu _{1}+(a_{2}-a_{1}){\frac {m_{2}+1}{m_{2}+m_{1}+2}}-a_{2},}$

${\displaystyle {\frac {x-\lambda -a_{2}}{a_{2}-a_{1}}}}$следует за a . Распределение типа VI Пирсона - это простое бета-распределение или F -распределение .${\displaystyle \beta ^{\prime }(m_{2}+1,-m_{2}-m_{1}-1)}$

Отношение к другим дистрибутивам [ править ]

Семья Пирсона включает, среди прочего, следующие распределения:

• Бета-распределение (тип I)
• Бета-простое распределение (тип VI)
• Распределение Коши (тип IV)
• Распределение хи-квадрат (тип III)
• Непрерывное равномерное распределение (предел типа I)
• Экспоненциальное распределение (тип III)
• Гамма-распределение (тип III)
• F -распределение (тип VI)
• Распределение обратного хи-квадрат (тип V)
• Обратное гамма-распределение (тип V)
• Нормальное распределение (предел типа I, III, IV, V или VI)
• Студенческий т -распределение (тип VII, который является не перекос подтипом типа IV)

Альтернативами системе распределений Пирсона с целью подгонки распределений к данным являются квантильно-параметризованные распределения (QPD) и распределения металога . QPD и металоги могут обеспечить большую гибкость формы и границ, чем система Пирсона. Вместо подгонки моментов QPD обычно подгоняются к эмпирическим CDF или другим данным с помощью линейных наименьших квадратов .

Приложения [ править ]

Эти модели используются на финансовых рынках, учитывая их способность параметризоваться таким образом, чтобы это имело интуитивное значение для рыночных трейдеров. В настоящее время используется ряд моделей, которые отражают стохастический характер волатильности ставок, акций и т. Д. ^{[ Какие? ] [ необходима цитата ],} и это семейство дистрибутивов может оказаться одним из наиболее важных.

В Соединенных Штатах Log-Pearson III является распределением по умолчанию для анализа частоты наводнений. ^{[5] [ необходима ссылка ]}

Недавно были разработаны альтернативы распределениям Пирсона, которые более гибкие и легче подходят для данных. См. Дистрибутивы металога .

Заметки [ править ]

Источники [ править ]

Первоисточники [ править ]

• Пирсон, Карл (1893). «Вклад в математическую теорию эволюции [аннотация]» . Труды Королевского общества . 54 (326–330): 329–333. DOI : 10,1098 / rspl.1893.0079 . JSTOR  115538 .

• Пирсон, Карл (1895). "Вклад в математическую теорию эволюции, II: изменение перекоса в однородном материале" (PDF) . Философские труды Королевского общества . 186 : 343–414. Bibcode : 1895RSPTA.186..343P . DOI : 10,1098 / rsta.1895.0010 . JSTOR  90649 .

• Пирсон, Карл (1901). «Математический вклад в теорию эволюции, X: Дополнение к мемуарам о перекосах» . Философские труды Королевского общества А . 197 (287–299): 443–459. Bibcode : 1901RSPTA.197..443P . DOI : 10,1098 / rsta.1901.0023 . JSTOR  90841 .

• Пирсон, Карл (1916). «Математические вклады в теорию эволюции, XIX: второе приложение к мемуарам о перекосах» . Философские труды Королевского общества А . 216 (538–548): 429–457. Bibcode : 1916RSPTA.216..429P . DOI : 10,1098 / rsta.1916.0009 . JSTOR  91092 .

• Райнд, А. (июль – октябрь 1909 г.). «Таблицы для облегчения вычисления вероятных ошибок главных констант распределений асимметричных частот» . Биометрика . 7 (1/2): 127–147. DOI : 10.1093 / Biomet / 7.1-2.127 . JSTOR  2345367 .

Вторичные источники [ править ]

• Милтон Абрамовиц и Ирен А. Стегун (1964). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Национальное бюро стандартов .
• Eric W. Weisstein et al. Распределение Пирсона типа III . Из MathWorld .

Ссылки [ править ]

• Элдертон, сэр В.П., Джонсон, Н.Л. (1969) Системы частотных кривых . Издательство Кембриджского университета.
• Орд Дж. К. (1972) Семейства частотных распределений . Гриффин, Лондон.