Есть несколько видов средней в области математики , особенно в статистике :
Для набора данных , то среднее арифметическое , также известный как среднее или среднее арифметическое, является центральным значением конечного множества чисел: в частности, сумма значений , деленная на число значений. Среднее арифметическое набора чисел x 1 , x 2 , ..., x n обычно обозначается как[примечание 1] . Если набор данных был основан на серии наблюдений, полученных путем выборки из статистической совокупности , среднее арифметическое - это среднее значение выборки (обозначено), чтобы отличить его от среднего или ожидаемого значения основного распределения, от среднего значения генеральной совокупности (обозначенного или же [примечание 2] ). [1] [2]
В вероятности и статистике , в среднем населения , или ожидаемое значение, является мерой центральной тенденции либо из распределения вероятностей или из случайной величины характеризуется тем , что распределение. [3] В дискретном распределении вероятностей случайной величины X среднее значение равно сумме всех возможных значений, взвешенных по вероятности этого значения; то есть, он вычисляется путем произведения каждого возможного значения x числа X на его вероятность p ( x ), а затем сложения всех этих продуктов вместе, что дает. [4] [5] Аналогичная формула применяется к случаю непрерывного распределения вероятностей . Не каждое распределение вероятностей имеет определенное среднее значение (см. Пример распределения Коши ). Более того, для некоторых распределений среднее значение может быть бесконечным.
Для конечной совокупности среднее значение совокупности собственности равно среднему арифметическому данной собственности с учетом каждого члена совокупности. Например, средний рост популяции равен сумме роста каждой особи, деленной на общее количество особей. Среднее значение выборки может отличаться от среднего значения генеральной совокупности, особенно для небольших выборок. Закон больших чисел гласит , что чем больше размер выборки, тем больше вероятность того, что выборочное среднее будет близко к среднему значению населения. [6]
Помимо вероятности и статистики, в геометрии и математическом анализе часто используется широкий спектр других понятий среднего ; примеры приведены ниже.
Виды средств
Пифагорейские средства
Среднее арифметическое (AM)
Среднее арифметическое (или просто среднее ) из списка чисел, является суммой всех чисел , разделенное на количество чисел. Точно так же среднее значение выборки, обычно обозначаемый , [1] - сумма значений выборки, деленная на количество элементов в выборке.
Например, среднее арифметическое пяти значений: 4, 36, 45, 50, 75 равно:
Среднее геометрическое (GM)
Геометрическое среднее представляет собой среднее , что является полезным для наборов положительных чисел, которые интерпретируются в соответствии с их продуктом (как в случае с темпами роста) , а не их суммы (как в случае с среднеарифметического):
Например, среднее геометрическое пяти значений: 4, 36, 45, 50, 75 равно:
Гармоническое среднее (HM)
Гармоническое среднее является средним , который является полезным для наборов чисел , которые определяются по отношению к некоторой единице , как и в случае скорости (т.е. расстояния за единицу времени):
Например, гармоническое среднее пяти значений: 4, 36, 45, 50, 75 равно
Отношения между AM, GM и HM
AM, GM и HM удовлетворяют этим неравенствам:
Равенство сохраняется, если все элементы данной выборки равны.
Статистическая локация
В описательной статистике среднее значение можно спутать со средним значением , модой или средним значением , поскольку любое из них можно назвать «средним» (более формально, мерой центральной тенденции ). Среднее значение набора наблюдений - это среднее арифметическое значений; однако для асимметричных распределений среднее значение не обязательно совпадает со средним значением (медиана) или наиболее вероятным значением (мода). Например, средний доход обычно искажается вверх небольшим количеством людей с очень большими доходами, так что большинство из них имеет доход ниже среднего. Напротив, средний доход - это уровень, на котором половина населения находится ниже, а половина - выше. Режим дохода является наиболее вероятным доходом и благоприятствует большему количеству людей с более низкими доходами. Хотя медиана и мода часто являются более интуитивными мерами для таких искаженных данных, многие искаженные распределения на самом деле лучше всего описываются их средним значением, включая экспоненциальное и пуассоновское распределения.
Среднее значение распределения вероятностей
Среднее значение вероятностного распределения - это долгосрочное среднее арифметическое значение случайной величины, имеющей такое распределение. Если случайная величина обозначена как, То он также известен как ожидаемое значение из (обозначается ). [1] Для дискретного распределения вероятностей среднее значение определяется как, где сумма берется по всем возможным значениям случайной величины и - функция массы вероятности . Для непрерывного распределения среднее значение равно, где - функция плотности вероятности . [5] Во всех случаях, включая те, в которых распределение не является ни дискретным, ни непрерывным, среднее значение представляет собой интеграл Лебега случайной величины относительно ее вероятностной меры . Среднее значение не обязательно должно существовать или быть конечным; для некоторых распределений вероятностей среднее значение бесконечно ( + ∞ или −∞ ), в то время как для других среднее значение не определено .
Обобщенные средства
Среднее значение мощности
Обобщенный средний , также известный как мощность среднего или среднего Гельдеровские, абстракция квадратичных, арифметических, геометрических и гармонических средств. Он определяется для набора из n положительных чисел x i формулой
- [7]
Выбирая разные значения параметра m , получаются следующие типы средних:
максимум из среднее квадратичное среднее арифметическое среднее геометрическое гармоническое среднее минимум из
f -среднее
Это можно обобщить далее как обобщенное f- среднее
и снова подходящий выбор обратимой f даст
среднее арифметическое , гармоническое среднее , средней мощности , среднее геометрическое .
Средневзвешенное арифметическое
Взвешенное среднее арифметическое (или средневзвешенная) используется , если кто -то хочет , чтобы объединить средние значения из разных размеров образцов одного и того же населения:
- [7]
Где а также среднее значение и размер выборки соответственно. В других приложениях они представляют собой меру надежности влияния соответствующих значений на среднее значение.
Усеченное среднее
Иногда набор чисел может содержать выбросы (т. Е. Значения данных, которые намного ниже или намного выше, чем другие). Часто выбросы - это ошибочные данные, вызванные артефактами . В этом случае можно использовать усеченное среднее . Он включает в себя отбрасывание заданных частей данных на верхнем или нижнем конце, обычно равное количество на каждом конце, а затем взятие среднего арифметического оставшихся данных. Количество удаленных значений указывается в процентах от общего количества значений.
Межквартильное среднее
Межквартильное среднее представляет собой конкретный пример усеченного среднего. Это просто среднее арифметическое после удаления самой низкой и самой высокой четвертей значений.
Предполагая, что значения упорядочены, это просто конкретный пример взвешенного среднего для определенного набора весов.
Среднее значение функции
В некоторых случаях математики могут вычислить среднее значение бесконечного (или даже бесчисленного ) набора значений. Это может произойти при расчете среднего значения функции . Интуитивно, среднее значение функции можно представить как вычисление площади под участком кривой с последующим делением на длину этого участка. Это можно сделать грубо, подсчитывая квадраты на миллиметровой бумаге, или, точнее, интегрированием . Формула интегрирования записывается как:
В этом случае необходимо следить за тем, чтобы интеграл сходился. Но среднее значение может быть конечным, даже если сама функция в некоторых точках стремится к бесконечности.
Среднее значение углов и циклических величин
Углы , время суток и другие циклические величины требуют модульной арифметики для сложения или объединения чисел. Во всех этих ситуациях не будет единственного средства. Например, время за час до и после полуночи равноудалено как полуночи, так и полудню. Также возможно, что никакого среднего не существует. Рассмотрим цветовое колесо - набор всех цветов не имеет значения. В таких ситуациях вы должны решить, какое среднее значение будет наиболее полезным. Вы можете сделать это, скорректировав значения перед усреднением или используя специальный подход для среднего круговых величин .
Фреше означает
Средний Фреш дает способ для определения «центра» распределения масс на поверхности или, в более общем случае , риманово многообразии . В отличие от многих других средств, среднее значение Фреше определяется в пространстве, элементы которого не обязательно складываются или умножаются на скаляры. Иногда его также называют средним Керхером (в честь Германа Керхера).
Правило Свонсона
Это приближение к среднему значению для умеренно искаженного распределения. [9] Он используется при разведке углеводородов и определяется как
где P 10 , P 50 и P 90 10-й, 50-й и 90-й процентили распределения.
Другие средства
- Среднее арифметико-геометрическое
- Среднее арифметико-гармоническое
- Чезаро среднее
- Chisini означает
- Контрагармоническое среднее
- Элементарное симметричное среднее
- Среднее геометрическое гармоническое
- Большое среднее
- Хайнц означает
- Среднее значение герона
- Идентрическое среднее
- Лемеровское среднее
- Логарифмическое среднее
- Скользящее среднее
- Среднее значение Неймана – Шандора
- Квазиарифметическое среднее
- Среднеквадратичное значение (среднее квадратичное)
- Энтропия Реньи ( обобщенное f-среднее )
- Сферическое среднее
- Столярского
- Среднее геометрическое взвешенное
- Взвешенное гармоническое среднее
Распределение выборочного среднего
Среднее арифметическое значение совокупности или среднее значение совокупности часто обозначается μ . [1] Среднее значение выборки(среднее арифметическое выборки значений, взятых из генеральной совокупности) является хорошей оценкой среднего генерального значения, поскольку его ожидаемое значение равно среднему генеральному значению (то есть это несмещенная оценка ). Среднее значение выборки является случайной величиной , а не константой, так как его вычисленное значение будет случайным образом различаться в зависимости от того, какие члены совокупности отбираются, и, следовательно, оно будет иметь собственное распределение. Для случайной выборки из n независимых наблюдений ожидаемое значение выборочного среднего равно
а дисперсия выборочного среднего равна
Если генеральная совокупность распределена нормально , то среднее значение выборки обычно распределяется следующим образом:
Если совокупность не имеет нормального распределения, среднее значение выборки, тем не менее, приблизительно нормально распределено, если n велико и σ 2 / n <+ ∞. Это следствие центральной предельной теоремы .
Смотрите также
- Главная тенденция
- Медиана
- Режим
- Описательная статистика
- Эксцесс
- Закон средних чисел
- Теорема о среднем значении
- Момент (математика)
- Сводные статистические данные
- Закон Тейлора
Заметки
- ^ Произносится « х бар».
- ^ Греческая буква μ , означающая «средний», произносится как / 'mjuː /.
Рекомендации
- ^ a b c d «Список вероятностных и статистических символов» . Математическое хранилище . 2020-04-26 . Проверено 21 августа 2020 .
- ^ Андерхилл, LG; Брэдфилд д. (1998) Introstat , Juta and Company Ltd. ISBN 0-7021-3838-X стр. 181
- ^ Феллер, Уильям (1950). Введение в теорию вероятностей и ее приложения I . Вайли. п. 221. ISBN. 0471257087.
- ^ Элементарная статистика Роберта Р. Джонсона и Патрисии Дж. Куби, стр. 279
- ^ а б Вайсштейн, Эрик В. «Среднее население» . mathworld.wolfram.com . Проверено 21 августа 2020 .
- ^ Очерк теории и проблем вероятности Шаума Сеймуром Липшуцем и Марком Липсоном, стр. 141
- ^ а б в «Среднее | математика» . Британская энциклопедия . Проверено 21 августа 2020 .
- ^ «Обзор статистики AP - кривые плотности и нормальные распределения» . Архивировано из оригинала 2 апреля 2015 года . Проверено 16 марта 2015 года .
- ↑ Hurst A, Brown GC, Swanson RI (2000) Правило Суонсона 30-40-30. Бюллетень Американской ассоциации геологов-нефтяников 84 (12) 1883-1891