Обратное гамма-распределение

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Обратное гамма-распределение»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( октябрь 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Обратная гамма

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${\displaystyle \alpha >0}$ форма ( реальный ) масштаб ( реальный ) ${\displaystyle \beta >0}$
Поддерживать	${\displaystyle x\in (0,\infty )\!}$
PDF	${\displaystyle {\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{-\alpha -1}\exp \left(-{\frac {\beta }{x}}\right)}$
CDF	${\displaystyle {\frac {\Gamma (\alpha ,\beta /x)}{\Gamma (\alpha )}}\!}$
Иметь в виду	${\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha -1}}\!}$ за ${\displaystyle \alpha >1}$
Режим	${\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha +1}}\!}$
Дисперсия	${\displaystyle {\frac {\beta ^{2}}{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}\!}$ за ${\displaystyle \alpha >2}$
Асимметрия	${\displaystyle {\frac {4{\sqrt {\alpha -2}}}{\alpha -3}}\!}$ за ${\displaystyle \alpha >3}$
Бывший. эксцесс	${\displaystyle {\frac {6(5\,\alpha -11)}{(\alpha -3)(\alpha -4)}}\!}$ за ${\displaystyle \alpha >4}$
Энтропия	${\displaystyle \alpha \!+\!\ln(\beta \Gamma (\alpha ))\!-\!(1\!+\!\alpha )\psi (\alpha )}$ (см. функцию дигаммы )
MGF	Не существует.
CF	${\displaystyle {\frac {2\left(-i\beta t\right)^{\!\!{\frac {\alpha }{2}}}}{\Gamma (\alpha )}}K_{\alpha }\left({\sqrt {-4i\beta t}}\right)}$

В теории вероятностей и статистике , то обратное гамма - распределение является двухпараметрическое семейство непрерывных вероятностных распределений на положительной вещественной прямой , которая является распределение обратной переменной распределенной в соответствии с гамма - распределением . Возможно , главное использование распределения обратных гамма в статистике байесовской , где распределение возникает как маргинальное апостериорное распределение для неизвестной дисперсии в виде нормального распределения , если неинформативные до используется, и как аналитический послушнымсопрягать априор , если требуется информативный априор.

Тем не менее, это распространено среди Bayesians рассмотреть альтернативную параметризацию из нормального распределения с точки зрения точности , которая определяется как величина , обратная дисперсии, что позволяет гамма - распределение будет использоваться непосредственно в качестве конъюгата перед. Другие байесовцы предпочитают параметризовать обратное гамма-распределение иначе, как масштабированное обратное распределение хи-квадрат .

Характеристика [ править ]

Функция плотности вероятности [ править ]

Функция плотности вероятности обратного гамма-распределения определяется по носителю ${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}(1/x)^{\alpha +1}\exp \left(-\beta /x\right)}$

с параметром формы и масштабным параметром . ^[1] Здесь обозначает гамма-функцию .${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$

В отличие от гамма-распределения , которое содержит несколько похожий экспоненциальный член, это масштабный параметр, так как функция распределения удовлетворяет:${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {f(x/\beta ;\alpha ,1)}{\beta }}}$

Кумулятивная функция распределения [ править ]

Интегральная функция распределения является регуляризованными гамма - функция

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma \left(\alpha ,{\frac {\beta }{x}}\right)}{\Gamma (\alpha )}}=Q\left(\alpha ,{\frac {\beta }{x}}\right)\!}$

где числитель - это верхняя неполная гамма-функция, а знаменатель - гамма-функция . Многие математические пакеты позволяют прямое вычисление регуляризованной гамма-функции.${\displaystyle Q}$

Моменты [ править ]

П -го момента распределения обратной гаммы задается ^[2]

${\displaystyle \mathrm {E} [X^{n}]={\frac {\beta ^{n}}{(\alpha -1)\cdots (\alpha -n)}}.}$

Характеристическая функция [ править ]

${\displaystyle K_{\alpha }(\cdot )}$в выражении характеристической функции - модифицированная функция Бесселя 2-го рода.

Свойства [ править ]

Для и ,${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle \beta >0}$

${\displaystyle \mathbb {E} [\ln(X)]=\ln(\beta )-\psi (\alpha )\,}$

и

${\displaystyle \mathbb {E} [X^{-1}]={\frac {\alpha }{\beta }},\,}$

Информационная энтропия является

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {H} (X)&=\operatorname {E} [-\ln(p(X))]\\&=\operatorname {E} \left[-\alpha \ln(\beta )+\ln(\Gamma (\alpha ))+(\alpha +1)\ln(X)+{\frac {\beta }{X}}\right]\\&=-\alpha \ln(\beta )+\ln(\Gamma (\alpha ))+(\alpha +1)\ln(\beta )-(\alpha +1)\psi (\alpha )+\alpha \\&=\alpha +\ln(\beta \Gamma (\alpha ))-(\alpha +1)\psi (\alpha ).\end{aligned}}}$

где - дигамма-функция .${\displaystyle \psi (\alpha )}$

Кульбак-Либлер дивергенция обратной-гамма ( & alpha ; _р , β _р ) от обратной гаммы-излучения ( α _д , β _д ) является таким же , как KL-расходимость гамма ( & alpha ; _р , β _р ) от гаммы ( & alpha ; _д , β _q ):

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(\alpha _{p},\beta _{p};\alpha _{q},\beta _{q})=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho (X)}{\pi (X)}}\right]=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho (1/Y)}{\pi (1/Y)}}\right]=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho _{G}(Y)}{\pi _{G}(Y)}}\right],}$

где pdf распределения обратного гамма-распределения и pdf распределения гамма-распределения, является распределенным гамма ( α _p , β _p ).${\displaystyle \rho ,\pi }$${\displaystyle \rho _{G},\pi _{G}}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\mathrm {KL} }(\alpha _{p},\beta _{p};\alpha _{q},\beta _{q})={}&(\alpha _{p}-\alpha _{q})\psi (\alpha _{p})-\log \Gamma (\alpha _{p})+\log \Gamma (\alpha _{q})+\alpha _{q}(\log \beta _{p}-\log \beta _{q})+\alpha _{p}{\frac {\beta _{q}-\beta _{p}}{\beta _{p}}}.\end{aligned}}}$

Связанные дистрибутивы [ править ]

• Если тогда${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,\beta )}$${\displaystyle kX\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,k\beta )\,}$
• Если то ( обратное распределение хи-квадрат )${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,{\tfrac {1}{2}})}$${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-}}\chi ^{2}(2\alpha )\,}$
• Если, то ( масштабированное обратное распределение хи-квадрат )${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}({\tfrac {\alpha }{2}},{\tfrac {1}{2}})}$${\displaystyle X\sim {\mbox{Scaled Inv-}}\chi ^{2}(\alpha ,{\tfrac {1}{\alpha }})\,}$
• Если то ( распределение Леви )${\displaystyle X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {c}{2}})}$${\displaystyle X\sim {\textrm {Levy}}(0,c)\,}$
• Если то ( экспоненциальное распределение )${\displaystyle X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}(1,c)}$${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim {\textrm {Exp}}(c)\,}$
• Если ( Гамма-распределение с параметром скорости ), то (подробности см. В выводе в следующем абзаце)${\displaystyle X\sim {\mbox{Gamma}}(\alpha ,\beta )\,}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,\beta )\,}$
• Обратите внимание, что если X ~ Gamma ( k , θ ) (гамма-распределение с параметром масштаба θ ), то 1 / X ~ Inv-Gamma ( k , θ ⁻¹ )
• Обратное гамма-распределение является частным случаем распределения Пирсона 5-го типа.
• Многомерное обобщение распределения обратных гамма является распределением обратного Уишарта .
• О распределении суммы независимых инвертированных гамма-переменных см. Витковский (2001).

Вывод из гамма-распределения [ править ]

Пусть и напомним, что pdf гамма-распределения есть${\displaystyle X\sim {\mbox{Gamma}}(\alpha ,\beta )}$

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}}$, .${\displaystyle x>0}$

Обратите внимание, что это параметр скорости с точки зрения гамма-распределения.${\displaystyle \beta }$

Определите преобразование . Затем ПРВ является${\displaystyle Y=g(X)={\tfrac {1}{X}}}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{Y}(y)&=f_{X}\left(g^{-1}(y)\right)\left|{\frac {d}{dy}}g^{-1}(y)\right|\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left({\frac {1}{y}}\right)^{\alpha -1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right){\frac {1}{y^{2}}}\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left({\frac {1}{y}}\right)^{\alpha +1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right)\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left(y\right)^{-\alpha -1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right)\\[6pt]\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что это масштабный параметр с точки зрения обратного гамма-распределения.${\displaystyle \beta }$

Происшествие [ править ]

См. Также [ править ]

• Гамма-распределение
• Обратное распределение хи-квадрат
• Нормальное распределение

Ссылки [ править ]

• Хофф, П. (2009). «Первый курс байесовских статистических методов». Springer.
• Витковский, В. (2001). «Вычисление распределения линейной комбинации инвертированных гамма-переменных». Кибернетика . 37 (1): 79–90. Руководство по ремонту  1825758 . Zbl  1263.62022 .