Распределение жирных хвостов

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Распространение с жирным хвостом»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( апрель 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Распределение курдючного является распределением вероятности , что проявляет большой перекос или эксцесс , по отношению к тому , что либо из нормального распределения или экспоненциального распределения . В общем употреблении термины «толстохвостый» и « толстохвостый» иногда являются синонимами; толстохвостый иногда также определяется как подмножество толстохвостых. Различные исследовательские сообщества отдают предпочтение тому или другому в основном по историческим причинам и могут иметь различия в точном определении того или другого.

Распределения с жирным хвостом эмпирически встречались в различных областях: физике, науках о Земле, экономике и политологии. Класс распределений с толстыми хвостами включает те, хвосты которых распадаются по степенному закону , что является общей точкой отсчета при их использовании в научной литературе. Однако распределения с толстым хвостом также включают другие медленно затухающие распределения, такие как логарифмически нормальные . ^[1]

Крайний случай: степенное распределение [ править ]

Самый крайний случай толстого хвоста дается распределением, хвост которого затухает по степенному закону .

Разнообразие распределений Коши для различных параметров местоположения и масштаба. Распределения Коши являются примерами распределений с толстым хвостом.

То есть, если дополнительный кумулятивное распределение из случайной величины X может быть выражено как ^{[ править ]}

${\displaystyle \Pr[X>x]\sim x^{-\alpha }{\text{ as }}x\to \infty ,\qquad \alpha >0.\,}$

тогда говорят, что распределение имеет толстый хвост, если оно невелико. Например, если , дисперсия и асимметрия хвоста математически не определены (особое свойство степенного распределения) и, следовательно, больше, чем любое нормальное или экспоненциальное распределение. Для значений утверждение о толстом хвосте более неоднозначно, потому что в этом диапазоне параметров дисперсия, асимметрия и эксцесс могут быть конечными, в зависимости от точного значения и, следовательно, потенциально меньше, чем нормальный или экспоненциальный с высокой дисперсией. хвост. Эта двусмысленность часто приводит к разногласиям по поводу того, что именно является распределением с толстым хвостом, а что нет. Для , то момент бесконечно, поэтому для каждого закона распределения мощности, некоторые моменты не определены. ^{[ необходима цитата}${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha <3}$${\displaystyle \alpha >3}$${\displaystyle \alpha >3}$${\displaystyle k>\alpha -1}$${\displaystyle k^{th}}$^]

Примечание: здесь обозначение тильды « » относится к асимптотической эквивалентности функций , означающей, что их отношение стремится к константе. Другими словами, асимптотически хвост распределения затухает по степенному закону. ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle \sim }$

Жирные хвосты и искажения оценок риска [ править ]

Полет Леви из распределения Коши по сравнению с броуновским движением (ниже). Центральные события встречаются чаще, а в распределении Коши - более редкие события, чем в броуновском движении. Одиночное событие может составлять 99% от общей вариации, отсюда «неопределенная вариация».

Полет Леви из нормального распределения ( броуновское движение ).

По сравнению с распределениями с жирным хвостом, в нормальном распределении события, которые отклоняются от среднего на пять или более стандартных отклонений («события 5-сигм»), имеют меньшую вероятность, что означает, что при нормальном распределении экстремальные события менее вероятны, чем для толстых хвостовые распределения. Распределения с жирными хвостами, такие как распределение Коши (и все другие стабильные распределения, за исключением нормального распределения ), имеют «неопределенную сигму» (технически говоря, дисперсия не определена).

Как следствие, когда данные возникают из лежащего в основе распределения с толстым хвостом, использование модели риска с «нормальным распределением» и оценка сигмы, основанная (обязательно) на конечном размере выборки, будет занижать истинную степень сложности прогнозирования (и риск). Многие - особенно Бенуа Мандельброт и Нассим Талеб - отметили этот недостаток модели нормального распределения и предположили, что распределения с толстым хвостом, такие как стабильные распределения, управляют доходностью активов, часто встречающейся в финансах . ^{[2] [3] [4]}

Блэка-Шоулза модель ценообразования опционов основана на нормальном распределении. Если распределение на самом деле является «толстым хвостом», то модель будет занижать цены на варианты , которые далеко не соответствуют деньгам , поскольку событие 5 или 7 сигм гораздо более вероятно, чем предсказывало бы нормальное распределение. ^[5]

Приложения в экономике [ править ]

В финансах часто возникают толстые хвосты, но они считаются нежелательными из-за дополнительного риска, который они несут. Например, инвестиционная стратегия может иметь ожидаемую доходность через год, которая в пять раз превышает стандартное отклонение. Предполагая нормальное распределение, вероятность его отказа (отрицательная доходность) составляет менее одного на миллион; на практике он может быть выше. Нормальные распределения, которые возникают в финансах, обычно возникают потому, что факторы, влияющие на стоимость или цену актива, математически «корректны», и центральная предельная теорема предусматривает такое распределение. Однако травмирующие события «реального мира» (такие как нефтяной шок, банкротство крупного предприятия,или резкое изменение политической ситуации) обычно математически нехорошо себя ведет .

Исторические примеры включают крах Уолл-стрит 1929 года , Черный понедельник (1987) , пузырь доткомов , финансовый кризис конца 2000-х , внезапный крах 2010 года, крах фондового рынка в 2020 году и отмену привязки некоторых валют. ^[6]

Жирные хвосты в распределении рыночной доходности также имеют некоторые поведенческие корни (чрезмерный оптимизм или пессимизм инвесторов, ведущие к крупным движениям рынка) и поэтому изучаются в поведенческих финансах .

В маркетинге часто встречающееся знакомое правило 80-20 (например, «20% клиентов составляют 80% дохода») является проявлением распределения «жирного хвоста», лежащего в основе данных. ^[7]

«Толстые хвосты» также наблюдаются на товарных рынках или в индустрии звукозаписи , особенно на рынке фонографий . Функция плотности вероятности для логарифма изменений еженедельных рекордных продаж очень лептокуртична и характеризуется более узким и большим максимумом и более толстым хвостом, чем в случае Гаусса. С другой стороны, у этого распределения есть только один жирный хвост, связанный с увеличением продаж за счет продвижения новых рекордов, попадающих в чарты. ^[8]

Приложения в геополитике [ править ]

В книге «Толстый хвост: сила политического знания для стратегического инвестирования» политологи Ян Бреммер и Престон Кит предлагают применить концепцию «толстого хвоста» к геополитике. Как отмечает Уильям Сэфайр в своей этимологии термина ^[9], толстый хвост возникает, когда есть неожиданно толстый конец или «хвост» к краям кривой распределения, что указывает на нерегулярно высокую вероятность катастрофических событий . Это представляет собой риски возникновения определенного события, которое настолько маловероятно и трудно предсказать, что многие предпочитают игнорировать их возможность.

См. Также [ править ]

• Хвостовой риск
• Теория черного лебедя
• Семь состояний случайности
• Распределение талеба

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Примеры толстых хвостов в финансовых временных рядах
• Распределение толстых хвостов - Джон А. Робб