Интеграция по волокнам

В дифференциальной геометрии , то интегрирование вдоль волокон в виде K -формы дает -форму , где т является размерностью слоя, с помощью «интеграции». ${\ displaystyle (км)}$

Определение

Пусть - расслоение над многообразием с компактными ориентированными слоями. Если является k -формой на E , то для касательных векторов w _{i в} точке b пусть ${\ displaystyle \ pi: E \ to B}$ ${\ displaystyle \ alpha}$

{\ displaystyle (\ pi _ {*} \ alpha) _ {b} (w_ {1}, \ dots, w_ {km}) = \ int _ {\ pi ^ {- 1} (b)} \ beta}

где - индуцированная топ-форма на слое ; т. е. -форму, задаваемую: с лифтами до E , ${\ displaystyle \ beta}$ ${\ Displaystyle \ pi ^ {- 1} (б)}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle {\ widetilde {w_ {i}}}}$ ${\ displaystyle w_ {i}}$

{\ displaystyle \ beta (v_ {1}, \ dots, v_ {m}) = \ alpha (v_ {1}, \ dots, v_ {m}, {\ widetilde {w_ {1}}}, \ dots, {\ widetilde {w_ {km}}}).}

(Чтобы увидеть гладкость, определите координаты; см. Пример ниже.) ${\ Displaystyle б \ mapsto (\ пи _ {*} \ альфа) _ {б}}$

Тогда это линейная карта . По формуле Стокса, если слои не имеют границ (т.е. ), отображение спускается до когомологий де Рама : ${\ displaystyle \ pi _ {*}}$ ${\ displaystyle \ Omega ^ {k} (E) \ to \ Omega ^ {km} (B)}$ ${\ displaystyle [d, \ int] = 0}$

{\ displaystyle \ pi _ {*}: \ operatorname {H} ^ {k} (E; \ mathbb {R}) \ to \ operatorname {H} ^ {km} (B; \ mathbb {R}).}

Это также называется интеграцией волокна.

Теперь предположим, что это расслоение сфер ; т.е. типичное волокно представляет собой шар. Затем есть точная последовательность , K ядро, которая приводит к длинной точной последовательности, отбрасывая коэффициент и используя : ${\ displaystyle \ pi}$ $0\to K\to \Omega ^{*}(E){\overset {\pi _{*}}{\to }}\Omega ^{*}(B)\to 0$ $\mathbb {R}$ $\operatorname {H} ^{k}(B)\simeq \operatorname {H} ^{k+m}(K)$

\cdots \rightarrow \operatorname {H} ^{k}(B){\overset {\delta }{\to }}\operatorname {H} ^{k+m+1}(B){\overset {\pi ^{*}}{\rightarrow }}\operatorname {H} ^{k+m+1}(E){\overset {\pi _{*}}{\rightarrow }}\operatorname {H} ^{k+1}(B)\rightarrow \cdots

,

называется последовательностью Гайсина .

Пример

Позвольте быть очевидной проекции. Сначала предположим с координатами и рассмотрим k -форму: $\pi :M\times [0,1]\to M$ $M=\mathbb {R} ^{n}$ $x_{j}$

\alpha =f\,dx_{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx_{i_{k}}+g\,dt\wedge dx_{j_{1}}\wedge \dots \wedge dx_{j_{k-1}}.

Затем, в каждой точке М ,

\pi _{*}(\alpha )=\pi _{*}(g\,dt\wedge dx_{j_{1}}\wedge \dots \wedge dx_{j_{k-1}})=\left(\int _{0}^{1}g(\cdot ,t)\,dt\right)\,{dx_{j_{1}}\wedge \dots \wedge dx_{j_{k-1}}}.

^[1]

Из этого локального вычисления легко следует следующая формула: если есть любая k- форма на $\alpha$ $M\times I,$

\pi _{*}(d\alpha )=\alpha _{1}-\alpha _{0}-d\pi _{*}(\alpha )

где ограничение на . $\alpha _{i}$ $\alpha$ $M\times \{i\}$

В качестве приложения этой формулы, пусть будет гладкая карта (рассматриваемая как гомотопия). Тогда композиция является гомотопическим оператором : $f:M\times [0,1]\to N$ $h=\pi _{*}\circ f^{*}$

d\circ h+h\circ d=f_{1}^{*}-f_{0}^{*}:\Omega ^{k}(N)\to \Omega ^{k}(M),

откуда следует, индуцирует такое же отображение на когомологиях, факт, известный как гомотопическая инвариантность когомологий де Рама. В качестве следствия, например, пусть U - открытый шар в R ⁿ с центром в начале координат, и пусть . Затем факт, известный как лемма Пуанкаре . $f_{1},f_{0}$ $f_{t}:U\to U,x\mapsto tx$ $\operatorname {H} ^{k}(U;\mathbb {R} )=\operatorname {H} ^{k}(pt;\mathbb {R} )$

Формула проекции

Учитывая , векторное расслоение π : E → B над многообразием, мы говорим, что дифференциальная форма α на E имеет вертикально-компактный носитель , если ограничение имеет компактный носитель для каждой б в B . Мы пишем для векторного пространства дифференциальных форм на E с вертикально-компактным носителем. Если Е является ориентированный как векторное расслоение, точно так , как и раньше, мы можем определить интегрированием вдоль волокна: $\alpha |_{\pi ^{-1}(b)}$ $\Omega _{vc}^{*}(E)$

\pi _{*}:\Omega _{vc}^{*}(E)\to \Omega ^{*}(B).

Следующая формула называется формулой проекции. ^[2] Делаем правый -модуль установкой . $\Omega _{vc}^{*}(E)$ $\Omega ^{*}(B)$ $\alpha \cdot \beta =\alpha \wedge \pi ^{*}\beta$

Предложение - Позвольте быть ориентированным векторным расслоением над многообразием и интегрированием вдоль слоя. потом $\pi :E\to B$ $\pi _{*}$

$\pi _{*}$ это -линейное; т. е. для любой формы β на B и любой формы α на E с вертикально-компактным носителем $\Omega ^{*}(B)$
$\pi _{*}(\alpha \wedge \pi ^{*}\beta )=\pi _{*}\alpha \wedge \beta .$
Если B ориентировано как многообразие, то для любой формы α на E с вертикальным компактным носителем и любой формы β на B с компактным носителем
$\int _{E}\alpha \wedge \pi ^{*}\beta =\int _{B}\pi _{*}\alpha \wedge \beta$ .

Доказательство: 1. Поскольку утверждение локально, мы можем считать, что π тривиально, т. Е. Является проекцией. Позвольте быть координаты на волокне. Если , то, поскольку является гомоморфизмом колец, $\pi :E=B\times \mathbb {R} ^{n}\to B$ $t_{j}$ $\alpha =g\,dt_{1}\wedge \cdots \wedge dt_{n}\wedge \pi ^{*}\eta$ $\pi ^{*}$

\pi _{*}(\alpha \wedge \pi ^{*}\beta )=\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(\cdot ,t_{1},\dots ,t_{n})dt_{1}\dots dt_{n}\right)\eta \wedge \beta =\pi _{*}(\alpha )\wedge \beta .

Аналогично, обе стороны равны нулю, если α не содержит dt . Доказательство 2. аналогично. $\square$

Смотрите также

Карта трансгрессии

Примечания

^ Если, то в точке Ь из М , выявляя«S со своими подъемниками, мы имеем: $\alpha =g\,dt\wedge dx_{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{j_{k-1}}$ $\partial _{x_{j}}$
$\beta (\partial _{t})=\alpha (\partial _{t},\partial _{x_{j_{1}}},\dots ,\partial _{x_{j_{k-1}}})=g(b,t)$
так что
$\pi _{*}(\alpha )_{b}(\partial _{x_{j_{1}}},\dots ,\partial _{x_{j_{k-1}}})=\int _{[0,1]}\beta =\int _{0}^{1}g(b,t)\,dt.$
Следовательно, с помощью того же вычисления, если dt не входит в α . $\pi _{*}(\alpha )_{b}=\left(\int _{0}^{1}g(b,t)\,dt\right)dx_{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{j_{k-1}}.$ $\pi _{*}(\alpha )=0$
^ Ботт-Ту 1982 , Предложение 6.15. ; обратите внимание, что они используют другое определение, чем здесь, что приводит к изменению знака.

использованная литература

Мишель Оден , Действия тора на симплектических многообразиях, Бирхаузер, 2004
Ботт, Рауль ; Ту, Лоринг (1982), Дифференциальные формы в алгебраической топологии , Нью-Йорк: Springer, ISBN 0-387-90613-4

[1] Если, то в точке Ь из М , выявляя«S со своими подъемниками, мы имеем: $\alpha =g\,dt\wedge dx_{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{j_{k-1}}$ $\partial _{x_{j}}$
$\beta (\partial _{t})=\alpha (\partial _{t},\partial _{x_{j_{1}}},\dots ,\partial _{x_{j_{k-1}}})=g(b,t)$
так что
$\pi _{*}(\alpha )_{b}(\partial _{x_{j_{1}}},\dots ,\partial _{x_{j_{k-1}}})=\int _{[0,1]}\beta =\int _{0}^{1}g(b,t)\,dt.$
Следовательно, с помощью того же вычисления, если dt не входит в α . $\pi _{*}(\alpha )_{b}=\left(\int _{0}^{1}g(b,t)\,dt\right)dx_{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{j_{k-1}}.$ $\pi _{*}(\alpha )=0$

[2] Ботт-Ту 1982 , Предложение 6.15. ; обратите внимание, что они используют другое определение, чем здесь, что приводит к изменению знака.

[1]