Метод конечных разностей в частотной области

Метод конечных разностей в частотной области (FDFD) — это метод численного решения задач обычно в области электромагнетизма , а иногда и в акустике , основанный на конечно-разностных аппроксимациях производных операторов в решаемом дифференциальном уравнении . ^[1]

Хотя «FDFD» — это общий термин, описывающий все методы конечных разностей в частотной области, название, похоже, в основном описывает метод применительно к задачам рассеяния. Этот метод имеет много общего с методом конечных разностей во временной области (FDTD) настолько, что литературу по FDTD можно применять напрямую. Метод работает путем преобразования уравнений Максвелла (или другого уравнения в частных производных) для источников и полей с постоянной частотой в матричную форму . Матрица A получается из оператора волнового уравнения, вектор-столбец x содержит компоненты поля, а вектор-столбец b описывает источник. Метод способен учитывать анизотропные материалы, но недиагональные компоненты тензора требуют специального подхода. $Axe=b$

Строго говоря, в электромагнетизме существует как минимум две категории проблем «частотной области». ^[2] Один из них — найти реакцию на плотность тока J с постоянной частотой ω, т.е. формы , или аналогичный источник гармоник времени. Эта проблема отклика в частотной области приводит к системе линейных уравнений, описанной выше. Раннее описание метода FDTD в частотной области для решения проблем рассеяния было опубликовано Кристом и Хартнагелем (1987). ^[3] Другой способ — найти нормальные моды конструкции (например, волновода) в отсутствие источников: в этом случае частота ω сама по себе является переменной, и получается собственная задача (обычно собственное значение λ равно ω ² ). . Раннее описание метода FDTD для решения собственных электромагнитных задач было опубликовано Альбани и Бернарди (1974). ^[4] $\mathbf {J} (\mathbf {x})e^{i\omega t}$ $Axe=b$ $Ax=\lambda x$

Метод FDFD очень похож на метод конечных элементов (МКЭ), хотя есть и некоторые существенные различия. В отличие от метода FDTD, здесь нет временных шагов, которые необходимо вычислять последовательно, что упрощает реализацию FDFD. Это также может привести к мысли, что FDFD менее затратен в вычислительном отношении; однако это не обязательно так. Метод FDFD требует решения разреженной линейной системы, которая даже для простых задач может состоять из 20 000 на 20 000 элементов или больше и иметь более миллиона неизвестных. В этом отношении метод FDFD аналогичен методу FEM, который является методом конечных дифференциальных уравнений и также обычно реализуется в частотной области. Существуют эффективные численные решатели, позволяющие избежать инверсии матрицы — чрезвычайно затратного в вычислительном отношении процесса. Кроме того, для уменьшения размера проблемы можно использовать методы уменьшения порядка модели.