Fitting лемма , названная в честь математика Ханс Fitting , является основным оператором в абстрактной алгебре . Предположим, что M - модуль над некоторым кольцом . Если М является неразложимы и имеет конечную длину , то каждый эндоморфизм из М является либо автоморфизм или нильпотентное . [1]
Как непосредственное следствие, мы видим, что кольцо эндоморфизмов любого неразложимого модуля конечной длины локально .
Вариант леммы Фиттинга часто используется в теории представлений групп . Фактически, это частный случай версии выше, поскольку любое K- линейное представление группы G можно рассматривать как модуль над групповой алгеброй KG .
Доказательство
Чтобы доказать Установочную лемму, мы возьмем эндоморфизм п о М и рассмотрим следующие две последовательности подмодулей:
- Первая последовательность - это убывающая последовательность im ( f ), im ( f 2 ), im ( f 3 ),…,
- вторая последовательность - это возрастающая последовательность ker ( f ), ker ( f 2 ), ker ( f 3 ),…
Поскольку M имеет конечную длину, первая последовательность не может быть строго убывающей вечно, поэтому существует некоторое n с im ( f n ) = im ( f n +1 ). Точно так же (поскольку M имеет конечную длину) вторая последовательность не может быть строго возрастающей бесконечно, поэтому существует некоторое m с ker ( f m ) = ker ( f m +1 ). Легко видеть, что im ( f n ) = im ( f n +1 ) влечет im ( f n ) = im ( f n +1 ) = im ( f n +2 ) =…, и что ker ( f m ) = ker ( f m +1 ) дает ker ( f m ) = ker ( f m +1 ) = ker ( f m +2 ) =…. Полагая k = max ( m , n ), теперь получаем im ( f k ) = im ( f 2 k ) и ker ( f k ) = ker ( f 2 k ). Следовательно, (потому что каждый удовлетворяет для некоторых но также , чтобы , следовательно и поэтому ) а также (поскольку для каждого , есть некоторые такой, что (поскольку ), и поэтому , чтобы и поэтому ). Следовательно, M является прямой суммой im ( f k ) и ker ( f k ). Поскольку M неразложим, одно из этих двух слагаемых должно быть равно M , а другое - {0}. В зависимости от того, какое из двух слагаемых равно нулю, мы находим, что f биективен или нильпотентен. [2]
Заметки
Рекомендации
- Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , 2 (2-е изд.), Довер, ISBN 978-0-486-47187-7