Частота превышений , иногда называемый годовой уровень превышений , частота , с которой случайный процесс превышает некоторое критическое значение. Обычно критическое значение далеко от среднего. Обычно он определяется количеством пиков случайного процесса, выходящих за границу. У него есть приложения, связанные с прогнозированием экстремальных явлений, таких как сильные землетрясения и наводнения .
Определение
Частота превышений этого число раз в случайном процессе превышает некоторое критическое значение, как правило , критическое значение далеко от процесса среднего, за единицу времени. [1] Подсчет превышения критического значения может быть выполнен либо путем подсчета пиков процесса, которые превышают критическое значение [1], либо путем подсчета пересечений вверх критического значения, где пересечение вверх - это событие, при котором мгновенное значение процесса пересекает критическое значение с положительным наклоном. [1] [2] В этой статье предполагается, что два метода подсчета превышений эквивалентны и что в этом процессе есть одно пересечение и один пик на каждое превышение. Однако процессы, особенно непрерывные процессы с высокочастотными составляющими их спектральной плотности мощности, могут иметь несколько переходов вверх или несколько пиков в быстрой последовательности, прежде чем процесс вернется к своему среднему значению. [3]
Частота превышения для гауссовского процесса
Рассмотрим скалярный гауссовский процесс с нулевым средним y ( t ) с дисперсией σ y 2 и спектральной плотностью мощности Φ y ( f ) , где f - частота. Со временем этот гауссовский процесс имеет пики, которые превышают некоторое критическое значение y max > 0 . Подсчет количества upcrossings от у макса , то частота превышений от у макса дается [1] [2]
N 0 - частота восходящих переходов от 0 и связана со спектральной плотностью мощности как
Для гауссовского процесса приближение, согласно которому количество пиков выше критического значения и количество переходов вверх от критического значения одинаковы, хорошо для y max / σ y > 2 и для узкополосного шума . [1]
Для спектральных плотностей мощности, которые убывают менее круто, чем f −3 при f → ∞ , интеграл в числителе N 0 не сходится. Хоблит дает методы для аппроксимации N 0 в таких случаях с приложениями, нацеленными на непрерывные порывы ветра . [4]
Время и вероятность превышения
По мере того, как случайный процесс развивается с течением времени, количество пиков, которые превысили критическое значение y max, растет и само по себе является процессом подсчета . Для многих типов распределений базового случайного процесса, включая гауссовские процессы, количество пиков выше критического значения y max сходится к пуассоновскому процессу, поскольку критическое значение становится произвольно большим. Время между приходами этого пуассоновского процесса экспоненциально распределено со скоростью затухания, равной частоте превышения N ( y max ) . [5] Таким образом, среднее время между пиками, включая время пребывания или среднее время до самого первого пика, является обратной величиной частоты превышения N -1 ( y max ) .
Если количество пиков, превышающих y max, растет как пуассоновский процесс, то вероятность того, что в момент времени t еще не было ни одного пика, превышающего y max, равна e - N ( y max ) t . [6] Его дополнение,
- вероятность превышения , вероятность того, что y max было превышено хотя бы один раз за время t . [7] [8] Эта вероятность может быть полезна для оценки того, произойдет ли экстремальное событие в течение определенного периода времени, такого как срок службы конструкции или продолжительность операции.
Если N ( y max ) t мало, например, для частоты редкого события, происходящего за короткий период времени, то
Согласно этому предположению, частота превышения равна вероятности превышения в единицу времени , p ex / t , и вероятность превышения может быть вычислена путем простого умножения частоты превышения на заданный отрезок времени.
Приложения
Смотрите также
Заметки
- ↑ a b c d e Hoblit 1988 , pp. 51–54.
- ^ a b Рис 1945 , стр. 54–55.
- ^ Richardson 2014 , стр. 2029-2030.
- ^ Hoblit 1988 , стр. 229-235.
- ^ Leadbetter 1983 , стр. 176, 238, 260.
- ↑ Feller 1968 , стр. 446–448.
- ^ Hoblit 1988 , стр. 65-66.
- ^ Ричардсон 2014 , стр. 2027 г.
- ^ Программа опасностей землетрясений (2016). «Опасность землетрясений 101 - Основы» . Геологическая служба США . Проверено 26 апреля 2016 года .
- ^ Центр прогнозирования климата (2002 г.). «Понимание« вероятности превышения »графиков прогнозов температуры и осадков» . Национальная метеорологическая служба . Проверено 26 апреля 2016 года .
- ^ Гарсия, Рене (2015). «Раздел 2: Вероятность превышения» . Руководство по гидравлическому проектированию . Департамент транспорта Техаса . Проверено 26 апреля 2016 года .
- ^ Hoblit 1988 , гл. 4.
Рекомендации
- Хоблит, Фредерик М. (1988). Порывные нагрузки на самолетах: концепции и приложения . Вашингтон, округ Колумбия: Американский институт аэронавтики и астронавтики, Inc. ISBN 0930403452.
- Феллер, Уильям (1968). Введение в теорию вероятностей и ее приложения . Vol. 1 (3-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 9780471257080.
|volume=
есть дополнительный текст ( справка ) - Лидбеттер, MR; Линдгрен, Георг; Рутцен, Хольгер (1983). Экстремальные и связанные с ними свойства случайных последовательностей и процессов . Нью-Йорк: Спрингер – Верлаг. ISBN 9781461254515.
- Райс, СО (1945). «Математический анализ случайных шумов: Часть III Статистические свойства случайных шумовых токов». Технический журнал Bell System . 24 (1): 46–156. DOI : 10.1002 / (ISSN) 1538-7305c .
- Richardson, Johnhenri R .; Аткинс, Элла М .; Kabamba, Pierre T .; Жирар, Анук Р. (2014). «Запас безопасности полетов при случайных порывах ветра». Журнал наведения, управления и динамики . AIAA. 37 (6): 2026–2030. DOI : 10.2514 / 1.G000299 . ЛВП : 2027,42 / 140648 .