Время пребывания (статистика)

В статистике время пребывания - это среднее время, необходимое случайному процессу для достижения определенного граничного значения, обычно границы, далекой от среднего.

Определение [ править ]

Предположим, что $y (t)$ - реальный скалярный случайный процесс с начальным значением $y (t 0) = y 0$ , средним $y avg$ и двумя критическими значениями ${y avg - y min, y avg + y max$ }, где $y min > 0$ и $y max > 0$ . Определить первый раз , проход от $у (т)$ внутри интервала $(- y min, y max)$ как

\tau (y_{0})=\inf\{t\geq t_{0}:y(t)\in \{y_{\operatorname {avg} }-y_{\min },\ y_{\operatorname {avg} }+y_{\max }\}\},

где inf - это нижняя грань . Это наименьшее время после начального времени $t 0,$ когда $y (t)$ равно одному из критических значений, образующих границу интервала, при условии, что $y 0$ находится в пределах интервала.

Поскольку $y (t)$ случайным образом переходит от своего начального значения к границе, $τ (y 0)$ сам по себе является случайной величиной . Среднее значение $τ (y 0)$ - это время пребывания , ^[1]^[2]

{\bar {\tau }}(y_{0})=E[\tau (y_{0})\mid y_{0}].

Для гауссовского процесса и границы, далекой от среднего, время пребывания равно обратной величине частоты превышения меньшего критического значения, ^[2]

{\bar {\tau }}=N^{-1}(\min(y_{\min },\ y_{\max })),

где частота превышения $N$ равна

N(y_{\max })=N_{0}e^{-y_{\max }^{2}/2\sigma _{y}^{2}},

( 1 )

$σ y 2$ - дисперсия гауссова распределения,

N_{0}={\sqrt {\frac {\int _{0}^{\infty }{f^{2}\Phi _{y}(f)\,df}}{\int _{0}^{\infty }{\Phi _{y}(f)\,df}}}},

и $Φ y (f)$ - спектральная плотность мощности гауссова распределения по частоте $f$ .

Обобщение на несколько измерений [ править ]

Предположим, что вместо скалярности $y (t)$ имеет размерность $p$ или $y (t) \in ℝ p$ . Определим область $Ψ \subset ℝ p$ , содержащую $y avg$ и имеющую гладкую границу $\partialΨ$ . В этом случае определите время первого прохождения $y (t)$ из области $Ψ$ как

\tau (y_{0})=\inf\{t\geq t_{0}:y(t)\in \partial \Psi \mid y_{0}\in \Psi \}.

В этом случае эта нижняя грань есть наименьшее время , при котором $у (т)$ находится на границе $Ф$ , а не равна одной из двух дискретных значений, предполагая , что $у 0$ находится в пределах $Ф$ . Среднее значение этого времени - это время пребывания , ^[3]^[4]

{\bar {\tau }}(y_{0})=\operatorname {E} [\tau (y_{0})\mid y_{0}].

Логарифмическое время пребывания [ править ]

Логарифмическое время пребывания - это безразмерное изменение времени пребывания. Он пропорционален натуральному логарифму нормализованного времени пребывания. Принимая во внимание экспоненту в уравнении ( 1 ), логарифмическое время пребывания гауссовского процесса определяется как ^[5]^[6]

{\hat {\mu }}=\ln \left(N_{0}{\bar {\tau }}\right)={\frac {\min(y_{\min },\ y_{\max })^{2}}{2\sigma _{y}^{2}}}.

Это тесно связано с другим безразмерным дескриптором этой системы, числом стандартных отклонений между границей и средним значением, $min (y min, y max) / σ y$ .

В общем, нормировочный коэффициент $N 0$ может быть трудно или невозможно вычислить, поэтому безразмерные величины могут быть более полезными в приложениях.

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

^ Meerkov 1987 , стр. 1734-1735.
^ ^a ^b Ричардсон 2014 , стр. 2027 г.
^ Meerkov 1986 , стр. 494.
^ Meerkov 1987 , стр. 1734.
^ Ричардсон 2014 , стр. 2028 г.
^ Meerkov 1986 , стр. 495, альтернативный подход к определению логарифмического времени пребывания и вычислению $N 0$

Ссылки [ править ]

Меерков С.М.; Рунольфссон, Т. (1986). Управление прицеливанием . Материалы 25-й конференции по решению и контролю. Афины: IEEE. С. 494–498.CS1 maint: ref=harv (link)
Меерков С.М.; Рунольфссон, Т. (1987). Контроль прицеливания на выходе . Труды 26-й конференции по решению и контролю. Лос-Анджелес: IEEE. С. 1734–1739.CS1 maint: ref=harv (link)
Richardson, Johnhenri R .; Аткинс, Элла М .; Kabamba, Pierre T .; Жирар, Анук Р. (2014). «Запас безопасности полетов при случайных порывах ветра». Журнал наведения, управления и динамики . AIAA. 37 (6): 2026–2030. DOI : 10.2514 / 1.G000299 . ЛВП : 2027,42 / 140648 .CS1 maint: ref=harv (link)

[FOOTNOTEMeerkov19871734–1735-1] Meerkov 1987 , стр. 1734-1735.

[FOOTNOTERichardson20142027-2] Ричардсон 2014 , стр. 2027 г.

[FOOTNOTEMeerkov1986494-3] Meerkov 1986 , стр. 494.

[FOOTNOTEMeerkov19871734-4] Meerkov 1987 , стр. 1734.

[FOOTNOTERichardson20142028-5] Ричардсон 2014 , стр. 2028 г.

[FOOTNOTEMeerkov1986495-6] Meerkov 1986 , стр. 495, альтернативный подход к определению логарифмического времени пребывания и вычислению $N 0$

[1]