Уравнения Фридмана

Часть серии по
Физическая космология
Большой взрыв  · Вселенная Возраст вселенной Хронология Вселенной
Ранняя вселенная Эпоха Планка Эпоха великого объединения Электрослабая эпоха Кварковая эпоха Адронная эпоха Лептонная эпоха Фотонная эпоха Нуклеосинтез Большого взрыва Инфляция Темные времена Звездная эра Фоны Космический фоновый радиационный фон (CBR) Фон гравитационных волн (ФГВ) Космический микроволновый фон (CMB)  · Космический нейтринный фон (CNB) Космический инфракрасный фон (ИНБ)
Расширение  · Будущее Закон Хаббла  · Красное смещение Расширение Вселенной Ускоряющееся расширение Вселенной Сопутствующие и правильные расстояния Метрика FLRW  · Уравнения Фридмана Неоднородная космология Хронология далекого будущего Будущее расширяющейся Вселенной Конечная судьба вселенной Тепловая смерть вселенной Большой разрыв Большой хруст Большой отскок
Компоненты  · Структура Составные части Лямбда-CDM модель Барионная материя Экзотическая материя Вырожденная материя Нейтроний Вопрос КХД Странное дело Отрицательное вещество Энергия Отрицательная энергия Нулевая энергия Энергия вакуума Радиация Фоновое излучение Темная энергия Квинтэссенция Фантомная энергия Темная материя Холодная темная материя Теплая темная материя Смешанная темная материя Горячая темная материя Светлая темная материя Самовзаимодействующая темная материя Скалярное поле темная материя Темное излучение Темная жидкость Темный поток Зеркальное дело Структура Форма вселенной Реионизация  · Формирование структуры Формирование галактики Крупномасштабная конструкция Большая группа квазаров Нить галактики Сверхскопление Скопление галактик Группа галактик Местная группа Галактика Ореол темной материи Звездное скопление Солнечная система Планетная система Пустота
Эксперименты Бумеранг Исследователь космического фона (COBE) Обзор темной энергии Евклид Проект Illustris Обсерватория Веры К. Рубин Космическая обсерватория Планка Слоан цифровой обзор неба (SDSS) Обзор красного смещения галактики 2dF ("2dF") ВселеннаяМашина Микроволновый датчик анизотропии Wilkinson (WMAP)
Ученые Ааронсон Альфвен Альфер Бхарадвадж Коперник де Ситтер Дике Эддингтон Элерс Эйнштейн Эллис Фридман Галилео Гамов Guth Хаббл Лемэтр Linde Mather Ньютон Penzias Вбивать в голову Шмидт Шварцшильд Гладкий Старобинский Steinhardt Suntzeff Сюняев Толман Уилсон Зельдович
История темы Открытие космического микроволнового фонового излучения История теории большого взрыва Религиозные интерпретации теории большого взрыва Хронология космологических теорий
Категория  Астрономический портал
v т е

Уравнения Фридмана - это набор уравнений в физической космологии, которые управляют расширением пространства в однородных и изотропных моделях Вселенной в контексте общей теории относительности . Они были впервые получены Александром Фридманом в 1922 году из уравнений Эйнштейна о гравитации для Вселенной Фридмана и в идеальной жидкости с заданной плотностью массы и давлением . ^[1]${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle p}$Уравнения для отрицательной пространственной кривизны были даны Фридманом в 1924 г. ^[2]

Предположения [ править ]

Уравнения Фридмана начинаются с упрощающего предположения, что Вселенная пространственно однородна и изотропна , т. Е. С космологического принципа ; эмпирически это оправдано на масштабах более ~ 100 Мпк . Космологический принцип подразумевает, что метрика Вселенной должна иметь форму

${\ displaystyle ds ^ {2} = a (t) ^ {2} \, ds_ {3} ^ {2} -c ^ {2} \, dt ^ {2}}$

где - трехмерная метрика, которая должна быть одной из (а) плоского пространства, (б) сферы постоянной положительной кривизны или (в) гиперболического пространства с постоянной отрицательной кривизной. Эта метрика называется метрикой Фридмана – Лемэтра – Робертсона – Уокера (FLRW). Параметр, обсуждаемый ниже, принимает значения 0, 1, -1 или гауссову кривизну в этих трех случаях соответственно. Именно этот факт позволяет разумно говорить о « масштабном факторе » .${\ displaystyle ds_ {3} ^ {2}}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle а (т)}$

Уравнения Эйнштейна теперь связывают эволюцию этого масштабного фактора с давлением и энергией вещества во Вселенной. Из метрики FLRW мы вычисляем символы Кристоффеля , а затем тензор Риччи . Используя тензор энергии-импульса для идеальной жидкости, мы подставляем их в уравнения поля Эйнштейна, и полученные уравнения описаны ниже.

Уравнения [ править ]

Есть два независимых уравнения Фридмана для моделирования однородной изотропной Вселенной. Первый:

${\ displaystyle {\ frac {{\ dot {a}} ^ {2} + kc ^ {2}} {a ^ {2}}} = {\ frac {8 \ pi G \ rho + \ Lambda c ^ { 2}} {3}}}$

который выводится из 00-компонента уравнений поля Эйнштейна . Второй:

${\ displaystyle {\ frac {\ ddot {a}} {a}} = - {\ frac {4 \ pi G} {3}} \ left (\ rho + {\ frac {3p} {c ^ {2} }} \ right) + {\ frac {\ Lambda c ^ {2}} {3}}}$

которое выводится из первого вместе со следом уравнений поля Эйнштейна (размерность двух уравнений равна времени ⁻² ).

${\ displaystyle a}$- масштабный фактор , G , Λ и c - универсальные константы ( G - гравитационная постоянная Ньютона , Λ - космологическая постоянная (ее размерность равна ⁻² ), а c - скорость света в вакууме ). ρ и p - объемная массовая плотность (а не объемная плотность энергии) и давление соответственно. k постоянен во всем конкретном решении, но может варьироваться от одного решения к другому.

В предыдущих уравнениях ,, ρ и p являются функциями времени. является пространственной кривизной в любом временном интервале Вселенной; он равен одной шестой от пространственного скаляра кривизны Риччи R, поскольку в модели Фридмана. - параметр Хаббла .${\ displaystyle a}$${\ displaystyle k \ над ^ {2}}$${\displaystyle R={\frac {6}{c^{2}a^{2}}}({\ddot {a}}a+{\dot {a}}^{2}+kc^{2})}$${\displaystyle H\equiv {\frac {\dot {a}}{a}}}$

Мы видим, что в уравнениях Фридмана a (t) не зависит от того, какую систему координат мы выбрали для пространственных срезов. Есть два часто используемых варианта для и k, которые описывают одну и ту же физику:${\displaystyle a}$

• k = +1, 0 или -1 в зависимости от того, является ли Вселенная по форме замкнутой 3-сферой , плоской (т.е. евклидово пространство ) или открытым 3- гиперболоидом , соответственно. ^[3] Если k = +1, то радиус кривизны Вселенной. Если k = 0, тогда может быть зафиксировано любое произвольное положительное число в один конкретный момент времени. Если k = −1, то (грубо говоря) можно сказать, что · - это радиус кривизны Вселенной.${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle i}$${\displaystyle a}$
• ${\displaystyle a}$- масштабный коэффициент, который в настоящее время принимается равным 1. это пространственная кривизна когда (то есть сегодня). Если форма Вселенной является гиперсферической и это радиус кривизны ( в современном), а затем . Если положительно, то Вселенная гиперсферическая. Если равно нулю, то Вселенная плоская . Если отрицательно, то Вселенная гиперболическая .${\displaystyle k}$${\displaystyle a=1}$${\displaystyle R_{t}}$${\displaystyle R_{0}}$${\displaystyle a=R_{t}/R_{0}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

Используя первое уравнение, второе уравнение можно переформулировать как

${\displaystyle {\dot {\rho }}=-3H\left(\rho +{\frac {p}{c^{2}}}\right),}$

который устраняет и выражает сохранение массы-энергии .${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle T^{\alpha \beta }{}_{;\beta }\,=0}$

Эти уравнения иногда упрощают заменой

${\displaystyle \rho \rightarrow \rho -{\frac {\Lambda c^{2}}{8\pi G}}}$

${\displaystyle p\rightarrow p+{\frac {\Lambda c^{4}}{8\pi G}}}$

давать:

${\displaystyle H^{2}=\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}}$

${\displaystyle {\dot {H}}+H^{2}={\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right).}$

Упрощенная форма второго уравнения инвариантна относительно этого преобразования.

Параметр Хаббла может изменяться со временем, если другие части уравнения зависят от времени (в частности, плотность массы, энергия вакуума или пространственная кривизна). Оценка параметра Хаббла в настоящее время дает постоянную Хаббла, которая является константой пропорциональности закона Хаббла . Применительно к жидкости с заданным уравнением состояния уравнения Фридмана дают временную эволюцию и геометрию Вселенной как функцию плотности жидкости.

Некоторые космологи называют второе из этих двух уравнений уравнением ускорения Фридмана и оставляют термин уравнение Фридмана только для первого уравнения.

Параметр плотности [ править ]

Параметр плотности определяется как отношение фактической (или наблюдаемой) плотности к критической плотности вселенной Фридмана. Соотношение между фактической плотностью и критической плотностью определяет общую геометрию Вселенной; когда они равны, геометрия Вселенной плоская (евклидова). В более ранних моделях, которые не включали космологический постоянный член, критическая плотность изначально определялась как точка водораздела между расширяющейся и сжимающейся Вселенной.${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho _{c}}$

На сегодняшний день критическая плотность оценивается примерно в пять атомов ( одноатомного водорода ) на кубический метр, тогда как средняя плотность обычной материи во Вселенной считается 0,2–0,25 атома на кубический метр. ^{[4] [5]}

Гораздо более высокая плотность происходит от неопознанной темной материи ; и обычная, и темная материя способствуют сокращению Вселенной. Однако большая часть приходится на так называемую темную энергию , которая составляет космологический постоянный член. Хотя полная плотность равна критической плотности (точнее, с точностью до ошибки измерения), темная энергия не приводит к сжатию Вселенной, а может ускорить ее расширение. Следовательно, Вселенная, вероятно, будет расширяться вечно. ^[6]

Выражение для критической плотности находится, если принять Λ равным нулю (как и для всех основных вселенных Фридмана) и установить нормированную пространственную кривизну k равной нулю. Когда подстановки применяются к первому из уравнений Фридмана, мы находим:

${\displaystyle \rho _{c}={\frac {3H^{2}}{8\pi G}}=1.8788\times 10^{-26}h^{2}{\rm {kg}}\,{\rm {m}}^{-3}=2.7754\times 10^{11}h^{2}M_{\odot }\,{\rm {Mpc}}^{-3},}$

(где h = H _o / (100 км / с / Мпк). Для H _o = 67,4 км / с / Мпк, т.е. h = 0,674, ρ _c = 8,5 × 10 ⁻²⁷ кг / м ³ )

Затем параметр плотности (полезный для сравнения различных космологических моделей) определяется как:

${\displaystyle \Omega \equiv {\frac {\rho }{\rho _{c}}}={\frac {8\pi G\rho }{3H^{2}}}.}$

Этот термин первоначально использовался как средство для определения пространственной геометрии Вселенной, где - критическая плотность, для которой пространственная геометрия является плоской (или евклидовой). Предполагая, что плотность энергии вакуума равна нулю, если она больше единицы, космические части Вселенной замкнуты; Вселенная в конце концов перестанет расширяться, а затем схлопнется. Если меньше единицы, они открыты; и вселенная расширяется вечно. Однако можно также включить члены пространственной кривизны и энергии вакуума в более общее выражение, для которого этот параметр плотности равен точно единице. Затем нужно измерить различные компоненты, обычно обозначаемые нижними индексами. Согласно модели ΛCDM${\displaystyle \rho _{c}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$, есть важные компоненты из- за барионов , холодной темной материи и темной энергии . Пространственная геометрия Вселенной была измерена с помощью WMAP космического аппарата , чтобы быть почти плоским. Это означает, что Вселенная может быть хорошо аппроксимирована моделью, в которой параметр пространственной кривизны равен нулю; однако это не обязательно означает, что Вселенная бесконечна: возможно, просто Вселенная намного больше той части, которую мы видим. (Точно так же тот факт, что Земля примерно плоская в масштабе Нидерландов , не означает, что Земля плоская: это только означает, что она намного больше, чем Нидерланды.)${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle k}$

Первое уравнение Фридмана часто рассматривается в терминах текущих значений параметров плотности, то есть ^[7]

${\displaystyle {\frac {H^{2}}{H_{0}^{2}}}=\Omega _{0,R}a^{-4}+\Omega _{0,M}a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }.}$

Вот плотность излучения сегодня (то есть когда ), это плотность материи ( темная плюс барионная ) сегодня, это «плотность пространственной кривизны» сегодня, и это космологическая постоянная или плотность вакуума сегодня.${\displaystyle \Omega _{0,R}}$${\displaystyle a=1}$${\displaystyle \Omega _{0,M}}$${\displaystyle \Omega _{0,k}=1-\Omega _{0}}$${\displaystyle \Omega _{0,\Lambda }}$

Полезные решения [ править ]

Уравнения Фридмана могут быть решены точно в присутствии идеальной жидкости с уравнением состояния

${\displaystyle p=w\rho c^{2},}$

где - давление , - массовая плотность жидкости в сопутствующей системе отсчета, - некоторая константа.${\displaystyle p}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle w}$

В пространственно плоском случае ( k  = 0) решение для масштабного фактора:

${\displaystyle a(t)=a_{0}\,t^{\frac {2}{3(w+1)}}}$

где - некоторая постоянная интегрирования, фиксируемая выбором начальных условий. Это семейство решений, обозначенное значком, чрезвычайно важно для космологии. Например, описывает вселенную, в которой преобладает материя , где давление незначительно по сравнению с плотностью массы. Из общего решения легко увидеть, что во Вселенной, где преобладает материя, масштабный коэффициент равен${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle w=0}$

${\displaystyle a(t)\propto t^{2/3}}$ материальный

Другой важный пример - случай вселенной с преобладанием излучения , т. Е. Когда . Это ведет к${\displaystyle w=1/3}$

${\displaystyle a(t)\propto t^{1/2}}$ радиация преобладает

Отметим, что это решение не справедливо для доминирования космологической постоянной, которая соответствует ан . В этом случае плотность энергии постоянна, а масштабный коэффициент растет экспоненциально.${\displaystyle w=-1}$

Решения для других значений k можно найти в Tersic, Balsa. «Конспект лекций по астрофизике» (PDF) . Проверено 20 июля 2011 года ..

Смеси [ править ]

Если вещество представляет собой смесь двух или более невзаимодействующих жидкостей, каждая из которых имеет такое уравнение состояния, то

${\displaystyle {\dot {\rho }}_{f}=-3H\left(\rho _{f}+{\frac {p_{f}}{c^{2}}}\right)\,}$

выполняется отдельно для каждой такой жидкости f . В каждом случае,

${\displaystyle {\dot {\rho }}_{f}=-3H\left(\rho _{f}+w_{f}\rho _{f}\right)\,}$

откуда мы получаем

${\displaystyle {\rho }_{f}\propto a^{-3(1+w_{f})}\,.}$

Например, можно образовать линейную комбинацию таких терминов

${\displaystyle \rho =Aa^{-3}+Ba^{-4}+Ca^{0}\,}$

где: A - плотность «пыли» (обычного вещества, w  = 0) при  = 1; B - плотность излучения ( w  = 1/3) при  = 1; и C - плотность «темной энергии» ( w = -1). Затем заменяют это на${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}\,}$

и решает для как функцию времени.${\displaystyle a}$

Подробный вывод [ править ]

Чтобы сделать решения более явными, мы можем вывести полные соотношения из первого уравнения Фридмана:

${\displaystyle {\frac {H^{2}}{H_{0}^{2}}}=\Omega _{0,R}a^{-4}+\Omega _{0,M}a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }}$

с

${\displaystyle H={\frac {\dot {a}}{a}}}$

${\displaystyle {H^{2}}=H_{0}^{2}(\Omega _{0,R}a^{-4}+\Omega _{0,M}a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda })}$

${\displaystyle H=H_{0}{\sqrt {(\Omega _{0,R}a^{-4}+\Omega _{0,M}a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }}}}$

${\displaystyle {\frac {\dot {a}}{a}}=H_{0}{\sqrt {(\Omega _{0,R}a^{-4}+\Omega _{0,M}a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda })}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} a}{\mathrm {d} t}}=H_{0}{\sqrt {(\Omega _{0,R}a^{-2}+\Omega _{0,M}a^{-1}+\Omega _{0,k}+\Omega _{0,\Lambda }a^{2})}}}$

${\displaystyle \mathrm {d} a=\mathrm {d} tH_{0}{\sqrt {(\Omega _{0,R}a^{-2}+\Omega _{0,M}a^{-1}+\Omega _{0,k}+\Omega _{0,\Lambda }a^{2})}}}$

Перестановка и изменение для использования переменных и для интеграции${\displaystyle a'}$${\displaystyle t'}$

${\displaystyle tH_{0}=\int _{0}^{a}{\frac {\mathrm {d} a'}{\sqrt {(\Omega _{0,R}a'^{-2}+\Omega _{0,M}a'^{-1}+\Omega _{0,k}+\Omega _{0,\Lambda }a'^{2})}}}}$

Могут быть найдены решения для зависимости масштабного фактора от времени для вселенных, в которых доминирует каждый компонент. В каждом из них мы также предположили , что это то же самое, что предположить, что доминирующим источником плотности энергии является .${\displaystyle \Omega _{0,k}\approx 0}$${\displaystyle \approx 1}$

Ибо материя преобладает во вселенных, где и , а также .${\displaystyle \Omega _{0,M}>>\Omega _{0,R}}$${\displaystyle \Omega _{0,\Lambda }}$${\displaystyle \Omega _{0,M}\approx 1}$

${\displaystyle tH_{0}=\int _{0}^{a}{\frac {\mathrm {d} a'}{\sqrt {(\Omega _{0,M}a'^{-1})}}}}$

${\displaystyle tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,M}}}=({\frac {2}{3}}a'^{\frac {3}{2}})|_{0}^{a}}$

${\displaystyle ({\frac {3}{2}}tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,M}}})^{\frac {2}{3}}=a(t)}$

который восстанавливает вышеупомянутые ${\displaystyle a\propto t^{\frac {2}{3}}}$

Для вселенных с преобладанием излучения, где и , а также${\displaystyle \Omega _{0,R}>>\Omega _{0,M}}$${\displaystyle \Omega _{0,\Lambda }}$${\displaystyle \Omega _{0,R}\approx 1}$

${\displaystyle tH_{0}=\int _{0}^{a}{\frac {\mathrm {d} a'}{\sqrt {(\Omega _{0,R}a'^{-2})}}}}$

${\displaystyle tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,R}}}={\frac {a'^{2}}{2}}|_{0}^{a}}$

${\displaystyle (2tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,R}}})^{\frac {1}{2}}=a(t)}$

Для доминируемых вселенных, где и , а также и где мы теперь изменим наши границы интеграции с на и аналогично на .${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \Omega _{0,\Lambda }>>\Omega _{0,R}}$${\displaystyle \Omega _{0,M}}$${\displaystyle \Omega _{0,\Lambda }\approx 1}$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle (t-t_{i})H_{0}=\int _{a_{i}}^{a}{\frac {\mathrm {d} a'}{\sqrt {(\Omega _{0,\Lambda }a'^{2})}}}}$

${\displaystyle (t-t_{i})H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\Lambda }}}=\mathrm {ln} (|a'|)|_{a_{i}}^{a}}$

${\displaystyle a_{i}\mathrm {e} ^{(t-t_{i})H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\Lambda }}}}=a(t)}$

Решение о доминировании вселенной представляет особый интерес, потому что вторая производная по времени положительна, не равна нулю; другими словами, подразумевая ускоренное расширение Вселенной, что делает кандидата темной энергией :${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \rho _{Lambda}}$

${\displaystyle a(t)=a_{i}\mathrm {e} ^{(t-t_{i})H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\Lambda }}}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}a(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}=a_{i}(H_{0})^{2}\Omega _{0,\Lambda }\mathrm {e} ^{(t-t_{i})H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\Lambda }}}}}$

В то время как по конструкции наши допущения были положительными и считались положительными, в результате чего ускорение было больше нуля.${\displaystyle a_{i}>0}$${\displaystyle \Omega _{0,\Lambda }\approx 1}$${\displaystyle H_{0}}$

Измененное уравнение Фридмана [ править ]

Установите , где и являются отдельно масштабный коэффициент и параметр Хаббла сегодня. Тогда мы можем иметь${\displaystyle {\tilde {a}}={\frac {a}{a_{0}}},\;\rho _{c}={\frac {3H_{0}^{2}}{8\pi G}},\;\Omega ={\frac {\rho }{\rho _{c}}},\;t={\frac {\tilde {t}}{H_{0}}},\;\Omega _{c}=-{\frac {kc^{2}}{H_{0}^{2}a_{0}^{2}}}\;}$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle H_{0}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {d{\tilde {a}}}{d{\tilde {t}}}}\right)^{2}+U_{\text{eff}}({\tilde {a}})={\frac {1}{2}}\Omega _{c}}$

где . Для любой формы эффективного потенциала существует уравнение состояния, которое его создаст.${\displaystyle U_{\text{eff}}({\tilde {a}})={\frac {-\Omega {\tilde {a}}^{2}}{2}}\;}$${\displaystyle U_{\text{eff}}({\tilde {a}})\;}$${\displaystyle p=p(\rho )}$

См. Также [ править ]

• Математика общей теории относительности
• Решения уравнений поля Эйнштейна
• Теплая инфляция

Примечания [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Либшер, Дирк-Эккехард (2005). «Расширение» . Космология . Берлин: Springer. С. 53–77. ISBN 3-540-23261-3.