Функциональная ренормализационная группа

В теоретической физике , функциональная ренормгруппа ( ФРГ ) является реализацией ренормгруппы (RG) концепция , которая используется в квантовом и статистической теории поля, особенно при работе с сильно взаимодействующими системами. Метод сочетает в себе функциональные методы квантовой теории поля с интуитивной идеей ренормгруппы Кеннета Г. Уилсона.. Этот метод позволяет плавно интерполировать между известными микроскопическими законами и сложными макроскопическими явлениями в физических системах. В этом смысле он соединяет переход от простоты микрофизики к сложности макрофизики. Образно говоря, ФРГ действует как микроскоп с переменным разрешением. Начинают с изображения известных микрофизических законов с высоким разрешением, а затем уменьшают разрешение, чтобы получить крупнозернистую картину макроскопических коллективных явлений. Этот метод является непертурбативным, что означает, что он не полагается на разложение малой константы связи . Математически FRG основана на точном функционально-дифференциальном уравнении для эффективного действия, зависящего от масштаба .

Уравнение потока для эффективного действия [ править ]

В квантовой теории поля , то эффективное действие является аналогом классического функционала действия и зависит от полех данной теории. Он включает в себя все квантовые и тепловые флуктуации. Вариация дает точные квантовые уравнения поля, например, для космологии или электродинамики сверхпроводников. Математически является производящим функционалом одночастичных неприводимых диаграмм Фейнмана . Из него можно легко извлечь интересную физику, такую ​​как пропагаторы и эффективные связи для взаимодействий. В общей теории взаимодействующих полей эффективное действие${\ displaystyle \ Gamma}$ ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle \ Gamma}$однако получить трудно. FRG предоставляет практический инструмент для расчетов с использованием концепции ренормгруппы .${\ displaystyle \ Gamma}$

Центральным объектом в ФРГ является зависящий от масштаба функционал эффективного действия, часто называемый средним действием или плавным действием. Зависимость от скользящей шкалы RG вводится путем добавления регулятора (отсечки инфракрасного излучения) к полному инверсному пропагатору . Грубо говоря, регулятор отделяет медленные моды от импульсов , придавая им большую массу, в то время как моды с высоким импульсом не затрагиваются. Таким образом, включает все квантовые и статистические флуктуации с импульсами . Текущее действие подчиняется точному функциональному уравнению потока${\ displaystyle \ Gamma _ {k}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle R_ {k}}$${\ displaystyle \ Gamma _ {k} ^ {(2)}}$${\ displaystyle R_ {k}}$${\ displaystyle q \ lesssim k}$${\ displaystyle \ Gamma _ {k}}$${\ displaystyle q \ gtrsim k}$${\ displaystyle \ Gamma _ {k}}$

${\displaystyle k\,\partial _{k}\Gamma _{k}={\frac {1}{2}}{\text{STr}}\,k\,\partial _{k}R_{k}\,(\Gamma _{k}^{(1,1)}+R_{k})^{-1},}$

получено Кристофом Веттерихом и Тимом Р. Моррисом в 1993 году. Здесь обозначает производную по шкале RG при фиксированных значениях полей. Кроме того, обозначает функциональную производную от левой и правой частей соответственно из-за тензорной структуры уравнения. Эту особенность часто упрощают второй производной от эффективного действия. Функционально-дифференциальное уравнение для должно быть дополнено начальным условием , в котором «классическое действие» описывает физику в микроскопическом ультрафиолетовом масштабе . Что немаловажно, в инфракрасном диапазоне ограничивают полное эффективное действие.${\displaystyle \partial _{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \Gamma _{k}^{(1,1)}}$${\displaystyle \Gamma _{k}}$${\displaystyle \Gamma _{k}}$${\displaystyle \Gamma _{k\to \Lambda }=S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle k=\Lambda }$ ${\displaystyle k\to 0}$ ${\displaystyle \Gamma =\Gamma _{k\to 0}}$получается. В уравнении Веттериха обозначает суперслед, который суммирует по импульсам, частотам, внутренним индексам и полям (беря бозоны со знаком плюс и фермионы со знаком минус). Точное уравнение потока для имеет однопетлевую структуру. Это важное упрощение по сравнению с теорией возмущений , в которую необходимо включать многопетлевые диаграммы. Вторая функциональная производная - это полный пропагатор обратного поля, модифицированный присутствием регулятора .${\displaystyle {\text{STr}}}$${\displaystyle \Gamma _{k}}$${\displaystyle \Gamma _{k}^{(2)}=\Gamma _{k}^{(1,1)}}$${\displaystyle R_{k}}$

Эволюцию ренормгруппы можно проиллюстрировать в теоретическом пространстве, которое представляет собой многомерное пространство всех возможных бегущих взаимодействий, допускаемых симметриями задачи. Как схематично показано на рисунке, в микроскопическом ультрафиолетовом масштабе начинают с начального состояния .${\displaystyle \Gamma _{k}}$${\displaystyle \{c_{n}\}}$${\displaystyle k=\Lambda }$${\displaystyle \Gamma _{k=\Lambda }=S}$

Ренормализационная группа течет в пространстве теории всевозможных связей, допускаемых симметриями.

По мере того, как скользящая шкала опускается, текущее действие развивается в теоретическом пространстве в соответствии с функциональным уравнением потока. Выбор регулятора не однозначен, что вносит некоторую схемную зависимость в поток ренормгруппы . По этой причине разные варианты выбора регулятора соответствуют разным путям на рисунке. Однако в инфракрасном масштабе полное эффективное действие восстанавливается при каждом выборе отсечки , и все траектории пересекаются в одной и той же точке теоретического пространства.${\displaystyle k}$${\displaystyle \Gamma _{k}}$${\displaystyle R_{k}}$${\displaystyle R_{k}}$${\displaystyle k=0}$${\displaystyle \Gamma _{k=0}=\Gamma }$${\displaystyle R_{k}}$

В большинстве интересных случаев уравнение Веттериха можно решить только приближенно. Обычно выполняется некоторый тип расширения , которое затем усекается в конечном порядке, что приводит к конечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Были разработаны различные схемы систематического расширения (например, расширение производной, расширение вершины и т. Д.). Выбор подходящей схемы должен быть физически мотивированным и зависеть от конкретной проблемы. Разложения не обязательно включают малый параметр (например, константу взаимодействия взаимодействия ) и, таким образом, в общем случае имеют непертурбативный характер.${\displaystyle \Gamma _{k}}$

Аспекты функциональной перенормировки [ править ]

• Уравнение потока Веттериха является точным уравнением. Однако на практике функционально-дифференциальное уравнение должно быть усечено, т.е. оно должно быть спроецировано на функции нескольких переменных или даже на некоторое конечномерное пространство субтеории. Как и в любом непертурбативном методе, вопрос оценки погрешности при функциональной перенормировке является нетривиальным. Один из способов оценить ошибку в FRG - улучшить усечение на последовательных этапах, т. Е. Расширить пространство подтеории, включив все больше и больше действующих связей. Разница в потоках для разных усечений дает хорошую оценку ошибки. В качестве альтернативы можно использовать другие функции регулятора.${\displaystyle R_{k}}$в заданном (фиксированном) усечении и определить разницу потоков RG в инфракрасном диапазоне для соответствующих вариантов регулятора. При использовании бозонизации можно проверить нечувствительность конечных результатов по отношению к различным процедурам бозонизации.
• В FRG, как и во всех методах RG, много понимания физической системы можно получить из топологии потоков RG. В частности, большое значение имеет выявление неподвижных точек эволюции ренормгруппы. Вблизи фиксированных точек поток движущихся муфт фактически останавливается, а функции RG приближаются к нулю. Наличие (частично) устойчивых инфракрасных неподвижных точек тесно связано с концепцией универсальности . Универсальность проявляется в наблюдении того, что некоторые очень разные физические системы имеют одинаковое критическое поведение. Например, с хорошей точностью критические показатели${\displaystyle \beta }$Фазовый переход жидкость – газ в воде и ферромагнитный фазовый переход в магнетиках совпадают. На языке ренормгруппы разные системы из одного и того же класса универсальности текут в одну и ту же (частично) стабильную инфракрасную неподвижную точку. Таким образом, макрофизика становится независимой от микроскопических деталей конкретной физической модели.
• По сравнению с теорией возмущений функциональная перенормировка не делает четкого различия между перенормируемыми и неперенормируемыми связями. Все ходовые муфты, допускаемые симметрией задачи, генерируются во время потока FRG. Однако неперенормируемые связи очень быстро приближаются к частичным неподвижным точкам во время эволюции в сторону инфракрасного излучения, и, таким образом, поток эффективно схлопывается на гиперповерхности, размерность которой определяется числом перенормируемых связей. Учет неперенормируемых связей позволяет исследовать неуниверсальные особенности, чувствительные к конкретному выбору микроскопического воздействия и конечного ультрафиолетового обрезания .${\displaystyle S}$${\displaystyle \Lambda }$
• Уравнение Веттериха может быть получено из преобразования Лежандра функционального уравнения Полчинского, выведенного Джозефом Полчински в 1984 году. Концепция эффективного среднего действия, используемая в ФРГ, тем не менее, более интуитивно понятна, чем плавное голое действие в уравнении Полчинского . К тому же метод FRG оказался более подходящим для практических расчетов.
• Обычно низкоэнергетическая физика сильно взаимодействующих систем описывается макроскопическими степенями свободы (то есть возбуждением частиц), которые сильно отличаются от микроскопических высокоэнергетических степеней свободы. Например, квантовая хромодинамика - это полевая теория взаимодействующих кварков и глюонов. Однако при низких энергиях собственными степенями свободы являются барионы и мезоны. Другой пример - проблема кроссовера BEC / BCS в физике конденсированного состояния.. В то время как микроскопическая теория определяется в терминах двухкомпонентных нерелятивистских фермионов, при низких энергиях составной димер (частица-частица) становится дополнительной степенью свободы, и рекомендуется явно включить его в модель. Композитные низкоэнергетические степени свободы могут быть введены в описание методом частичной бозонизации ( преобразование Хаббарда-Стратоновича ). Однако это преобразование выполняется раз и навсегда в УФ-масштабе . В ФРГ был введен более эффективный способ включения макроскопических степеней свободы, известный как проточная бозонизация или ребозонизация. С помощью масштабно-зависимого преобразования поля это позволяет выполнять преобразование Хаббарда-Стратоновича непрерывно на всех масштабах РГ.${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle k}$.

Функциональная ренормализационная группа для эффективного взаимодействия, упорядоченного по Вику [ править ]

В отличие от уравнения потока для эффективного действия, эта схема сформулирована для эффективного взаимодействия

${\displaystyle {\mathcal {V}}[\eta ,\eta ^{+}]=-\ln Z[G_{0}^{-1}\eta ,G_{0}^{-1}\eta ^{+}]-\eta G_{0}^{-1}\eta ^{+}}$

который порождает n-частичные вершины взаимодействия, ампутированные голыми пропагаторами ; является «стандартным» производящим функционалом для n-частичных функций Грина.${\displaystyle G_{0}}$${\displaystyle Z[\eta ,\eta ^{+}]}$

Упорядочение Вика эффективного взаимодействия относительно функции Грина можно определить как${\displaystyle D}$

${\displaystyle {\mathcal {W}}[\eta ,\eta ^{+}]=\exp(-\Delta _{D}){\mathcal {V}}[\eta ,\eta ^{+}]}$.

где - лапласиан в пространстве полей. Эта операция аналогична Нормальному порядку и исключает из взаимодействия все возможные члены, образованные сверткой исходных полей с соответствующей функцией Грина D. Вводя некоторое обрезание уравнения Полчинского${\displaystyle \Delta =D\delta ^{2}/(\delta \eta \delta \eta ^{+})}$${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \Lambda }}{{V}_{\Lambda }}(\psi )=-{{\dot {\Delta }}_{G_{0,\Lambda }}}{{V}_{\Lambda }}(\psi )+\Delta _{{\dot {G}}_{0,\Lambda }}^{12}{\mathcal {V}}_{\Lambda }^{(1)}{\mathcal {V}}_{\Lambda }^{(2)}}$

принимает форму упорядоченного по Вику уравнения

${\displaystyle {\partial _{\Lambda }}{{\mathcal {W}}_{\Lambda }}=-{\Delta _{{{\dot {D}}_{\Lambda }}+{{\dot {G}}_{0,\Lambda }}}}{{\mathcal {W}}_{\Lambda }}+{e^{-\Delta _{D_{\Lambda }}^{12}}}\Delta _{{\dot {G}}_{0,\Lambda }}^{12}{\mathcal {W}}_{\Lambda }^{(1)}{\mathcal {W}}_{\Lambda }^{(2)}}$

где

${\displaystyle \Delta _{{\dot {G}}_{0,\Lambda }}^{12}{\mathcal {V}}_{\Lambda }^{(1)}{\mathcal {V}}_{\Lambda }^{(2)}={\frac {1}{2}}\left({{\frac {\delta {{V}_{\Lambda }}(\psi )}{\delta \psi }},{{\dot {G}}_{0,\Lambda }}{\frac {\delta {{V}_{\Lambda }}(\psi )}{\delta \psi }}}\right)}$

Приложения [ править ]

Метод был применен к многочисленным задачам физики, например:

• В статистической теории поля , при условии , ФРГ единой картины фазовых переходов в классических линейных -симметрических теориях скалярных в различных размерах , в том числе критических индексов для и фазового перехода Березинского-Костерлица- Таулеса для , .${\displaystyle O(N)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d=3}$${\displaystyle d=2}$${\displaystyle N=2}$
• В калибровочной квантовой теории поля FRG использовалась, например, для исследования кирального фазового перехода и инфракрасных свойств КХД и ее расширений с большим ароматом.
• В физике конденсированного состояния этот метод оказался успешным для обработки моделей решетки (например, модели Хаббарда или фрустрированных магнитных систем), отталкивающего бозе-газа, кроссовера BEC / BCS для двухкомпонентного ферми-газа, эффекта Кондо , неупорядоченных систем и неравновесных явлений.
• Применение FRG к гравитации предоставило аргументы в пользу непертурбативной перенормируемости квантовой гравитации в четырех измерениях пространства-времени, известной как сценарий асимптотической безопасности .
• В математической физике ФРГ использовалась для доказательства перенормируемости различных теорий поля.

См. Также [ править ]

• Ренормализационная группа
• Перенормировка
• Критические явления
• Масштабная инвариантность
• Асимптотическая безопасность в квантовой гравитации

Ссылки [ править ]

Статьи [ править ]

• Wetterich, C. (1993), "Точное уравнение эволюции для эффективного потенциала", Phys. Lett. B , 301 (1): 90, arXiv : 1710.05815 , Bibcode : 1993PhLB..301 ... 90W , doi : 10.1016 / 0370-2693 (93) 90726-X , S2CID  119536989
• Моррис, Т. Р. (1994), "Точная ренормализационная группа и приближенные решения", Int. J. Mod. Phys. A , A (14): 2411–2449, arXiv : hep-ph / 9308265 , Bibcode : 1994IJMPA ... 9.2411M , doi : 10.1142 / S0217751X94000972 , S2CID  15749927
• Полчинский, Дж. (1984), "Перенормировка и эффективные лагранжианы", Nucl. Phys. Б , 231 (2): 269, Bibcode : 1984NuPhB.231..269P , DOI : 10,1016 / 0550-3213 (84) 90287-6

• Рейтер, М. (1998), "Непертурбативное уравнение эволюции для квантовой гравитации", Phys. Rev. D , 57 (2): 971–985, arXiv : hep-th / 9605030 , Bibcode : 1998PhRvD..57..971R , CiteSeerX  10.1.1.263.3439 , doi : 10.1103 / PhysRevD.57.971 , S2CID  119454616

Педагогические обзоры [ править ]

• Ж. Бергес; Н. Тетрадис; C. Wetterich (2002), "Непертурбативный поток перенормировки в квантовой теории поля и статистической механике", Phys. Реп. , 363 (4–6): 223–386, arXiv : hep-ph / 0005122 , Bibcode : 2002PhR ... 363..223B , doi : 10.1016 / S0370-1573 (01) 00098-9 , S2CID  119033356

• J. Polonyi, Janos (2003), "Лекции по методу функциональной ренормгруппы", Cent. Евро. J. Phys. , 1 (1): 1–71, arXiv : hep-th / 0110026 , Bibcode : 2003CEJPh ... 1 .... 1P , doi : 10.2478 / BF02475552 , S2CID  53407529

• Х. Гис (2006). «Введение в функциональную РГ и приложения к калибровочным теориям». Ренормализационная группа и подходы теории эффективного поля к системам многих тел . Конспект лекций по физике . 852 . С. 287–348. arXiv : hep-ph / 0611146 . DOI : 10.1007 / 978-3-642-27320-9_6 . ISBN 978-3-642-27319-3. S2CID  15127186 .

• Б. Деламотт (2007). «Введение в непертурбативную ренормгруппу». Ренормализационная группа и подходы теории эффективного поля к системам многих тел . Конспект лекций по физике . 852 . С. 49–132. arXiv : cond-mat / 0702365 . DOI : 10.1007 / 978-3-642-27320-9_2 . ISBN 978-3-642-27319-3. S2CID  34308305 .

• М. Зальмхофер и К. Хонеркамп, Манфред; Хонеркамп, Карстен (2001), "Потоки фермионной ренормгруппы: техника и теория", Prog. Теор. Phys. , 105 (1): 1, Bibcode : 2001PThPh.105 .... 1S , DOI : 10,1143 / PTP.105.1

• М. Рейтер и Ф. Заурессиг; Фрэнк Заурессиг (2007). «Функциональные уравнения ренормгруппы, асимптотическая безопасность и квантовая гравитация Эйнштейна». arXiv : 0708.1317 [ hep-th ].