Бикомплексное число

---

В абстрактной алгебре бикомплексное число — это пара ( w , z ) комплексных чисел , построенная процессом Кэли-Диксона, который определяет бикомплексное сопряжение и произведение двух бикомплексных чисел как${\ Displaystyle (ш, г) ^ {*} = (ш, -г)}$

Бикомплексные числа образуют коммутативную алгебру над C размерности два, которая изоморфна прямой сумме алгебр C ⊕ C .

Произведение двух бикомплексных чисел дает значение квадратичной формы, которое является произведением отдельных квадратичных форм чисел: проверка этого свойства квадратичной формы произведения относится к тождеству Брахмагупты-Фибоначчи . Это свойство квадратичной формы бикомплексного числа указывает на то, что эти числа образуют алгебру композиции . Фактически бикомплексные числа возникают на бинарном уровне конструкции Кэли–Диксона, основанной на норме z ² .${\ Displaystyle \ mathbb {С}}$

Общее бикомплексное число может быть представлено матрицей , которая имеет определитель . Таким образом, составляющее свойство квадратичной формы совпадает с составляющим свойством определителя.${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} w & iz \\ iz & w \ end {pmatrix}}}$ ${\ Displaystyle ш ^ {2} + г ^ {2}}$

Бикомплексные числа образуют алгебру над C размерности два, а поскольку C имеет размерность два над R , бикомплексные числа представляют собой алгебру над R четвертой размерности. На самом деле реальная алгебра старше комплексной; она была названа тессаринами в 1848 году, а комплексная алгебра не вводилась до 1892 года.

Базис для тессариновой 4-алгебры над R задает z = 1 и z = - i , что дает матрицы , которые умножаются в соответствии с приведенной таблицей. Когда единичная матрица отождествляется с 1, тогда тессарина t = w + zj .${\ displaystyle k = {\ begin {pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \ end {pmatrix}}, \ quad \ j = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}$

---