Авторегрессионная условная гетероскедастичность

В эконометрике модель авторегрессионной условной гетероскедастичности ( ARCH ) - это статистическая модель для данных временных рядов, которая описывает дисперсию текущего члена ошибки или нововведения как функцию фактических размеров членов ошибки предыдущих периодов времени; ^[1] часто дисперсия связана с квадратами предыдущих нововведений . Модель ARCH подходит, когда дисперсия ошибок во временном ряду соответствует модели авторегрессии (AR); если авторегрессионная скользящая средняя(ARMA) модель используется для дисперсии ошибок, модель является обобщенной авторегрессионной условной гетероскедастичностью ( GARCH ). ^[2]

Модели ARCH обычно используются при моделировании финансовых временных рядов, которые демонстрируют изменяющуюся во времени волатильность и кластеризацию волатильности , то есть периоды колебаний, перемежающиеся периодами относительного затишья. Модели типа ARCH иногда считаются принадлежащими к семейству моделей стохастической волатильности , хотя это строго неверно, поскольку в момент времени t волатильность полностью предопределена (детерминирована) с учетом предыдущих значений. ^[3]

Спецификация модели ARCH ( q ) [ править ]

Чтобы смоделировать временной ряд с использованием процесса ARCH, позвольте обозначить термины ошибки (возвращаемые остатки по отношению к среднему процессу), то есть члены ряда. Они разделены на стохастическую часть и зависящее от времени стандартное отклонение, характеризующее типичный размер членов, так что${\ displaystyle ~ \ epsilon _ {t} ~}$${\ displaystyle ~ \ epsilon _ {t} ~}$${\ displaystyle z_ {t}}$${\ displaystyle \ sigma _ {t}}$

${\ displaystyle ~ \ epsilon _ {t} = \ sigma _ {t} z_ {t} ~}$

Случайная величина - это сильный белый шум . Сериал смоделирован${\ displaystyle z_ {t}}$${\ Displaystyle \ sigma _ {т} ^ {2}}$

${\ displaystyle \ sigma _ {t} ^ {2} = \ alpha _ {0} + \ alpha _ {1} \ epsilon _ {t-1} ^ {2} + \ cdots + \ alpha _ {q} \ эпсилон _ {tq} ^ {2} = \ alpha _ {0} + \ sum _ {i = 1} ^ {q} \ alpha _ {i} \ epsilon _ {ti} ^ {2}}$,

где и .${\ displaystyle ~ \ alpha _ {0}> 0 ~}$${\ Displaystyle \ альфа _ {я} \ geq 0, ~ я> 0}$

Модель ARCH ( q ) можно оценить с помощью обычных наименьших квадратов . Методология проверки длины лага ошибок ARCH с использованием теста множителя Лагранжа была предложена Энглом (1982). Эта процедура выглядит следующим образом:

1. Оцените наиболее подходящую модель авторегрессии AR ( q ) .${\ displaystyle y_ {t} = a_ {0} + a_ {1} y_ {t-1} + \ cdots + a_ {q} y_ {tq} + \ epsilon _ {t} = a_ {0} + \ sum _ {i = 1} ^ {q} a_ {i} y_ {ti} + \ epsilon _ {t}}$
2. Получите квадраты ошибки и регрессируйте их на постоянные и запаздывающие значения q :${\displaystyle {\hat {\epsilon }}^{2}}$

   ${\displaystyle {\hat {\epsilon }}_{t}^{2}={\hat {\alpha }}_{0}+\sum _{i=1}^{q}{\hat {\alpha }}_{i}{\hat {\epsilon }}_{t-i}^{2}}$

   где q - длина лагов ARCH.

3. Нулевая гипотеза состоит в том, в отсутствии компонентов ARCH, у нас есть для всех . Альтернативная гипотеза состоит в том, что при наличии компонентов ARCH, по крайней мере, один из оцененных коэффициентов должен быть значимым. В выборке из T остатков при нулевой гипотезе об отсутствии ошибок ARCH, тестовая статистика T'R² следует распределению с q степенями свободы, где - количество уравнений в модели, которое соответствует остаткам по сравнению с лагами (т . Е. ). Если T'R² больше, чем значение таблицы хи-квадрат, мы отклоняем нулевую гипотезу и делаем вывод о наличии эффекта ARCH в модели ARMA.${\displaystyle \alpha _{i}=0}$${\displaystyle i=1,\cdots ,q}$${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle \chi ^{2}}$${\displaystyle T'}$${\displaystyle T'=T-q}$. Если T'R² меньше значения таблицы хи-квадрат, мы не отклоняем нулевую гипотезу.

ГАРЧ [ править ]

Если модель авторегрессионной модели скользящего среднего (ARMA) предполагается для дисперсии ошибки, то эта модель является обобщенной моделью авторегрессионной условной гетероскедастичности (GARCH). ^[2]

В этом случае модель GARCH ( p , q ) (где p - это порядок членов GARCH, а q - порядок членов ARCH ), следуя обозначениям исходной статьи, задается следующим образом:${\displaystyle ~\sigma ^{2}}$${\displaystyle ~\epsilon ^{2}}$

${\displaystyle y_{t}=x'_{t}b+\epsilon _{t}}$

${\displaystyle \epsilon _{t}|\psi _{t-1}\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma _{t}^{2})}$

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\omega +\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{q}\epsilon _{t-q}^{2}+\beta _{1}\sigma _{t-1}^{2}+\cdots +\beta _{p}\sigma _{t-p}^{2}=\omega +\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}\epsilon _{t-i}^{2}+\sum _{i=1}^{p}\beta _{i}\sigma _{t-i}^{2}}$

Как правило, при тестировании эконометрических моделей на гетероскедастичность лучшим тестом является тест Уайта . Однако при работе с данными временных рядов это означает проверку на ошибки ARCH и GARCH.

Экспоненциально взвешенное скользящее среднее (EWMA) - это альтернативная модель в отдельном классе моделей экспоненциального сглаживания. В качестве альтернативы моделированию GARCH он обладает некоторыми привлекательными свойствами, такими как больший вес по сравнению с недавними наблюдениями, но также и недостатками, такими как произвольный коэффициент затухания, который привносит субъективность в оценку.

Спецификация модели GARCH ( p , q ) [ править ]

Длина задержки p процесса GARCH ( p , q ) устанавливается в три этапа:

1. Оцените наиболее подходящую модель AR ( q )

   ${\displaystyle y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}}$.

2. Вычислить и построить автокорреляцию по${\displaystyle \epsilon ^{2}}$

   ${\displaystyle \rho ={{\sum _{t=i+1}^{T}({\hat {\epsilon }}_{t}^{2}-{\hat {\sigma }}_{t}^{2})({\hat {\epsilon }}_{t-1}^{2}-{\hat {\sigma }}_{t-1}^{2})} \over {\sum _{t=1}^{T}({\hat {\epsilon }}_{t}^{2}-{\hat {\sigma }}_{t}^{2})^{2}}}}$

3. Асимптотика, то есть для больших выборок, стандартное отклонение составляет . Отдельные значения, превышающие это, указывают на ошибки GARCH. Чтобы оценить общее количество задержек, используйте тест Льюнга-Бокса до тех пор, пока их значение не станет меньше, чем, скажем, 10% значимости. Q-статистика Льюнга-Бокса следует распределению с n степенями свободы, если квадраты остатков некоррелированы. Рекомендуется учитывать значения n до T / 4 . Нулевая гипотеза утверждает, что ошибок ARCH или GARCH нет. Таким образом, отклонение нуля означает, что такие ошибки существуют в условной дисперсии .${\displaystyle \rho (i)}$${\displaystyle 1/{\sqrt {T}}}$${\displaystyle \chi ^{2}}$${\displaystyle \epsilon _{t}^{2}}$

НГАРЧ [ править ]

НАГАРЧ [ править ]

Нелинейный асимметричный GARCH (1,1) ( NAGARCH ) - это модель со спецификацией: ^{[6] [7]}

${\displaystyle ~\sigma _{t}^{2}=~\omega +~\alpha (~\epsilon _{t-1}-~\theta ~\sigma _{t-1})^{2}+~\beta ~\sigma _{t-1}^{2}}$,

где и , что обеспечивает неотрицательность и стационарность дисперсионного процесса.${\displaystyle ~\alpha \geq 0,~\beta \geq 0,~\omega >0}$${\displaystyle ~\alpha (1+~\theta ^{2})+~\beta <1}$

Для доходности акций параметр обычно считается положительным; в данном случае это отражает явление, обычно называемое «эффектом кредитного плеча», означающее, что отрицательная доходность увеличивает будущую волатильность в большей степени, чем положительная доходность той же величины. ^{[6] [7]}${\displaystyle ~\theta }$

Эту модель не следует путать с моделью NARCH вместе с расширением NGARCH, введенным Хиггинсом и Бера в 1992 г. ^[8]

ИГАРЧ [ править ]

Интегрированная обобщенная авторегрессия с условной гетероскедастичностью (IGARCH) - это ограниченная версия модели GARCH, где постоянные параметры суммируются до единицы и импортируют единичный корень в процесс GARCH. Условием для этого является

${\displaystyle \sum _{i=1}^{p}~\beta _{i}+\sum _{i=1}^{q}~\alpha _{i}=1}$.

EGARCH [ править ]

Экспоненциальная обобщенная авторегрессионная условно-гетероскедастическая модель (EGARCH), разработанная Нельсоном и Као (1991), является еще одной формой модели GARCH. Формально EGARCH (p, q):

${\displaystyle \log \sigma _{t}^{2}=\omega +\sum _{k=1}^{q}\beta _{k}g(Z_{t-k})+\sum _{k=1}^{p}\alpha _{k}\log \sigma _{t-k}^{2}}$

где , это условная дисперсия , , , , и коэффициенты. может быть стандартной нормальной переменной или происходить из обобщенного распределения ошибок . Формулировка позволяет знаку и величине по отдельности влиять на волатильность. Это особенно полезно в контексте ценообразования активов. ^{[9] [10]}${\displaystyle g(Z_{t})=\theta Z_{t}+\lambda (|Z_{t}|-E(|Z_{t}|))}$${\displaystyle \sigma _{t}^{2}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle Z_{t}}$${\displaystyle g(Z_{t})}$${\displaystyle Z_{t}}$

Поскольку значение может быть отрицательным, для параметров нет ограничений по знаку.${\displaystyle \log \sigma _{t}^{2}}$

ГАРЧ-М [ править ]

Модель GARCH-in-mean (GARCH-M) добавляет член гетероскедастичности в уравнение среднего. Имеет спецификацию:

${\displaystyle y_{t}=~\beta x_{t}+~\lambda ~\sigma _{t}+~\epsilon _{t}}$

Остаток определяется как:${\displaystyle ~\epsilon _{t}}$

${\displaystyle ~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}~\times z_{t}}$

QGARCH [ править ]

Модель квадратичного GARCH (QGARCH), разработанная Sentana (1995), используется для моделирования асимметричных эффектов положительных и отрицательных шоков.

В примере модели GARCH (1,1) остаточный процесс имеет вид${\displaystyle ~\sigma _{t}}$

${\displaystyle ~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}}$

где iid и${\displaystyle z_{t}}$

${\displaystyle ~\sigma _{t}^{2}=K+~\alpha ~\epsilon _{t-1}^{2}+~\beta ~\sigma _{t-1}^{2}+~\phi ~\epsilon _{t-1}}$

GJR-GARCH [ править ]

Подобно QGARCH, модель Glosten-Jagannathan-Runkle GARCH (GJR-GARCH), разработанная Glosten, Jagannathan и Runkle (1993), также моделирует асимметрию в процессе ARCH. Предлагается смоделировать, где находится iid, и${\displaystyle ~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}}$${\displaystyle z_{t}}$

${\displaystyle ~\sigma _{t}^{2}=K+~\delta ~\sigma _{t-1}^{2}+~\alpha ~\epsilon _{t-1}^{2}+~\phi ~\epsilon _{t-1}^{2}I_{t-1}}$

где если и если .${\displaystyle I_{t-1}=0}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}\geq 0}$${\displaystyle I_{t-1}=1}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}<0}$

Модель ТГАРЧ [ править ]

Модель Threshold GARCH (TGARCH) Закояна (1994) похожа на модель GJR GARCH. Спецификация основана на условном стандартном отклонении вместо условной дисперсии :

${\displaystyle ~\sigma _{t}=K+~\delta ~\sigma _{t-1}+~\alpha _{1}^{+}~\epsilon _{t-1}^{+}+~\alpha _{1}^{-}~\epsilon _{t-1}^{-}}$

где если и если . Точно так же, если и если .${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}^{+}=~\epsilon _{t-1}}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}>0}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}^{+}=0}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}\leq 0}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}^{-}=~\epsilon _{t-1}}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}\leq 0}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}^{-}=0}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}>0}$

fGARCH [ править ]

Модель Hentschel fGARCH ^[11], также известная как Family GARCH , представляет собой комплексную модель, которая объединяет множество других популярных симметричных и асимметричных моделей GARCH, включая APARCH, GJR, AVGARCH, NGARCH и т. Д.

КОГАРЧ [ править ]

В 2004 году Клаудиа Клюппельберг , Александр Линднер и Росс Маллер предложили непрерывное обобщение дискретного времени GARCH (1,1) -процесса. Идея состоит в том, чтобы начать с уравнений модели GARCH (1,1).

${\displaystyle \epsilon _{t}=\sigma _{t}z_{t},}$

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\beta _{1}\sigma _{t-1}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\sigma _{t-1}^{2}z_{t-1}^{2}+\beta _{1}\sigma _{t-1}^{2},}$

а затем заменить процесс сильного белого шума бесконечно малыми приращениями процесса Леви , а процесс возведения шума в квадрат - приращениями , где${\displaystyle z_{t}}$${\displaystyle \mathrm {d} L_{t}}$ ${\displaystyle (L_{t})_{t\geq 0}}$${\displaystyle z_{t}^{2}}$${\displaystyle \mathrm {d} [L,L]_{t}^{\mathrm {d} }}$

${\displaystyle [L,L]_{t}^{\mathrm {d} }=\sum _{s\in [0,t]}(\Delta L_{t})^{2},\quad t\geq 0,}$

является чисто разрывной частью квадратичной вариации процесса . Результатом является следующая система стохастических дифференциальных уравнений :${\displaystyle L}$

${\displaystyle \mathrm {d} G_{t}=\sigma _{t-}\,\mathrm {d} L_{t},}$

${\displaystyle \mathrm {d} \sigma _{t}^{2}=(\beta -\eta \sigma _{t}^{2})\,\mathrm {d} t+\varphi \sigma _{t-}^{2}\,\mathrm {d} [L,L]_{t}^{\mathrm {d} },}$

где положительные параметры , и определяются величинами , и . Теперь при заданном начальном условии система выше имеет уникальное по пути решение, которое затем называется моделью GARCH ( COGARCH ) с непрерывным временем . ^[12]${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \alpha _{0}}$${\displaystyle \alpha _{1}}$${\displaystyle \beta _{1}}$${\displaystyle (G_{0},\sigma _{0}^{2})}$${\displaystyle (G_{t},\sigma _{t}^{2})_{t\geq 0}}$

ZD-GARCH [ править ]

В отличие от модели GARCH, модель GARCH с нулевым дрейфом (ZD-GARCH) Ли, Чжан, Чжу и Линг (2018) ^[13] позволяет использовать член смещения в модели GARCH первого порядка. Модель ZD-GARCH предназначена для моделирования , где iid, а${\displaystyle ~\omega =0}$${\displaystyle ~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}}$${\displaystyle z_{t}}$

${\displaystyle ~\sigma _{t}^{2}=~\alpha _{1}~\epsilon _{t-1}^{2}+~\beta _{1}~\sigma _{t-1}^{2}.}$

Модель ZD-GARCH не требует , и, следовательно, она включает модель экспоненциально взвешенного скользящего среднего (EWMA) в « RiskMetrics ». Из-за дрейфа модель ZD-GARCH всегда нестационарна, и ее методы статистического вывода сильно отличаются от методов классической модели GARCH. На основе исторических данных параметры и можно оценить обобщенным методом QMLE .${\displaystyle ~\alpha _{1}+~\beta _{1}=1}$${\displaystyle ~\omega =0}$${\displaystyle ~\alpha _{1}}$${\displaystyle ~\beta _{1}}$

Пространственный GARCH [ править ]

Пространственные процессы GARCH, разработанные Отто, Шмидом и Гартоффом (2018) ^[14] , рассматриваются как пространственный эквивалент модели временной обобщенной авторегрессионной условной гетероскедастичности (GARCH). В отличие от временной модели ARCH, в которой распределение известно с учетом полного набора информации для предыдущих периодов, распределение не является прямым в пространственной и пространственно-временной настройке из-за взаимозависимости между соседними пространственными местоположениями. Пространственная модель задается формулами и${\displaystyle ~\epsilon (s_{i})=~\sigma (s_{i})z(s_{i})}$

${\displaystyle ~\sigma (s_{i})^{2}=~\alpha _{i}+\sum _{v=1}^{n}\rho w_{iv}\epsilon (s_{v})^{2},}$

где обозначает -ое пространственное положение и относится к -ому элементу пространственной весовой матрицы, а для . Матрица пространственных весов определяет, какие местоположения считаются смежными.${\displaystyle ~s_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle ~w_{iv}}$${\displaystyle iv}$${\displaystyle w_{ii}=0}$${\displaystyle ~i=1,...,n}$

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Боллерслев, Тим; Рассел, Джеффри; Уотсон, Марк (май 2010 г.). «Глава 8: Словарь ARCH (GARCH)» (PDF) . Эконометрика волатильности и временных рядов: Очерки в честь Роберта Энгла (1-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. С. 137–163. ISBN 9780199549498.
• Эндерс, В. (2004). «Моделирование волатильности». Прикладная эконометрика временных рядов (второе изд.). Джон-Уайли и сыновья. С. 108–155. ISBN 978-0-471-45173-0.
• Энгл, Роберт Ф. (1982). «Авторегрессионная условная гетероскедастичность с оценками дисперсии инфляции Соединенного Королевства». Econometrica . 50 (4): 987–1008. DOI : 10.2307 / 1912773 . JSTOR  1912773 . (статья, которая вызвала всеобщий интерес к моделям ARCH)
• Энгл, Роберт Ф. (1995). АРХИВ: избранные показания . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-877432-7.
• Энгл, Роберт Ф. (2001). «GARCH 101: Использование моделей ARCH / GARCH в прикладной эконометрике» . Журнал экономических перспектив . 15 (4): 157–168. DOI : 10,1257 / jep.15.4.157 . JSTOR  2696523 . (краткое, удобочитаемое введение)
• Гуджарати, DN (2003). Базовая эконометрика . С. 856–862.
• Хакер, RS; Хатеми-Дж. А. (2005). «Тест на многомерные эффекты ARCH» . Письма по прикладной экономике . 12 (7): 411–417. DOI : 10.1080 / 13504850500092129 .
• Нельсон, ДБ (1991). «Условная гетероскедастичность в доходности активов: новый подход». Econometrica . 59 (2): 347–370. DOI : 10.2307 / 2938260 . JSTOR  2938260 .