Гипотеза Ганеи

Гипотеза Ганеи - это утверждение алгебраической топологии , теперь опровергнутое. В нем говорится, что

${\ displaystyle \ operatorname {cat} (X \ times S ^ {n}) = \ operatorname {cat} (X) +1}$

для всех , где есть категория Люстерника-Шнирельмана из топологического пространства X и S ^п является п - мерный шар . ${\ displaystyle n> 0}$${\ displaystyle \ operatorname {кошка} (X)}$

Неравенство

${\ displaystyle \ operatorname {cat} (X \ times Y) \ leq \ operatorname {cat} (X) + \ operatorname {cat} (Y)}$

выполняется для любой пары пространств, и . Кроме того, для любой сферы , . Таким образом, гипотеза сводится к . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ Displaystyle \ OperatorName {кошка} (S ^ {n}) = 1}$${\ Displaystyle S ^ {п}}$${\ displaystyle n> 0}$${\ displaystyle \ operatorname {cat} (X \ times S ^ {n}) \ geq \ operatorname {cat} (X) +1}$

Гипотеза была сформулирована Тюдором Ганеа в 1971 году. Многие частные случаи этой гипотезы были доказаны, пока, наконец, Норио Ивасе не привел контрпример в 1998 году. В следующей статье 2002 года Ивасе привел еще более сильный контрпример, где X замкнутое, гладкое многообразие . Этот контрпример также опроверг родственную гипотезу, утверждая, что

${\ Displaystyle \ OperatorName {кошка} (M \ setminus \ {p \}) = \ OperatorName {cat} (M) -1,}$

для замкнутого многообразия и точки в . ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle M}$

В этой работе возникает вопрос: для каких пространств X выполняется условие Ганеи,, ? Было высказано предположение, что это как раз те пространства X, для которых равен инварианту ^{[ кем? ]}${\ displaystyle \ operatorname {cat} (X \ times S ^ {n}) = \ operatorname {cat} (X) +1}$${\ displaystyle \ operatorname {кошка} (X)}$${\ displaystyle \ operatorname {Qcat} (X).}$

Ссылки [ править ]

• Ганея, Тюдор (1971). «Некоторые вопросы о численных гомотопических инвариантах». Симпозиум по алгебраической топологии (Battelle Seattle Res. Center, Сиэтл, Вашингтон, 1971) . Конспект лекций по математике. 249 . Берлин: Springer. С. 23–30. DOI : 10.1007 / BFb0060892 . Руководство по ремонту  0339147 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Гесс, Кэтрин (1991). «Доказательство гипотезы Ганеи для рациональных пространств» . Топология . 30 (2): 205–214. DOI : 10.1016 / 0040-9383 (91) 90006-P . Руководство по ремонту  1098914 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Ивасе, Норио (1998). "Гипотеза Ганея о категории Люстерника – Шнирельмана". Бюллетень Лондонского математического общества . 30 (6): 623–634. CiteSeerX  10.1.1.509.2343 . DOI : 10.1112 / S0024609398004548 . Руководство по ремонту  1642747 .
• Ивасе, Норио (2002). «A _∞ -метод в категории Люстерника – Шнирельмана». Топология . 41 (4): 695–723. arXiv : math / 0202119 . DOI : 10.1016 / S0040-9383 (00) 00045-8 . Руководство по ремонту  1905835 .
• Вандембрук, Люсиль (2002). «Суспензия Fibrewise и категория Люстерника – Шнирельмана» . Топология . 41 (6): 1239–1258. DOI : 10.1016 / S0040-9383 (02) 00007-1 . Руководство по ремонту  1923222 .