Проблема Борсука в геометрии , по историческим причинам [примечание 1], неправильно названная гипотезой Борсука , является вопросом дискретной геометрии . Он назван в честь Кароля Борсука .
Проблема
В 1932 году Кароль Борсук показал [2], что обычный трехмерный шар в евклидовом пространстве можно легко разрезать на 4 тела, каждое из которых имеет меньший диаметр, чем шар, и, как правило, n- мерный шар может быть покрыт n + 1 компактные наборы диаметром меньше шара. В то же время он доказал, что n подмножеств в общем случае недостаточно. Доказательство основано на теореме Борсука – Улама . Это привело Борсука к общему вопросу:
- Die folgende Frage bleibt offen: Lässt sich jede beschränkte Teilmenge E des Raumes in ( n + 1) Mengen zerlegen, von denen jede einen kleineren Durchmesser als E hat? [2]
Это можно перевести как:
- Остается открытым следующий вопрос: может ли каждое ограниченное подмножество E пространствабыть разбитым на ( n + 1) множеств, каждое из которых имеет меньший диаметр, чем E?
На вопрос был дан положительный ответ в следующих случаях:
- n = 2 - оригинальный результат Кароля Борсука (1932).
- n = 3 - показано Джулианом Перкалом (1947), [3] и независимо, 8 лет спустя, Х. Г. Эгглстоном (1955). [4] Простое доказательство было позже найдено Бранко Грюнбаумом и Аладаром Хеппесом.
- Для всех n для гладких выпуклых тел - показано Хьюго Хадвигером (1946). [5] [6]
- Для всех n для центрально-симметричных тел - показано А.С. Рислингом (1971). [7]
- Для всех п для тел вращения - показал Борис Декстером (1995). [8]
Проблема была окончательно решена в 1993 году Джеффом Каном и Гилом Калаи , которые показали, что общий ответ на вопрос Борсука отрицательный . [9] Они утверждают, что их конструкция показывает, что n + 1 штук недостаточно для n = 1325 и для каждого n > 2014 . Однако, как указал Бернульф Вайсбах [10], первая часть этого утверждения на самом деле ложна. Но после улучшения неоптимального вывода в соответствующем выводе, действительно можно проверить один из построенных наборов точек как контрпример для n = 1325 (а также для всех более высоких измерений до 1560). [11]
Их результат был улучшен в 2003 году Хинрихсом и Рихтером, которые построили конечные множества для n ≥ 298 , которые нельзя разделить на n + 11 частей меньшего диаметра. [1]
В 2013 году Андрей Бондаренко показал, что гипотеза Борсука неверна для всех n ≥ 65 . [12] [13] Вскоре после этого Томас Дженрих вывел 64-мерный контрпример из конструкции Бондаренко, дав наилучшую до сих пор оценку. [14] [15]
Помимо нахождения минимального количества n таких размеров, чтобы количество штук, математики заинтересованы в выяснении общего поведения функции . Кан и Калаи показывают, что в общем случае (т. Е. Для достаточно большого n ) требуетсямного штук. Они также цитируют верхнюю оценку Одеда Шрамма , который показал, что для любого ε , если n достаточно велико,. [16] Правильный порядок величины α ( n ) до сих пор неизвестен. [17] Однако предполагается, что существует постоянная c > 1 такая, чтодля всех n ≥ 1 .
Смотрите также
- Гипотеза Хадвигера о покрытии выпуклых тел уменьшенными копиями самих себя
Примечание
- ^ Как Хинрикс и Рихтер говорят в предисловии к своей работе, [1] «гипотеза Борсука [было] , как полагают многие , чтобы быть правдой в течение нескольких десятилетий» (отсюда обычно называют «гипотеза»)так «он пришел как удивление , когда Кан и Калаи построили конечные множества, доказывающие обратное » . Однако стоит отметить, что Кароль Борсук сформулировал проблему просто как вопрос, не предполагая, что ожидаемый ответ будет положительным.
Рекомендации
- ^ a b Hinrichs, Aicke; Рихтер, Кристиан (28 августа 2003 г.). «Новые наборы с большими числами Борсука» . Дискретная математика . Эльзевир . 270 (1–3): 137–147. DOI : 10.1016 / S0012-365X (02) 00833-6 .
- ^ а б Борсук Кароль (1933), "Drei Sätze über умереть н-dimensionale euklidische Sphäre" (PDF) , Fundamenta Mathematicae (на немецком языке ), 20 : 177-190, DOI : 10.4064 / Fm-20-1-177-190
- ^ Перкаль, Джулиан (1947), "Sur la subdivision des ensembles en members de diamètre inférieur", Colloquium Mathematicum , 2 : 45
- ^ Eggleston, HG (1955), "Покрытие трехмерного набора с наборами меньшего диаметра", журнал Лондонского математического общества , 30 : 11-24, DOI : 10,1112 / jlms / s1-30.1.11 , MR 0067473
- ^ Хадвигер, Хьюго (1945), "Überdeckung einer Menge durch Mengen kleineren Durchmessers", Commentarii Mathematici Helvetici , 18 (1): 73–75, doi : 10.1007 / BF02568103 , MR 0013901
- ^ Хадвигер, Хьюго (1946), "Mitteilung betreffend meine Note: Überdeckung einer Menge durch Mengen kleineren Durchmessers", Commentarii Mathematici Helvetici , 19 (1): 72–73, doi : 10.1007 / BF02565947 , MR 0017515
- ^ Рислинг, А.С. (1971), "Проблема Борсука в трехмерных пространствах постоянной кривизны" (PDF) , Укр. Геом. Сборник , Харьковский государственный университет (ныне Харьковский национальный университет ), 11 : 78–83.
- ^ Декстер, Б. (1995), "Гипотеза Борсук имеет место для тел вращения", Journal геометрии , 52 (1-2): 64-73, DOI : 10.1007 / BF01406827 , МР 1317256
- ^ Кан, Джефф ; Калаи, Гил (1993), «Контрпример к гипотезе Борсука», Бюллетень Американского математического общества , 29 (1): 60–62, arXiv : math / 9307229 , doi : 10.1090 / S0273-0979-1993-00398-7 , Руководство по ремонту 1193538
- ^ Weißbach, Bernulf (2000), «Множества с большим числом Борсука» (PDF) , Beiträge zur Algebra und Geometrie , 41 (2): 417–423
- ^ Дженрих, Томас (2018), О контрпримерах к гипотезе Борсука Кан и Калаи , arXiv : 1809.09612v4
- ^ Бондаренко, Андрей В. (2013), О гипотезе Борсука для двумерных множеств , arXiv : 1305.2584 , Bibcode : 2013arXiv1305.2584B
- ^ Бондаренко, Андрей (2014), "О гипотезе Борсука для двух расстояний множеств", дискретной и вычислительной геометрии , 51 (3): 509-515, DOI : 10.1007 / s00454-014-9579-4 , МР 3201240
- ^ Дженрих, Томас (2013), 64-мерный двумерный контрпример к гипотезе Борсука , arXiv : 1308.0206 , Bibcode : 2013arXiv1308.0206J
- ^ Дженрих, Томас; Брауэр, Андрис Э. (2014), «64-мерный контрпример к гипотезе Борсука», Электронный журнал комбинаторики , 21 (4): # P4.29, MR 3292266
- ^ Шрамм, Одед (1988), "Осветительные наборы постоянной ширины", Mathematika , 35 (2): 180-189, DOI : 10,1112 / S0025579300015175 , МР 0986627
- ^ Алон, Нога (2002), «Дискретная математика: методы и задачи», Труды Международного конгресса математиков, Пекин , 1 : 119–135, arXiv : math / 0212390 , Bibcode : 2002math ..... 12390A
дальнейшее чтение
- Олег Пихурко, Алгебраические методы в комбинаторике , конспекты курса.
- Андрей М. Райгородский, Проблема разбиения Борсука: к семидесятилетию, Mathematical Intelligencer 26 (2004), вып. 3, 4–12.
- Райгородский, Андрей М. (2008). «Три лекции по проблеме разбиения Борсука». В Янге Николай; Чой, Йемон (ред.). Обзоры по современной математике . Серия лекций Лондонского математического общества. 347 . Издательство Кембриджского университета . С. 202–247. ISBN 978-0-521-70564-6. Zbl 1144.52005 .
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. "Гипотеза Борсука" . MathWorld .