Обобщенный индекс энтропии

Неравенство в ЮАР: обобщенная мера энтропии

Обобщенная энтропия индекс был предложен в качестве меры неравенства доходов среди населения. ^[1] Он получен из теории информации как мера избыточности данных. В теории информации показатель избыточности можно интерпретировать как неслучайность или сжатие данных ; таким образом, эта интерпретация также применима к этому индексу. В дополнительной интерпретации индекса как биоразнообразия, так и энтропии также было предложено измерение разнообразия. ^[2]

Формула [ править ]

Формула общей энтропии для реальных значений :${\ displaystyle \ alpha}$

${\displaystyle GE(\alpha )={\begin{cases}{\frac {1}{N\alpha (\alpha -1)}}\sum _{i=1}^{N}\left[\left({\frac {y_{i}}{\overline {y}}}\right)^{\alpha }-1\right],&\alpha \neq 0,1,\\{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\overline {y}}}\ln {\frac {y_{i}}{\overline {y}}},&\alpha =1,\\-{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln {\frac {y_{i}}{\overline {y}}},&\alpha =0.\end{cases}}}$

где N - количество случаев (например, домохозяйств или семей), - доход для случая i и является параметром, который регулирует вес, придаваемый расстоянию между доходами в различных частях распределения доходов. Для крупных индекс особенно чувствителен к существованию больших доходов, тогда как для малых индекс особенно чувствителен к существованию малых доходов. ${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$

Индекс Аткинсона для любого параметра неравенства несклонности может быть получен из обобщенной энтропии индекса в соответствии с тем ограничением , что - т.е. индекс Аткинсона с высоким неравенством неприятием является производным от индекса GE с малыми . Более того, это единственный класс мер неравенства, который является монотонным преобразованием индекса Аткинсона и является аддитивно разложимым. Многие популярные индексы, в том числе индекс Джини , не удовлетворяют аддитивной разложимости. ^[1]${\displaystyle \epsilon =1-\alpha }$${\displaystyle \alpha }$

Формула для получения индекса Аткинсона с параметром неприятия неравенства при ограничении имеет вид:${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon =1-\alpha }$

${\displaystyle A=[\epsilon (\epsilon -1)GE]^{(1/(1-\epsilon ))}\qquad \epsilon \neq 1}$

${\displaystyle A=1-e^{-GE}\qquad \epsilon =1}$

Обратите внимание, что обобщенный индекс энтропии имеет несколько показателей неравенства доходов в качестве частных случаев. Например, GE (0) - это среднее логарифмическое отклонение , GE (1) - это индекс Тейла , а GE (2) - половина квадрата коэффициента вариации .

См. Также [ править ]

• Индекс Аткинсона
• Коэффициент Джини
• Индекс Гувера (он же индекс Робин Гуда)
• Показатели неравенства доходов
• Кривая Лоренца
• Энтропия Реньи
• Индекс костюмов
• Индекс Тейла

Ссылки [ править ]