Изоморфизм сатаке

В математике изоморфизм Сатаки , введенный Ичиро Сатака  ( 1963 ), определяет алгебру Гекке из в восстановительной группе над локальным полем с кольцом инвариантов группы Вейля . Геометрическая Satake эквивалентность является геометрической версией изоморфизма Сатаки, доказанного Иван Mirković и Kari Vilonen  ( 2007 ).

Заявление [ править ]

Классический изоморфизм Сатаке Позвольте быть полупростой алгебраической группой , быть неархимедовым локальным полем и быть его кольцом целых чисел. Легко видеть, что это гусманина . Для простоты, мы можем думать , что и , простое число; в этом случае - бесконечномерное алгебраическое многообразие ( Гинзбург, 2000 ). Один обозначает категорию всех сферических функций с компактным носителем, биинвариантных под действием as , поля комплексных чисел, которое является алгеброй Гекке и может также рассматриваться как${\ displaystyle G}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle O}$${\ Displaystyle Gr = G (K) / G (O)}$${\ Displaystyle К = \ mathbb {Z} / п \ mathbb {Z} ((х))}$${\ Displaystyle О = \ mathbb {Z} / п \ mathbb {Z} [[x]]}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle Gr}$${\ Displaystyle G (K)}$${\ Displaystyle G (O)}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} _ {c} [G (O) \ обратная косая черта G (K) / G (O)]}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$групповая схема окончена . Пусть максимальный тор , быть группа Вейля из . можно связать разнообразие кохарактеров с . Пусть множество всех кохарактеров , то есть . Разнообразие кохарактеров - это, по сути, групповая схема, созданная добавлением элементов в качестве переменных к , т . Е. Существует естественное действие на многообразие кохарактеров , индуцированное естественным действием на . Тогда изоморфизм Сатаке - это изоморфизм алгебр категории сферических функций в категорию сферических функций.${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle Т (\ mathbb {C})}$${\ Displaystyle G (\ mathbb {C})}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle \ mathbb {X} _ {*} (Т (\ mathbb {C}))}$${\ Displaystyle Т (\ mathbb {C})}$${\ Displaystyle Х _ {*} (Т (\ mathbb {C}))}$${\ Displaystyle Т (\ mathbb {C})}$${\ Displaystyle X _ {*} (T (\ mathbb {C})) = Hom (\ mathbb {C} ^ {*}, T (\ mathbb {C}))}$${\ Displaystyle \ mathbb {X} _ {*} (Т (\ mathbb {C}))}$${\ Displaystyle Х _ {*} (Т (\ mathbb {C}))}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\displaystyle \mathbb {X} _{*}(T(\mathbb {C} ))=\mathbb {C} [X_{*}(T(\mathbb {C} ))]}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \mathbb {X} _{*}(T(\mathbb {C} ))}$${\displaystyle W}$${\displaystyle T}$${\displaystyle W}$-инвариантная часть вышеупомянутого разнообразия сохарактеров. В формулах:

Геометрический изоморфизм Сатаке . Как сказал Гинзбург ( Ginzburg 2000 ), «геометрический» означает теоретико-пучковый. Для того , чтобы получить геометрическую версию Сатаки изоморфизма, необходимо изменить левую часть изоморфизма, используя Гротендик группу категории извращенных пучков на заменить категорию сферических функций ; замена де-факто является изоморфизмом алгебры над ( Гинзбург, 2000 ). Также необходимо заменить правую часть изоморфизма группой Гротендика конечномерных комплексных представлений двойственного по Ленглендсу к ; замена также является изоморфизмом алгебр над (${\displaystyle Gr}$${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {}^{L}G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {C} }$Гинзбург 2000 ). Обозначим через категорию извращенного пучка на . Тогда геометрический изоморфизм Сатаке равен${\displaystyle Perv(Gr)}$${\displaystyle Gr}$

где in означает группу Гротендика . Очевидно, это можно упростить до${\displaystyle K}$${\displaystyle K(Rep({}^{L}G))}$

что a fortiori является эквивалентностью таннакианских категорий ( Гинзбург, 2000 ).

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Гросс, Бенедикт Х. (1998), «Об изоморфизме Сатаке», представления Галуа в арифметической алгебраической геометрии (Дарем, 1996) , London Math. Soc. Сер. Лекции, 254 , Cambridge University Press , стр. 223–237, DOI : 10.1017 / CBO9780511662010.006 , ISBN 9780521644198, Руководство по ремонту  1696481
• Миркович, Иван; Вилонен, Кари (2007), «Геометрическая двойственность Ленглендса и представления алгебраических групп над коммутативными кольцами», Annals of Mathematics , Second Series, 166 (1): 95–143, arXiv : math / 0401222 , doi : 10.4007 / annals.2007.166 0,95 , ISSN  0003-486X , Руководство по эксплуатации  2342692 , S2CID  14127684
• Сатака, Ичиро (1963), "Теория сферических функций на редуктивных алгебраических группы над ьадическими полей" , Публикации Mathématiques де l'IHES , 18 (18): 5-69, DOI : 10.1007 / BF02684781 , ISSN  1618-1913 , Руководство по ремонту  0195863 , S2CID  4666554
• Гинзбург, Виктор (2000). «Извращенные пучки на группе петель и двойственность Ленглендса». arXiv : alg-geom / 9511007 .