Таннакианский формализм

В математике , Tannakian категория представляет собой особый вид моноидальной категории C , оснащенный некоторые дополнительную структуру по отношению к данным полям K . Роль таких категорий C является приближенной, в некотором смысле, категория линейных представлений о качестве алгебраической группы G , определенной над K . Было сделано или могло быть сделано несколько основных приложений теории в погоне за некоторыми из центральных гипотез современной алгебраической геометрии и теории чисел .

Название взято из двойственности Тадао Таннаки и Таннаки – Крейна , теории компактных групп G и их теории представлений. Теория впервые была разработана в школе Александра Гротендика . Позже он был пересмотрен Пьером Делинем , и были сделаны некоторые упрощения. Образец теории - это теория Галуа Гротендика , которая представляет собой теорию конечных перестановочных представлений групп G, которые являются проконечными группами .

Суть теории, которая довольно подробно изложена в изложении Сааведры Ривано, состоит в том, что слойный функтор Φ теории Галуа заменяется тензорным функтором T из C в K-Vect . Группа естественных преобразований Ф к себе, которое оказывается проконечная группа в теории Галуа, заменяется группой ( априори лишь моноид ) из естественных преобразований из Т в себя, которые уважают тензор структуру. Это по своей природе не алгебраическая группа, а обратный предел алгебраических групп ( проалгебраическая группа ).

Формальное определение [ править ]

Нейтральная Tannakian категория является жесткой абелева Тензор категории , такие , что существует Д.К. -тензорное функтор в категории конечномерных K-векторных пространств , что является точным и верным . ^[1]

Приложения [ править ]

Конструкция используется в случаях, когда структура Ходжа или l-адическое представление рассматривается в свете теории представлений групп. Например, группа Мамфорда – Тейта и мотивационная группа Галуа потенциально могут быть восстановлены из одной группы когомологий или модуля Галуа с помощью порождаемой им опосредующей таннакианской категории.

Эти области применения тесно связаны с теорией мотивов . Другое место, где использовались таннакианские категории, связано с гипотезой Гротендика – Каца о p-кривизне ; другими словами, в ограничивающих группах монодромии .

Эквивалентности Геометрической Сатаке устанавливает эквивалентность между представлениями Ленглендса двойной группой из восстановительной группы G и некоторых эквивариантная извращенных пучков на аффинной грассманиане , связанную с G . Эта эквивалентность дает некомбинаторную конструкцию двойственной группы Ленглендса. Доказывается, показывая, что упомянутая категория извращенных пучков является категорией Таннаки, и отождествляя ее двойственную группу Таннака с .${\ displaystyle {} ^ {L} G}$ ${\ displaystyle {} ^ {L} G}$

Расширения [ править ]

Ведхорн (2004) установил, что частичная двойственность Таннаки приводит к ситуации, когда категория является R -линейной, где R больше не является полем (как в классической двойственности Таннака), а является определенными оценочными кольцами . Duong & Hai (2017) показали результат двойственности Таннаки, если R - кольцо Дедекинда .

Иванари (2014) инициировал изучение двойственности Таннаки в контексте категорий бесконечности .

Ссылки [ править ]

• Делинь, Пьер (2007) [1990], «Catégories tannakiennes» , Grothendieck Festschrift , II , Birkhauser, стр. 111–195, ISBN 9780817645755
• Делинь, Пьер ; Милн, Джеймс (1982), «Таннакианские категории» , у Делиня, Пьера; Милн, Джеймс; Огус, Артур; Ши, Куанг-янь (ред.), Циклы Ходжа, мотивы и разновидности симура, конспекты лекций по математике, 900 , Springer, стр. 101–228, ISBN 978-3-540-38955-2
• Дуонг, Нгуен Дай; Хай, Фанг Хо (2017), Таннакианская двойственность над дедекиндовыми кольцами и приложениями , arXiv : 1311.1134v3
• Иванари, Исаму (2014), двойственность Таннаки и стабильные бесконечные категории , arXiv : 1409.3321 , doi : 10.1112 / topo.12057
• Сааведра Ривано, Neantro (1972), Catégories Tannakiennes , Lecture Notes по математике, 265 , Springer, ISBN 978-3-540-37477-0, Руководство по ремонту  0338002
• Wedhorn, Торстен (2004), "О Tannakian двойственности над кольцами нормирования", журнал алгебры , 282 (2): 575-609, DOI : 10.1016 / j.jalgebra.2004.07.024 , МР  2101076

Дальнейшее чтение [ править ]

• М. Ларсен и Р. Пинк. Определение представлений по неизменным размерам. Изобретать. математика, 102: 377–389, 1990.