В математике модуль Галуа — это G -модуль , где G — группа Галуа некоторого расширения полей . Термин «представление Галуа» часто используется, когда G -модуль является векторным пространством над полем или свободным модулем над кольцом в теории представлений , но также может использоваться как синоним G -модуля. Изучение модулей Галуа для расширений локальных или глобальных полей и их групповых когомологий — важный инструмент теории чисел .
Пусть K — значенное поле (нормирование обозначается v ) , и пусть L / K — конечное расширение Галуа с группой Галуа G. Для расширения w от v до L пусть Iw обозначает его группу инерции . Модуль Галуа ρ : G → Aut( V ) называется неразветвленным, если ρ( I w ) = {1}.
В классической теории алгебраических чисел пусть L — расширение Галуа поля K , и пусть G — соответствующая группа Галуа. Тогда кольцо O L целых алгебраических чисел L можно рассматривать как OK [ G ]-модуль и можно задаться вопросом, какова его структура . Это арифметический вопрос, поскольку по теореме о нормальном базисе известно, что L является свободным K [ G ]-модулем ранга 1. Если то же самое верно для целых чисел, это эквивалентно существованию нормального целочисленного базиса. , т . е. такого α в OL , что его сопряженные элементы относительно G дают свободный базис для OL над OK . Это интересный вопрос даже (возможно, особенно), когда K— поле рациональных чисел Q.
Например, если L = Q ( √ −3 ), существует ли нормальный целочисленный базис? Ответ — да, как можно увидеть, отождествив его с Q ( ζ ), где
Фактически, все подполя круговых полей для корней p -й степени из единицы для p простого числа имеют нормальные целые базы (над Z ), как можно вывести из теории гауссовских периодов ( теорема Гильберта – Спейзера ). С другой стороны, гауссово поле этого не делает. Это пример необходимого условия , найденного Эмми Нётер ( возможно, известного ранее? ). Здесь важно ручное разветвление . С точки зрения дискриминанта D числа L и принимая по-прежнему K = Q , никакое простое число p не должно делить D в степени p . Тогда теорема Нётер утверждает, что ручное ветвление необходимо и достаточно для того, чтобы OL был проективным модулем над Z [ G ]. Поэтому, безусловно, необходимо, чтобы это был бесплатный модуль. Это оставляет вопрос о разрыве между свободным и проективным, для которого сейчас создана большая теория.
Классический результат, основанный на результате Дэвида Гильберта , состоит в том, что правильно разветвленное абелево числовое поле имеет нормальный целочисленный базис. В этом можно убедиться, используя теорему Кронекера-Вебера для встраивания абелева поля в круговое поле. [1]