В алгебре , дано кольцо R , то категория левых модулей над R является категория , чьи объекты являются все левые модули над R и чьи морфизмы все модули гомоморфизма между левым R - модулей. Например, когда R - кольцо целых чисел Z , это то же самое, что и категория абелевых групп . Категория правых модулей определяются аналогичным образом.
Примечание: некоторые авторы используют термин категория модулей для категории модулей. Этот термин может быть неоднозначным, поскольку он также может относиться к категории с действием моноидальной категории . [1]
Свойства [ править ]
Категории левого и правого модулей являются абелевыми категориями . В этих категориях достаточно проективных [2] и достаточно инъективных . [3] Теорема вложения Митчелла утверждает, что каждая абелева категория возникает как полная подкатегория категории модулей.
Проективные пределы и индуктивные пределы существуют в категориях левых и правых модулей. [4]
Над коммутативным кольцом вместе с тензорным произведением модулей категория модулей является симметричной моноидальной категорией .
Категория векторных пространств [ править ]
Категории K - Vect (некоторые авторы используют Vect K ) имеет все векторные пространства над в поле K , как объекты, и K -линейных карт в качестве морфизмов. Поскольку векторные пространства над K (как поле) - это то же самое, что и модули над кольцом K , K - Vect является частным случаем R - Mod , категории левых R -модулей.
Большая часть линейной алгебры касается описания K - Vect . Например, теорема размерности векторных пространств говорит о том , что классы изоморфизма в K - Vect точно соответствует числительным , а K - Vect является эквивалентом к подкатегории из K - Vect , который имеет в качестве своих объектов векторных пространств К п , где n - любое кардинальное число.
Обобщения [ править ]
Категория пучков модулей над окольцованным пространством также имеет достаточно инъективных (хотя и не всегда достаточно проективных).
См. Также [ править ]
- Алгебраическая K-теория (важный инвариант категории модулей.)
- Категория колец
- Производная категория
- Спектр модуля
- Категория градуированных векторных пространств
- Категория абелевых групп
- Категория представительств
Ссылки [ править ]
- ^ "Категория модуля в nLab" . ncatlab.org .
- ^ тривиально, поскольку любой модуль является фактором свободного модуля.
- ^ Даммит-Фут , гл. 10, теорема 38.
- ↑ Бурбаки , § 6.
- Бурбаки, Альжебр ; "Algèbre linéaire".
- Даммит, Дэвид; Фут, Ричард. Абстрактная алгебра .
- Мак-Лейн, Сондерс (сентябрь 1998 г.). Категории для рабочего математика . Тексты для выпускников по математике . 5 (второе изд.). Springer. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
Внешние ссылки [ править ]
- http://ncatlab.org/nlab/show/Mod
