Стандартное геометрическое отклонение

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Стандартное геометрическое отклонение»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( май 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это шаблонное сообщение )

В теории вероятностей и статистике , то геометрическое стандартное отклонение ( GSD ) описывает , как распространение из представляют собой набор чисел, предпочтительные средним является средней геометрическим . Для таких данных может быть предпочтительнее более обычное стандартное отклонение . Обратите внимание, что в отличие от обычного арифметического стандартного отклонения, геометрическое стандартное отклонение является мультипликативным коэффициентом и, следовательно, безразмерным , а не имеет тот же размер, что и входные значения. Таким образом, геометрическое стандартное отклонение более уместно называть геометрическим SD-фактором . ^[1][2] При использовании геометрического SD-фактора в сочетании со средним геометрическим его следует описывать как «диапазон от (среднего геометрического, деленного на геометрический SD-фактор) до (среднего геометрического, умноженного на геометрический SD-фактор), и нельзя прибавить / вычесть «геометрический SD-фактор» к / из среднего геометрического. ^[3]

Определение [ править ]

Если среднее геометрическое набора чисел { A ₁ , A ₂ , ..., A _n } обозначено как μ _g , то стандартное геометрическое отклонение равно

${\ displaystyle \ sigma _ {g} = \ exp \ left ({\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left (\ ln {A_ {i} \ over \ mu _ {g}}) \ right) ^ {2} \ over n}} \ right). \ qquad \ qquad (1)}$

Вывод [ править ]

Если среднее геометрическое

${\ displaystyle \ mu _ {g} = {\ sqrt [{n}] {A_ {1} A_ {2} \ cdots A_ {n}}}. \,}$

то взятие натурального логарифма обеих сторон приводит к

${\ displaystyle \ ln \ mu _ {g} = {1 \ over n} \ ln (A_ {1} A_ {2} \ cdots A_ {n}).}$

Логарифм продукта - это сумма логарифмов (при условии, что все положительно ), поэтому${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle \ln \mu _{g}={1 \over n}[\ln A_{1}+\ln A_{2}+\cdots +\ln A_{n}].\,}$

Теперь можно увидеть, что это среднее арифметическое для набора , поэтому арифметическое стандартное отклонение для этого же набора должно быть${\displaystyle \ln \,\mu _{g}}$${\displaystyle \{\ln A_{1},\ln A_{2},\dots ,\ln A_{n}\}}$

${\displaystyle \ln \sigma _{g}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(\ln A_{i}-\ln \mu _{g})^{2} \over n}}.}$

Это упрощает

${\displaystyle \sigma _{g}=\exp {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\left(\ln {A_{i} \over \mu _{g}}\right)^{2} \over n}}.}$

Стандартная геометрическая оценка [ править ]

Геометрическая версия стандартного балла является

${\displaystyle z={{\ln(x)-\ln(\mu _{g})} \over \ln \sigma _{g}}={\log _{\sigma _{g}}(x/\mu _{g})}.\,}$

Если известны среднее геометрическое, стандартное отклонение и z-оценка базы данных, тогда исходную оценку можно восстановить с помощью

${\displaystyle x=\mu _{g}{\sigma _{g}}^{z}.}$

Связь с нормальным логарифмическим распределением [ править ]

Стандартное геометрическое отклонение используется как мера логнормальной дисперсии аналогично среднему геометрическому. ^[3] Поскольку логарифмическое преобразование логарифмически-нормального распределения приводит к нормальному распределению, мы видим, что геометрическое стандартное отклонение является экспоненциальным значением стандартного отклонения логарифмически преобразованных значений, т . Е.${\displaystyle \sigma _{g}=\exp(\operatorname {stdev} (\ln(A)))}$

Таким образом, среднее геометрическое и геометрическое стандартное отклонение выборки данных из нормально распределенной генеральной совокупности могут использоваться для определения границ доверительных интервалов аналогично тому, как среднее арифметическое и стандартное отклонение используются для ограничения доверительных интервалов для нормальное распределение. См. Подробности в обсуждении нормального логарифмического распределения .

Ссылки [ править ]

См. Также [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Сайт неньютоновского исчисления