В математике и теоретической физике , алгебра Герстенхабера (иногда называемая антискобки алгебре или оплетка алгебра ) является алгебраической структурой обнаружен Мюрреем Герстенхабером (1963) , который сочетает в себе структуры суперкоммутативного кольца и градуированная супералгебра Ли . Он используется в формализме Баталина – Вилковиского . Он также появляется в обобщении гамильтонова формализма, известном как теория Де Дондера – Вейля, как алгебра обобщенных скобок Пуассона, определенных на дифференциальных формах.
Определение
Герстенхабер алгебра является градуированной коммутативной алгеброй с скобкой Ли степени -1 , удовлетворяющим тождество Пуассона . Понятно, что все удовлетворяет обычным правилам знаков супералгебры . Точнее, алгебра имеет два произведения, одно записано как обычное умножение, другое записано как [,], и Z- градуировка, называемая степенью (в теоретической физике, иногда называемой призрачным числом ). Степень элемента а обозначается | а |, Они удовлетворяют тождествам
- | ab | = | а | + | б | (Продукт имеет степень 0)
- | [ a , b ] | = | а | + | б | - 1 (скобка Ли имеет степень -1)
- ( ab ) c = a ( bc ) (Произведение ассоциативно)
- ab = (−1) | а || б | ba (Произведение (супер) коммутативно)
- [ a , bc ] = [ a , b ] c + (−1) (| a | -1) | б | b [ a , c ] (тождество Пуассона)
- [ a , b ] = - (- 1) (| a | -1) (| b | -1) [ b , a ] (Антисимметрия скобки Ли)
- [ a , [ b , c ]] = [[ a , b ], c ] + (−1) (| a | -1) (| b | -1) [ b , [ a , c ]] (Якоби тождество для скобки Ли)
Алгебры Герстенхабера отличаются от супералгебр Пуассона тем, что скобка Ли имеет степень -1, а не степень 0. Тождество Якоби также может быть выражено в симметричной форме
Примеры
- Герстенхабер показал, что когомологии Хохшильда H * ( A , A ) алгебры A являются алгеброй Герстенхабера.
- Баталин-Вилковыская алгебра имеет лежащий в основе Герстенхабера алгебру , если человек забывает свой оператор второго порядка Д.
- Внешняя алгебра из алгебры Ли является алгеброй Герстенхабера.
- Дифференциальные формы на пуассоновом многообразии образуют алгебру Герстенхабера.
- Мультивекторные поля на многообразии образуют алгебру Герстенхабера с использованием скобки Схоутена – Нийенхейса
Рекомендации
- Герстенхабер, Мюррей (1963). «Структура когомологий ассоциативного кольца». Анналы математики . 78 (2): 267–288. DOI : 10.2307 / 1970343 . JSTOR 1970343 .
- Гетцлер, Эзра (1994). «Алгебры Баталина-Вилковиского и двумерные топологические теории поля». Сообщения по математической физике . 159 (2): 265–285. arXiv : hep-th / 9212043 . Bibcode : 1994CMaPh.159..265G . DOI : 10.1007 / BF02102639 .
- Kosmann-Schwarzbach, Yvette (2001) [1994], "Алгебра Пуассона" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Канатчиков, Игорь В. (1997). «О теоретико-полевых обобщениях алгебры Пуассона». Доклады по математической физике . 40 (2): 225–234. arXiv : hep-th / 9710069 . Bibcode : 1997RpMP ... 40..225K . DOI : 10.1016 / S0034-4877 (97) 85919-8 .