Градуированная алгебра Ли

В математике , градуированная алгебра Ли является алгеброй Ли , наделенной градацией , которая совместима с скобкой Ли . Другими словами, градуированная алгебра Ли - это алгебра Ли, которая также является неассоциативной градуированной алгеброй относительно операции скобок. Выбор разложения Картана наделяет любую полупростую алгебру Ли структурой градуированной алгебры Ли. Любая параболическая алгебра Ли также является градуированной алгеброй Ли.

Градуированная супералгебра ^[1] расширяет понятие градуированной алгебры Ли таким образом , что скобка Ли больше не предполагаются обязательно антикоммутативными . Они возникают при изучении дифференцирований на градуированные алгебры в теории деформации в Мюррей Герстенхабером , Кунихико Кодаирой и Дональд С. Спенсер , и в теории производных Ли .

Supergraded супералгебра ^[2] является дальнейшим обобщением этого понятия к категории супералгебр , в которых градуированная супералгебра наделенная дополнительным супер -gradation. Они возникают, когда кто-то формирует градуированную супералгебру Ли в классическом (несуперсимметричном) контексте, а затем выполняет тензор, чтобы получить суперсимметричный аналог. ^[3]${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$

Еще большие обобщения возможны для алгебр Ли над классом сплетенных моноидальных категорий, снабженных копроизведением и некоторым понятием градации, совместимым со сплетением в категории. Подсказки в этом направлении см. В разделе Супералгебра Ли # теоретико-категориальное определение .

Градуированные алгебры Ли [ править ]

В своей основной форме градуированная алгебра Ли - это обычная алгебра Ли вместе с градуировкой векторных пространств.${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ bigoplus _ {я \ in {\ mathbb {Z}}} {\ mathfrak {g}} _ {i},}$

таким образом, что скобка Ли учитывает эту градацию:

${\displaystyle [{\mathfrak {g}}_{i},{\mathfrak {g}}_{j}]\subseteq {\mathfrak {g}}_{i+j}.}$

Универсальная обертывающие градуированной алгебры Ли наследует градуировку.

Примеры [ править ]

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)}$[ редактировать ]

Например, алгебра Ли из следовых свободных 2 × 2 матриц градуирована генераторами:${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)}$

${\displaystyle X=\left({\begin{matrix}0&1\\0&0\end{matrix}}\right),\quad Y=\left({\begin{matrix}0&0\\1&0\end{matrix}}\right),\quad {\textrm {and}}\quad H=\left({\begin{matrix}1&0\\0&-1\end{matrix}}\right).}$

Они удовлетворяют соотношения , и . Следовательно, с , и , разложение представляет собой градуированную алгебру Ли.${\displaystyle [X,Y]=H}$${\displaystyle [H,X]=2X}$${\displaystyle [H,Y]=-2Y}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-1}={\textrm {span}}(X)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\textrm {span}}(H)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}={\textrm {span}}(Y)}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)={\mathfrak {g}}_{-1}\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)}$

Свободная алгебра Ли [ править ]

Свободная алгебра Ли на множестве X , естественно , имеет градуировку, задаваемую минимальным количеством терминов , необходимых для создания элемента группы. Это происходит, например , в качестве ассоциированной градуированной алгебры Ли к нижней центральной серии из более свободной группы .

Обобщения [ править ]

Если - любой коммутативный моноид , то понятие -градуированной алгебры Ли обобщает понятие обычной ( -) градуированной алгебры Ли, так что определяющие соотношения выполняются с заменой целых чисел на . В частности, любая полупростая алгебра Ли градуируется корневыми пространствами ее присоединенного представления .${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \Gamma }$

Градуированные супералгебры Ли [ править ]

Градуированная супералгебра Ли над полем к (не характерно 2) состоит из градуированных векторного пространства Е над к , наряду с билинейным кронштейном операцией

${\displaystyle [-,-]:E\otimes _{k}E\rightarrow E}$

такие, что выполняются следующие аксиомы.

• [-, -] уважает градацию E :

${\displaystyle [E_{i},E_{j}]\subseteq E_{i+j}}$.

• ( Симметрия ) Если x ∈ E _i и y ∈ E _j , то

${\displaystyle [x,y]=-(-1)^{ij}\,[y,x]}$

• ( Тождество Якоби ) Если x ∈ E _i , y ∈ E _j и z ∈ E _k , то

${\displaystyle (-1)^{ik}[x,[y,z]]+(-1)^{ij}[y,[z,x]]+(-1)^{jk}[z,[x,y]]=0}$.

(Если k имеет характеристику 3, то тождество Якоби необходимо дополнить условием для всех x из E _{нечетными} .)${\displaystyle [x,[x,x]]=0}$

Отметим, например, что когда E несет тривиальную градуировку, градуированная супералгебра Ли над k является просто обычной алгеброй Ли. Когда градация E сосредоточена в четных степенях, восстанавливается определение ( Z -) градуированной алгебры Ли.

Примеры и приложения [ править ]

Самый простой пример градуированной супералгебры Ли встречается при изучении дифференцирований градуированных алгебр. Если A - градуированная k -алгебра с градуировкой

${\displaystyle A=\bigoplus _{i\in {\mathbb {Z} }}A_{i}}$,

то градуированное k -дифференцирование d на A степени l определяется равенством

1. ${\displaystyle dx=0}$для ,${\displaystyle x\in k}$
2. ${\displaystyle d\colon A_{i}\to A_{i+l}}$, а также
3. ${\displaystyle d(xy)=(dx)y+(-1)^{il}x(dy)}$для .${\displaystyle x\in A_{i}}$

Пространство всех градуированных дифференцирований степени l обозначается через , а прямая сумма этих пространств${\displaystyle \operatorname {Der} _{l}(A)}$

${\displaystyle \operatorname {Der} (A)=\bigoplus _{l}\operatorname {Der} _{l}(A)}$,

несет структуру A -модуля. Это обобщает понятие вывода коммутативных алгебр на градуированную категорию.

На Der ( A ) скобку можно определить с помощью:

[ d , δ ] = dδ - (−1) ^ij δd для d ∈ Der _i ( A ) и δ ∈ Der _j ( A ).

Обладая такой структурой, Der ( A ) наследует структуру градуированной супералгебры Ли над k .

Дополнительные примеры:

• Кронштейн Фрёлихер-Нейенхейс является примером градуированной алгебры Ли , возникающей естественным образом при изучении соединений в дифференциальной геометрии .
• Кронштейн Nijenhuis-Ричардсон возникает в связи с деформациями алгебр Ли.

Обобщения [ править ]

Понятие градуированной супералгебры Ли можно обобщить так, что их градуировка не ограничивается целыми числами. В частности, знаковое полукольцо состоит из пары , где - полукольцо и является гомоморфизмом аддитивных групп. Тогда градуированная супалгебра Ли над знаковым полукольцом состоит из векторного пространства E, градуированного относительно аддитивной структуры на , и билинейной скобки [-, -], которая уважает градуировку на E и, кроме того, удовлетворяет:${\displaystyle (\Gamma ,\epsilon )}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \epsilon \colon \Gamma \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \Gamma }$

1. ${\displaystyle [x,y]=-(-1)^{\epsilon (\deg x)\epsilon (\deg y)}[y,x]}$для всех однородных элементов x и y , и
2. ${\displaystyle (-1)^{\epsilon (\deg x)\epsilon (\deg z)}[x,[y,z]]+(-1)^{\epsilon (\deg y)\epsilon (\deg x)}[y,[z,x]]+(-1)^{\epsilon (\deg z)\epsilon (\deg y)}[z,[x,y]]=0.}$

Дополнительные примеры:

• Супералгебра Ли является градуированной супералгеброй Ли над подписанным полукольцом , где тождественным эндоморфизм для аддитивной структуры на кольце .${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,\epsilon )}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Нейенхейс, Альберт ; Ричардсон-младший, Роджер В. (1966). «Когомологии и деформации в градуированных алгебрах Ли» . Бюллетень Американского математического общества . 72 (1): 1-29. DOI : 10,1090 / s0002-9904-1966-11401-5 . Руководство по ремонту  0195995 .

См. Также [ править ]

• Дифференциальная градуированная алгебра Ли
• Оценка (математика)
• Алгебразначная форма Ли