Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . ( октябрь 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон ) |
В линейной алгебры , то след из квадратной матрицы A , обозначается тр ( ) , [1] [2] определяется как сумма элементов на главной диагонали (от верхнего левого к нижнему правому) из A .
След матрицы - это сумма ее (комплексных) собственных значений ( с учетом кратностей), и он инвариантен относительно замены базиса . Эта характеризация может быть использована для определения следа линейного оператора в целом. След определяется только для квадратной матрицы ( n × n ).
След связан с производной определителя (см . Формулу Якоби ).
Определение [ править ]
След из п × п квадратной матрицы А определяется как [2] [3] [4] : 34
где II обозначает запись на I - й строки и I - й столбец А .
Пример [ править ]
Пусть A - матрица с
потом
Свойства [ править ]
Основные свойства [ править ]
След - это линейное отображение . То есть [2] [3]
для всех квадратных матриц A и B и всех скаляров c . [4] : 34
Матрица и ее транспонирование имеют один и тот же след: [2] [3] [4] : 34
Это сразу следует из того, что транспонирование квадратной матрицы не влияет на элементы по главной диагонали.
След продукта [ править ]
След квадратной матрицы, являющейся произведением двух матриц, можно переписать как сумму произведений их элементов по элементам. Точнее, если A и B две матрицы m × n , то:
Это означает, что след произведения матриц равного размера функционирует аналогично скалярному произведению векторов (представьте, что A и B как длинные векторы со столбцами, наложенными друг на друга). По этой причине обобщения векторных операций на матрицы (например, в матричном исчислении и статистике ) часто включают след матричных произведений.
Для вещественных матриц A и B след продукта также можно записать в следующих формах:
(с использованием произведения Адамара , также известного как начальное произведение). (с помощью оператора векторизации ).
Матрицы в следе продукта можно переключать без изменения результата: если A - матрица размера m × n, а B - матрица размера n × m , то [2] [3] [4] : 34 [примечание 1]
Кроме того, для вещественных матриц столбцов и след внешнего продукта эквивалентен внутреннему продукту:
Циклическое свойство [ править ]
В более общем смысле, след инвариантен относительно циклических перестановок , т. Е.
Это известно как циклическое свойство .
Произвольные перестановки не допускаются: как правило,
Однако, если рассматриваются произведения трех симметричных матриц, допускается любая перестановка, поскольку:
где первое равенство связано с тем, что следы матрицы и ее транспонирования равны. Обратите внимание, что в целом это неверно для более чем трех факторов.
След матричного продукта [ править ]
В отличие от определителя , след продукта не является произведением следов, то есть существуют такие матрицы A и B , что
Например, если
тогда продукт
и следы
След продукта Кронекера [ править ]
След продукта Кронекера двух матриц является произведением их следов:
Полная характеристика следа [ править ]
Следующие три свойства:
полностью охарактеризовать след в следующем смысле. Пусть f - линейный функционал на пространстве квадратных матриц, для которого f ( xy ) = f ( yx ) . Тогда f и tr пропорциональны. [заметка 2]
Инвариантность подобия [ править ]
След инвариантен к подобию , что означает, что для любой квадратной матрицы A и любой обратимой матрицы P одинаковой размерности матрицы A и P −1 AP имеют один и тот же след. Это потому что
След произведения симметричной и кососимметричной матрицы [ править ]
Если является симметричным и B является кососимметричен , то
- .
Связь с собственными значениями [ править ]
След единичной матрицы [ править ]
След единичной матрицы n × n - это размерность пространства, а именно n . [1]
Это приводит к обобщению размерности с использованием трассировки .
След идемпотентной матрицы [ править ]
След в идемпотентной матрицы A (матрица , для которой 2 = ) равно ранга из A .
След нильпотентной матрицы [ править ]
След нильпотентной матрицы равен нулю.
Когда характеристика базового поля равна нулю, верно и обратное: если tr ( A k ) = 0 для всех k , то A нильпотентна.
Когда характеристика n > 0 положительна, тождество в n измерениях является контрпримером, как , но тождество не является нильпотентным.
Трассировка равна сумме собственных значений [ править ]
В более общем смысле, если
это характеристический полином из матрицы А , то
то есть след квадратной матрицы равен сумме собственных значений, подсчитанных с кратностями.
След коммутатора [ править ]
Когда оба и В являются п × п матрицы, след (кольцо теоретико-) коммутатора из А и В равна нулю: Tr ([ , B ]) = 0 , так как тр ( АВ ) = тр ( ВА ) и тр линейно. Это можно сформулировать так: «след - это отображение алгебр Ли gl n → k от операторов к скалярам », поскольку коммутатор скаляров тривиален (это абелева алгебра Ли). В частности, используя инвариантность подобия, следует, что единичная матрица никогда не похожа на коммутатор любой пары матриц.
Наоборот, любая квадратная матрица с нулевым следом представляет собой линейную комбинацию коммутаторов пар матриц. [примечание 3] Более того, любая квадратная матрица с нулевым следом унитарно эквивалентна квадратной матрице с диагональю, состоящей из всех нулей.
След эрмитовой матрицы [ править ]
След эрмитовой матрицы действительный, потому что элементы на диагонали действительны.
След матрицы перестановок [ править ]
След матрицы перестановок - это количество неподвижных точек , потому что диагональный член a ii равен 1, если i- я точка фиксирована, и 0 в противном случае.
След матрицы проекции [ править ]
След матрицы проекции - это размер целевого пространства.
Матрица P X идемпотентна, и, вообще говоря, след любой идемпотентной матрицы равен ее собственному рангу.
Экспоненциальный след [ править ]
Выражения, подобные tr (exp ( A )) , где A - квадратная матрица, так часто встречаются в некоторых областях (например, в многомерной статистической теории), что сокращенное обозначение стало обычным явлением:
tre иногда называют экспоненциальной функцией трассировки ; он используется в неравенстве Голдена – Томпсона .
След линейного оператора [ править ]
В целом, учитывая некоторое линейное отображение F : V → V (где V представляет собой конечно- мерное векторное пространство ), мы можем определить след этой карты, рассматривая след матрицы представления о е , то есть, выбирая основу для V и описывая f как матрицу относительно этого базиса, и беря след этой квадратной матрицы. Результат не будет зависеть от выбранного базиса, поскольку разные базисы приведут к похожим матрицам , что дает возможность независимого от базиса определения следа линейного отображения.
Такое определение может быть дано с помощью канонического изоморфизма между пространством End ( V ) линейных отображениями на V и V ⊗ V * , где V * является сопряженным пространством из V . Пусть v находится в V, а f находится в V * . Тогда след неразложимого элемента v ⊗ f определяется как f ( v ) ; след общего элемента определяется линейностью. Используя явную основу дляV и соответствующий дуальный базис для V * , можно показать, что это дает то же определение следа, что и выше.
Отношения собственных значений [ править ]
Если линейный оператор представлен квадратной матрицы с вещественными или комплексными записями и если λ 1 , ..., λ п являются собственные из А (перечислены в соответствии с их алгебраических кратностей ), то
Это следует из того факта, что A всегда подобна своей жордановой форме , верхнетреугольной матрице, имеющей λ 1 ,…, λ n на главной диагонали. В противоположность этому , определитель из А является продуктом его собственных значений; то есть,
В более общем смысле,
Производные [ править ]
След соответствует производной определителя: это аналог алгебры Ли ( группы Ли ) отображения определителя. Это уточнено в формуле Якоби для производной от определителя .
В конкретном случае, в идентичности , производная детерминанта фактически сводится к следу: TR = йе ' я . Из этого (или из связи между следом и собственными значениями) можно вывести связь между функцией следа, экспоненциальным отображением между алгеброй Ли и ее группой Ли (или, конкретно, матричной экспоненциальной функцией) и определителем :
Например, рассмотрим однопараметрическое семейство линейных преобразований, задаваемых поворотом на угол θ ,
Все эти преобразования имеют определитель 1, поэтому они сохраняют площадь. Производная этого семейства при θ = 0 , единичный поворот, является антисимметричной матрицей
который явно имеет нулевую трассу, что указывает на то, что эта матрица представляет собой бесконечно малое преобразование, сохраняющее площадь.
Связанная характеристика трассы применяется к линейным векторным полям . Для матрицы A определим векторное поле F на R n формулой F ( x ) = Ax . Компоненты этого векторного поля являются линейными функциями (заданными строками A ). Его дивергенция div F является постоянной функцией, значение которой равно tr ( A ) .
По теореме о расходимости это можно интерпретировать в терминах потоков: если F ( x ) представляет скорость жидкости в точке x, а U - область в R n , чистый поток жидкости из U определяется выражением tr ( ) · т ( U ) , где т ( U ) представляет собой объем из U .
След - линейный оператор, поэтому он коммутирует с производной:
Приложения [ править ]
След комплексной матрицы 2 × 2 используется для классификации преобразований Мёбиуса . Сначала матрица нормализуется, чтобы сделать ее определитель равным единице. Тогда, если квадрат следа равен 4, соответствующее преобразование будет параболическим . Если квадрат находится в интервале [0,4) , он эллиптический . Наконец, если квадрат больше 4, преобразование является локсодромным . См. Классификацию преобразований Мёбиуса .
Трассировка используется для определения символов из представлений групп . Два представления , B : G → GL ( V ) группы G эквивалентны (до изменения базиса на V ) , если тр ( ( г )) = Tr ( В ( г )) для всех г ∈ G .
След также играет центральную роль в распределении квадратичных форм .
Алгебра Ли [ править ]
След представляет собой отображение алгебр Ли из алгебры Ли линейных операторов в n- мерном пространстве ( n × n- матриц с элементами в ) в алгебру Ли K скаляров; поскольку K абелева (скобка Ли равна нулю), тот факт, что это отображение алгебр Ли, в точности означает, что след скобки равен нулю:
Ядро этой карты, матрица, след нуль , часто говорит, что бесследно или проследить бесплатно , и эти матрицы образуют простую алгебру Ли , которая является алгеброй Ли из специальной линейной группы матриц с определителем 1. специальным линейная группа состоит из матриц, не меняющих объема, а специальная линейная алгебра Ли - это матрицы, не меняющие объема бесконечно малых множеств.
Фактически, существует внутреннее разложение операторов / матриц прямой суммой на бесследные операторы / матрицы и скалярные операторы / матрицы. Карта проекции на скалярные операторы может быть выражена в терминах следа, в частности, как:
Формально, можно составить след ( карту счетчиков ) с единичной картой «включения скаляров », чтобы получить отображение карты на скаляры и умножить на n . Деление на n делает это проекцией, что дает формулу выше.
С точки зрения коротких точных последовательностей , один имеет
что аналогично
(где ) для групп Ли. Тем не менее, трасса расщепляется естественным образом (через скаляры умножения), поэтому расщепление определителя будет таким, как скаляры корня n- й степени, и это в общем случае не определяет функцию, поэтому определитель не разделяется, и общая линейная группа не разлагается:
Билинейные формы [ править ]
Билинейная форма (где Х , Y квадратные матрицы)
называется формой Киллинга , которая используется для классификации алгебр Ли.
След определяет билинейную форму:
Форма является симметричной, невырожденной [примечание 4] и ассоциативной в том смысле, что:
Для сложной простой алгебры Ли (такой как n ) каждая такая билинейная форма пропорциональна друг другу; в частности, к форме убийства.
Две матрицы X и Y называются ортогональными по следу, если
- .
Внутренний продукт [ править ]
Для матрицы A размера m × n с комплексными (или действительными) элементами и H, являющимся сопряженным транспонированием, имеем
с равенством тогда и только тогда, когда A = 0 . [5] : 7
Назначение
дает скалярное произведение на пространстве всех комплексных (или вещественных) матриц размера m × n .
Норма , полученная из приведенного выше скалярного произведения называется норма Фробениуса , которая удовлетворяет полумультипликативное свойство как матричная норма. В самом деле, это просто евклидова норма, если матрица рассматривается как вектор длины m ⋅ n .
Отсюда следует, что если A и B - действительные положительные полуопределенные матрицы одного размера, то
- [примечание 5]
Обобщения [ править ]
Понятие следа матрицы обобщается на класс следов от компактных операторов на гильбертовом пространстве , а аналог нормы Фробениуса называется Гильберт-Шмидт норма.
Если K является следовым классом, то для любого ортонормированного базиса след определяется выражением
и конечна и не зависит от ортонормированного базиса. [6]
Частичный след является другим обобщением следа , который операторнозначный. След линейного оператора Z, который живет в пространстве-продукте A ⊗ B , равен частичным следам над A и B :
Для получения дополнительных свойств и обобщения частичного следа см. Отслеживаемые моноидальные категории .
Если общая ассоциативная алгебра над полем к , то след на А часто определяется как любое отображение тр: ↦ к которой обращается в нуль на коммутаторах: тр ([ , Ь ]) для всех а , б ∈ A . Такой след не определен однозначно; его всегда можно изменить, по крайней мере, умножением на ненулевой скаляр.
Суперслед является обобщением следа на установку супералгебрах .
Операция тензорного сжатия обобщает след на произвольные тензоры.
Определение без координат [ править ]
К следу можно также подойти безкоординатным образом, т. Е. Без обращения к выбору базиса, следующим образом: пространство линейных операторов в конечномерном векторном пространстве V (определенном над полем F ) изоморфно пространству пространство V ⊗ V ∗ линейным отображением
Существует также каноническая билинейная функция t : V × V ∗ → F, которая состоит в применении элемента w ∗ из V ∗ к элементу v из V, чтобы получить элемент из F :
Это индуцирует линейную функцию на тензорном произведении (в силу своего универсального свойства ) t : V ⊗ V ∗ → F , которое, как оказывается, когда это тензорное произведение рассматривается как пространство операторов, равно следу.
В частности, для оператора A ранга один (то есть простого тензора ) квадрат является потому, что на его одномерном изображении A представляет собой просто скалярное умножение. В терминах тензорного выражения, это след (и только ненулевое собственное значение) оператора A ; это дает безкоординатную интерпретацию диагонального входа. Каждый оператор в n -мерном пространстве может быть выражен как сумма n операторов ранга один; это дает безкоординатную версию суммы диагональных элементов.
Это также проясняет, почему tr ( AB ) = tr ( BA ) и почему tr ( AB ) ≠ tr ( A ) tr ( B ) , поскольку композиция операторов (умножение матриц) и след могут интерпретироваться как одно и то же спаривание. Просмотр
можно интерпретировать композиционную карту
в качестве
происходит от спаривания V ∗ × V → F на средних членах. Отслеживание следа продукта происходит в результате спаривания на внешних условиях, при взятии продукта в обратном порядке и последующем взятии следа просто выбирается, какое спаривание применяется первым. С другой стороны, взятие следа A и следа B соответствует применению спаривания к левым и правым членам (а не к внутреннему и внешнему) и, таким образом, отличается.
В координатах это соответствует индексам: умножение дается на
так
что то же самое, в то время как
что другое.
Для конечномерного V с базисом { e i } и дуальным базисом { e i } , тогда e i ⊗ e j - это ij -элемент матрицы оператора относительно этого базиса. Следовательно, любой оператор A является суммой вида
Если t определено, как указано выше,
Последнее, однако, является просто дельтой Кронекера , равной 1, если i = j, и 0 в противном случае. Это показывает, что tr ( A ) - это просто сумма коэффициентов по диагонали. Однако этот метод делает координатную инвариантность непосредственным следствием определения.
Двойной [ править ]
Далее можно дуализировать эту карту, получив карту
Это отображение и есть включение скаляров , отправляющее 1 ∈ F в единичную матрицу: «след двойственен скалярам». На языке биалгебр скаляры - это единица , а след - это счетчик .
Затем можно составить их,
что дает умножение на n , поскольку след идентичности является размерностью векторного пространства.
Обобщения [ править ]
Используя понятие дуализируемых объектов и категориальных следов , этот подход к следам может быть плодотворно аксиоматизирован и применен к другим областям математики.
См. Также [ править ]
- След тензора относительно метрического тензора
- Характеристическая функция
- Полевой след
- Неравенство Голдена – Томпсона.
- Особый след
- Теорема Шпехта
- Класс трассировки
- Идентификация трассировки
- Следить за неравенством
- Следовое неравенство фон Неймана
Заметки [ править ]
- ^ Это непосредственно следует из определения матричного произведения :
- .
- ^ Доказательство: f ( e ij ) = 0 тогда и только тогда, когда i ≠ j и f ( e jj ) = f ( e 11 ) (со стандартным базисом e ij ), и, следовательно,
- ^ Доказательство: n - полупростая алгебра Ли, и поэтому каждый элемент в ней является линейной комбинацией коммутаторов некоторых пар элементов, иначе производная алгебра была бы собственным идеалом.
- ^ Это следует из того факта, что tr ( A * A ) = 0 тогда и только тогда, когда A = 0 .
- ^ Это можно доказать с помощью неравенства Коши – Шварца .
Ссылки [ править ]
- ^ a b «Исчерпывающий список символов алгебры» . Математическое хранилище . 2020-03-25 . Проверено 9 сентября 2020 .
- ^ a b c d e «Ранг, след, определитель, транспонирование и инверсия матриц» . fourier.eng.hmc.edu . Проверено 9 сентября 2020 .
- ^ a b c d Вайсштейн, Эрик В. "Матричный след" . mathworld.wolfram.com . Проверено 9 сентября 2020 .
- ^ a b c d Липшуц, Сеймур; Липсон, Марк (сентябрь 2005 г.). Очерк теории и проблем линейной алгебры Шаума . Макгроу-Хилл. ISBN 9780070605022.
- ^ Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (2013). Матричный анализ (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521839402.
- ^ Teschl Г. (30 октября 2014). Математические методы в квантовой механике . Аспирантура по математике. 157 (2-е изд.). Американское математическое общество. ISBN 978-1470417048.
Внешние ссылки [ править ]
- «След квадратной матрицы» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]