В теоретической физике , то -Вилковыского Баталин ( BV ) формализм ( по имени Игоря Баталин и Григория Вилковыского) была разработана в качестве метода определения призрак структуры для лагранжевых калибровочных теорий , таких как сила тяжести и супергравитацией , чьи соответствующие гамильтонова формулировка имеет ограничения , не связанные в алгебру Ли (т. е. роль структурных констант алгебры Ли играют более общие структурные функции). Формализм BV, основанный на действии , содержащем оба поляи «антиполя», можно рассматривать как обширное обобщение исходного формализма БРСТ для чистой теории Янга – Миллса на произвольную лагранжевую калибровочную теорию. Другие названия формализма Баталина – Вилковиского - полевой антиполевой формализм , лагранжев формализм BRST или формализм BV – BRST . Его не следует путать с формализмом Баталина – Фрадкина – Вилковиского (BFV) , который является гамильтоновым аналогом.
Алгебры Баталина – Вилковиского
В математике алгебра Баталина – Вилковиского - это градуированная суперкоммутативная алгебра (с единицей 1) с нильпотентным оператором второго порядка ∆ степени −1. Точнее, он удовлетворяет тождествам
(Продукт имеет степень 0)
(Δ имеет степень −1)
(Товар ассоциативный)
(Произведение (супер) коммутативно)
(Нильпотентность (порядка 2))
(Оператор Δ второго порядка)
Часто также требуется нормализация:
(нормализация)
Антибрекет
Алгебра Баталина – Вилковиского становится алгеброй Герстенхабера, если определить скобку Герстенхабера формулой
Другие названия скобки Герстенхабера - скобка Баттина , антибрекет или нечетная скобка Пуассона . Антибрекет удовлетворяет
(Антискобка (,) имеет степень −1)
(Асимметрия)
(Тождество Якоби)
(Свойство Пуассона; правило Лейбница)
Странный лапласиан
Нормализованный оператор определяется как
Его часто называют нечетным лапласианом , особенно в контексте нечетной пуассоновской геометрии. Он «отличает» антибрекет.
(В оператор дифференцирует (,))
Квадрат нормализованных оператор представляет собой гамильтоново векторное поле с нечетным гамильтонианом Δ (1)
(Правило Лейбница)
которое также известно как модульное векторное поле . В предположении нормировки Δ (1) = 0 нечетный лапласиан является просто оператором Δ, а модулярное векторное поле исчезает.
Компактная формулировка в виде вложенных коммутаторов
для двух произвольных операторов S и T , то определение антискобки можно компактно записать как
а условие второго порядка для Δ можно компактно записать как
(Оператор Δ второго порядка)
где подразумевается, что соответствующий оператор действует на единичный элемент 1. Другими словами, - оператор первого порядка (аффинный), и является оператором нулевого порядка.
Главное уравнение
Классическое управляющее уравнение для четной степени элемента S (называется действие ) алгебры Баталин-Вилковыского является уравнением
Квантовое управляющее уравнение для четной степени элемента W алгебры Баталин-Вилковыского является уравнением
или эквивалентно,
Предполагая нормализацию Δ (1) = 0, основное квантовое уравнение имеет вид
Обобщенные алгебры BV
В определении обобщенной алгебры BV мы отбрасываем предположение второго порядка для Δ. Затем можно определить бесконечную иерархию высших скобок степени −1
Скобки (градуированные) симметричные
(Симметричные скобки)
где это перестановка, а является признаком кошу перестановки
.
Скобки составляют гомотопическую алгебру Ли , также известную как алгебра, удовлетворяющая обобщенным тождествам Якоби
(Обобщенные тождества Якоби)
Первые несколько скобок:
(Нулевая скобка)
(Одна скобка)
(Две скобки)
(Три-скобка)
В частности, одинарная скобка - нечетный лапласиан, а двускобка это антискобок до знака. Первые несколько обобщенных тождеств Якоби:
( является -закрыто)
( - гамильтониан модулярного векторного поля )
(В оператор дифференцирует (,) обобщенное)
(Обобщенное тождество Якоби)
где якобиатор для двухскобки определяется как
BV n -алгебры
Оператор Δ по определению имеет n-й порядок тогда и только тогда, когда ( n + 1) -кобкаисчезает. В этом случае говорят о n-алгебре BV . Таким образом, BV 2-алгебра по определению является просто BV-алгеброй. Якобиаторобращается в нуль внутри алгебры BV, что означает, что здесь антискобка удовлетворяет тождеству Якоби. BV 1-алгебра , удовлетворяющая нормировки А (1) = 0 таких же , как в дифференциальной градуированной алгебре (DGA) с дифференциальным Д. В 1-алгебре BV есть исчезающая антискобка.
Нечетное пуассоновское многообразие с объемной плотностью
Пусть дано (n | n) супермногообразие с нечетным би-вектором Пуассона и объемная плотность Березина , также называемые P-структурой и S-структурой соответственно. Назовем локальные координаты. Пусть производные а также
обозначают левую и правую производные функции f относительно., соответственно. Нечетный бивектор Пуассона удовлетворяет более точно
(Нечетная пуассонова структура имеет степень –1)
(Асимметрия)
(Тождество Якоби)
При изменении координат нечетный бивектор Пуассона и объемная плотность Березина преобразовать как
где sdet обозначает супердетерминант , также известный как березинианский. Тогда нечетная скобка Пуассона определяется как
Векторное поле гамильтоновас гамильтонианом f можно определить как
(Сверх) расходимость векторного поля определяется как
Напомним, что гамильтоновы векторные поля бездивергентны в даже пуассоновской геометрии в силу теоремы Лиувилля. В нечетной пуассоновской геометрии соответствующее утверждение неверно. Нечетное лапласианизмеряет несостоятельность теоремы Лиувилля. С точностью до знакового множителя он определяется как половина расходимости соответствующего гамильтонова векторного поля,
Нечетная структура Пуассона и объемная плотность Березина называются совместимыми, если модульное векторное полеисчезает. В этом случае нечетный лапласианявляется оператором БВ Δ с нормировкой Δ (1) = 0. Соответствующая алгебра BV является алгеброй функций.
Нечетное симплектическое многообразие
Если нечетный бивектор Пуассона обратимо, имеется нечетное симплектическое многообразие. В этом случае существует нечетная теорема Дарбу . То есть существуют локальные координаты Дарбу , т. Е. Координаты, и импульсы степени
такая, что нечетная скобка Пуассона находится в форме Дарбу
В теоретической физике координаты и импульсы называются полями и антиполями и обычно обозначаются а также , соответственно.
действует в векторном пространстве полуплотностей и является глобально корректно определенным оператором в атласе окрестностей Дарбу. Худавердянаоператор зависит только от P-структуры. Это явно нильпотентный, и степени −1. Тем не менее, технически это не оператор BV Δ, поскольку векторное пространство полуплотностей не имеет умножения. (Произведение двух полуплотностей - это плотность, а не полуплотность.) При фиксированной плотности, можно построить нильпотентный оператор BV Δ как
соответствующая BV-алгебра которой является алгеброй функций или, что то же самое, скалярами . Нечетная симплектическая структура и плотность совместимы тогда и только тогда, когда Δ (1) - нечетная константа.
Если L - супералгебра Ли, а Π - оператор, меняющий местами четную и нечетную части суперпространства, то симметрическая алгебра пространства ( L ) («внешняя алгебра» L ) является алгеброй Баталина – Вилковиского с заданным ∆ обычным дифференциалом, используемым для вычисления когомологий алгебры Ли .