BRST квантование

В теоретической физике , в БРСТ формализме , или БРСТО квантовании (где БРСТО относится к Беккам , Rouet , Stora и Тютину ) обозначает относительно строгий математический подход к квантованию в теории поля с калибровочной симметрией . Правила квантования в более ранних рамках квантовой теории поля (КТП) напоминали «предписания» или «эвристики» больше, чем доказательства, особенно в неабелевой КТП, где использование « фантомных полей»"с внешне причудливыми свойствами почти неизбежно по техническим причинам, связанным с перенормировкой и отменой аномалий .

Глобальная суперсимметрия BRST, введенная в середине 1970-х, была быстро понята, чтобы рационализировать введение этих духов Фаддеева – Попова и их исключение из «физических» асимптотических состояний при выполнении вычислений QFT. Важно отметить, что эта симметрия интеграла по путям сохраняется в порядке петель и, таким образом, предотвращает введение контрчленов, которые могут испортить перенормируемость калибровочных теорий. Работа других авторов, проведенная несколькими годами позже, связала БРСТ-оператор с существованием строгой альтернативы интегралам по путям при квантовании калибровочной теории.

Только в конце 1980-х, когда КТП была переформулирована на языке волоконных расслоений для приложения к задачам топологии низкоразмерных многообразий ( топологическая квантовая теория поля ), стало очевидно, что БРСТ-преобразование носит фундаментально геометрический характер. В этом свете "BRST-квантование" становится больше, чем альтернативным способом достижения призраков, устраняющих аномалии. Это другой взгляд на то, что представляют собой призрачные поля, почему работает метод Фаддеева – Попова и как он связан с использованием гамильтоновой механики для построения теории возмущений. Связь калибровочной инвариантностиа «БРСТ-инвариантность» заставляет выбирать гамильтонову систему, состояния которой состоят из «частиц» в соответствии с правилами, известными из формализма канонического квантования . Таким образом, это условие эзотерической согласованности очень близко подходит к объяснению того, как кванты и фермионы возникают в физике.

В некоторых случаях, особенно гравитации и супергравитации , BRST должен быть заменен более общим формализмом, формализмом Баталина – Вилковиского .

Техническое резюме [ править ]

BRST-квантование - это дифференциально-геометрический подход к выполнению согласованных, свободных от аномалий пертурбативных вычислений в неабелевой калибровочной теории . Аналитическая форма BRST-преобразования и его отношение к перенормировке и устранению аномалий были описаны Карло Мария Бекки , Аленом Руэ и Раймондом Стора в серии статей, завершившихся в 1976 году «Перенормировкой калибровочных теорий». Эквивалентное преобразование и многие его свойства были независимо открыты Игорем Викторовичем Тютиным . Его значение для строгихКаноническое квантование теории Янга – Миллса и его правильное применение к пространству Фока мгновенных конфигураций поля были объяснены Тайчиро Куго и Идзуми Одзима. Позже работы многих авторов, в частности Томаса Schucker и Виттен , прояснил геометрический смысл оператора BRST и смежных областях , и подчеркнул его важность для топологической квантовой теории поля и теории струн .

В подходе BRST, один выбирает возмущение людей фиксации калибровочной процедуры для принципа действия калибровочной теории с использованием дифференциальной геометрии из калибровочного пучка , на котором полевую теорию жизни. Затем проводится квантование теории для получения гамильтоновой системы в картине взаимодействия таким образом, чтобы «нефизические» поля, вводимые процедурой фиксации калибровки, разрешали калибровочные аномалии, не появляясь в асимптотических состояниях теории. Результатом является набор правил Фейнмана для использования в пертурбативном разложении ряда Дайсона. из S-матрицы , которые гарантируют , что она является унитарной и перенормируема в каждом порядке петлевых -в Короче говоря, когерентный метод аппроксимации для создания физического предсказания о результатах экспериментов по рассеянию .

Классический BRST [ править ]

Это связано с суперсимплектическим многообразием, где чистые операторы градуированы целыми призрачными числами, и у нас есть БРСТ- когомологии .

Калибровочные преобразования в QFT [ править ]

С практической точки зрения квантовая теория поля состоит из принципа действия и набора процедур для выполнения пертурбативных вычислений . Существуют и другие виды «проверок работоспособности», которые могут быть выполнены в квантовой теории поля, чтобы определить, соответствует ли она качественным явлениям, таким как удержание кварков и асимптотическая свобода . Однако большинство предсказательных успехов квантовой теории поля, от квантовой электродинамики до наших дней, были количественно оценены путем сопоставления вычислений S-матрицы с результатами экспериментов по рассеянию .

На заре КТП можно было бы сказать, что предписания квантования и перенормировки были такой же частью модели, как и плотность лагранжиана , особенно когда они полагались на мощный, но математически плохо определенный формализм интегралов по путям . Быстро стало ясно, что QED был почти «волшебным» в своей относительной управляемости, и что большинство способов, которые можно было вообразить для его расширения, не производят рациональных вычислений. Однако один класс теорий поля оставался многообещающим: калибровочные теории , в которых объекты в теории представляют классы эквивалентности физически неразличимых конфигураций поля, любые две из которых связаны между собойкалибровочное преобразование . Это обобщает идею КЭД о локальном изменении фазы на более сложную группу Ли .

КЭД сама по себе является калибровочной теорией, как и общая теория относительности , хотя последняя пока доказала свою стойкость к квантованию по причинам, связанным с перенормировкой. Другой класс калибровочных теорий с неабелевой калибровочной группой, начиная с теории Янга – Миллса , стал поддающимся квантованию в конце 1960-х - начале 1970-х годов, во многом благодаря работам Людвига Д. Фаддеева , Виктора Попова , Брайса ДеВитта и Герардус т Хофт. Однако до появления метода BRST с ними было очень трудно работать. Метод BRST предоставил методы вычислений и доказательства перенормируемости, необходимые для извлечения точных результатов как из «несломленных» теорий Янга – Миллса, так и из тех, в которых механизм Хиггса приводит к спонтанному нарушению симметрии . Представители этих двух типов Янга-Миллса сигнализация- КХД и теория электрослабого -appear в стандартной модели в физике элементарных частиц .

Доказать существование неабелевой квантовой теории поля в строгом смысле оказалось гораздо труднее, чем получить точные предсказания с использованием полуэвристических схем вычислений. Это связано с тем, что для анализа квантовой теории поля требуются две математически взаимосвязанные точки зрения: лагранжева система, основанная на функционале действия , состоящая из полей с различными значениями в каждой точке пространства-времени и локальных операторов, которые действуют на них, и гамильтонова система в картине Дирака. , состоящий из состояний, которые характеризуют всю систему в данный момент времени, и полевых операторовкоторые действуют на них. Что делает это таким трудным в калибровочной теории, так это то, что объекты теории на самом деле не являются локальными полями в пространстве-времени; они представляют собой правоинвариантные локальные поля на главном калибровочном расслоении , и различные локальные сечения части калибровочного расслоения, связанные пассивными преобразованиями, создают разные картины Дирака.

Более того, описание системы в целом с помощью набора полей содержит множество избыточных степеней свободы; различные конфигурации теории являются классами эквивалентности конфигураций полей, так что два описания, которые связаны друг с другом калибровочным преобразованием, также на самом деле являются одной и той же физической конфигурацией. «Решения» квантованной калибровочной теории существуют не в простом пространстве полей со значениями в каждой точке пространства-времени, а в фактор-пространстве (или когомологиях), элементами которого являются классы эквивалентности конфигураций полей. В формализме BRST скрывается система параметризации вариаций, связанных со всеми возможными активными калибровочными преобразованиями, и правильного учета их физической несущественности во время преобразования лагранжевой системы в гамильтонову.

Калибровочная фиксация и теория возмущений [ править ]

Принцип калибровочной инвариантности необходим для построения работоспособной квантовой теории поля. Но обычно невозможно выполнить пертурбативное вычисление в калибровочной теории без предварительной «фиксации калибровки» - добавления членов к лагранжевой плотности принципа действия, которые «нарушают калибровочную симметрию» для подавления этих «нефизических» степеней свободы. Идея фиксации калибровки восходит к калибровочному подходу к электромагнетизму Лоренца , который подавляет большую часть избыточных степеней свободы в четырехпотенциале , сохраняя при этом явную лоренц-инвариантность . Калибровка Лоренца является большим упрощением по сравнению с подходом Максвелла к измерению напряженности поля.классической электродинамики и иллюстрирует, почему полезно иметь дело с избыточными степенями свободы в представлении объектов в теории на лагранжевой стадии, прежде чем переходить к гамильтоновой механике через преобразование Лежандра .

Плотность гамильтониана связана с производной Ли плотности лагранжиана по единичному времениподобному горизонтальному векторному полю на калибровочном расслоении. В квантово-механическом контексте это обычно масштабируется с коэффициентом . Интегрирование его по частям по пространственноподобному поперечному сечению восстанавливает форму подынтегральной функции, знакомую по каноническому квантованию . Поскольку определение гамильтониана включает в себя векторное поле единичного времени в базовом пространстве, горизонтальный подъем к пространству расслоения и пространственноподобную поверхность, «нормальную» (в метрике Минковского ) к единичному векторному полю времени в каждой точке базы. многообразие, она зависит как от соединения и выбора Лоренца кадра${\displaystyle i\hbar }$, и это далеко не глобальное определение. Но это важный компонент пертурбативной структуры квантовой теории поля, в которую квантованный гамильтониан входит через ряд Дайсона .

Для пертурбативных целей мы собираем конфигурацию всех полей нашей теории на всем трехмерном горизонтальном пространственноподобном сечении P в один объект (состояние Фока ), а затем описываем «эволюцию» этого состояния во времени, используя картина взаимодействия . Пространство Фока натянуто на собственных состояний нескольких частиц в «невозмущенной» или «не-взаимодействия» часть этого гамильтониана . Следовательно, мгновенное описание любого фоковского состояния представляет собой взвешенную по комплексной амплитуде сумму собственных состояний${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}}$. В картине взаимодействия мы связываем фоковские состояния в разное время, предписывая, чтобы каждое собственное состояние невозмущенного гамильтониана испытывало постоянную скорость вращения фазы, пропорциональную его энергии (соответствующее собственное значение невозмущенного гамильтониана).

Следовательно, в нулевом приближении набор весов, характеризующих фоковское состояние, не изменяется со временем, но соответствующая конфигурация поля изменяется. В более высоких приближениях веса также меняются; коллайдерные эксперименты в физике высоких энергий сводятся к измерению скорости изменения этих весов (или, скорее, их интегралов по распределениям, представляющим неопределенность в начальных и конечных условиях события рассеяния). Ряд Дайсона улавливает эффект расхождения между истинным гамильтонианом и истинным гамильтонианом в форме степенного ряда в константе связи g ; это основной инструмент для получения количественных предсказаний на основе квантовой теории поля.${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Чтобы использовать ряд Дайсона для вычисления чего-либо, нужно нечто большее, чем калибровочно-инвариантная плотность лагранжиана; также необходимы рецепты квантования и фиксации калибровки, которые входят в правила теории Фейнмана . Ряд Дайсона дает бесконечные интегралы различных видов, когда применяется к гамильтониану конкретной КТП. Отчасти это связано с тем, что все используемые на сегодняшний день квантовые теории поля должны считаться эффективными теориями поля , описывающими только взаимодействия в определенном диапазоне энергетических масштабов, которые мы можем исследовать экспериментально и, следовательно, уязвимы для ультрафиолетовых расходимостей . Это приемлемо, если с ними можно справиться стандартными методами перенормировки.; они не столь терпимы, когда они приводят к бесконечной серии бесконечных перенормировок или, что еще хуже, к явно нефизическому предсказанию, например, к неотмененной калибровочной аномалии . Между перенормируемостью и калибровочной инвариантностью существует глубокая взаимосвязь, которая легко теряется в ходе попыток получить поддающиеся обработке правила Фейнмана, фиксируя калибровку.

Pre-BRST подходы к установке датчика [ править ]

Традиционные предписания континуальной электродинамики по фиксации калибровки выбирают уникального представителя из каждого класса эквивалентности, связанного с калибровочным преобразованием, используя уравнение связи, такое как калибровка Лоренца . Этот вид предписаний может быть применен к абелевой калибровочной теории, такой как КЭД , хотя это приводит к некоторым трудностям в объяснении того, почему тождества Уорда классической теории переносятся на квантовую теорию - другими словами, почему диаграммы Фейнмана, содержащие внутренние продольно поляризованные виртуальные фотоны не вносят вклад в S-матрицу${\displaystyle \partial ^{\mu }A_{\mu }=0}$ расчеты. Этот подход также плохо обобщается на неабелевы калибровочные группы, такие как SU (2) Янга – Миллса и электрослабая теория и SU (3) квантовой хромодинамики . Он страдает двусмысленностями Грибова и трудностью определения ограничения, фиксирующего калибровку, которое в некотором смысле «ортогонально» физически значимым изменениям в конфигурации поля.

Более сложные подходы не пытаются применить ограничение дельта-функции к степеням свободы калибровочного преобразования. Вместо того, чтобы «прикреплять» калибровку к определенной «поверхности связи» в конфигурационном пространстве, можно нарушить калибровочную свободу с помощью дополнительного, не калибровочно-инвариантного члена, добавленного к плотности лагранжиана. Чтобы воспроизвести успехи фиксации калибровки, этот член выбран минимальным для выбора калибровки, который соответствует желаемому ограничению, и квадратично зависящим от отклонения датчика от поверхности ограничения. Посредством приближения стационарной фазы, на котором интеграл Фейнмана по путям Основываясь на этом, доминирующий вклад в пертурбативные вычисления будет вносить конфигурация поля в окрестности поверхности ограничения.

Пертурбативное разложение, связанное с этим лагранжианом, с использованием метода функционального квантования , обычно называется калибровкой R _ξ . В случае абелевой U (1) калибровки он сводится к тому же набору правил Фейнмана, который можно получить в методе канонического квантования . Но есть важное отличие: нарушенная калибровочная свобода появляется в функциональном интегралекак дополнительный фактор в общей нормализации. Этот фактор может быть извлечен из пертурбативного разложения (и проигнорирован) только тогда, когда вклад в лагранжиан возмущения вдоль калибровочных степеней свободы не зависит от конкретной «физической» конфигурации поля. Это условие не выполняется для неабелевых калибровочных групп. Если игнорировать проблему и попытаться использовать правила Фейнмана, полученные из «наивного» функционального квантования, можно обнаружить, что его вычисления содержат неустранимые аномалии.

Проблема пертурбативных вычислений в КХД была решена путем введения дополнительных полей, известных как духи Фаддеева – Попова , чей вклад в фиксированный по калибровке лагранжиан компенсирует аномалию, вызванную взаимодействием «физических» и «нефизических» возмущений неабелевой калибровки. поле. С точки зрения функционального квантования «нефизические» возмущения конфигурации поля (калибровочные преобразования) образуют подпространство пространства всех (бесконечно малых) возмущений; в неабелевом случае вложение этого подпространства в большее пространство зависит от конфигурации, вокруг которой происходит возмущение. Термин призрака в функции Лагранжа представляет собой функциональный определитель от якобиануэтого вложения, а свойства фантомного поля продиктованы показателем степени, требуемым на определителе, чтобы скорректировать функциональную меру на оставшихся «физических» осях возмущения.

Математический подход к BRST [ править ]

BRST строительство относится к ситуации в гамильтонова действия компактной, связной группы Ли G на фазовом пространстве M . ^{[1] [2]} Позвольте быть алгеброй Ли группы G и регулярным значением отображения момента . Пусть . Предположим , что G -действие на M ₀ является свободным и собственно, и рассмотрим пространство из G -орбит на M ₀ , который также известен как Симплектическая снижения фактора .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle 0\in {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle \Phi :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle M_{0}=\Phi ^{-1}(0)}$${\displaystyle {\widetilde {M}}=M_{0}/G}$${\displaystyle {\widetilde {M}}=M//G}$

Сначала, используя регулярную последовательность функций, определяющих M ₀ внутри M , построим комплекс Кошуля

${\displaystyle \Lambda ^{\cdot }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M).}$

Дифференциал δ на этом комплексе является нечетным C ^∞ ( M ) -линейным дифференцированием градуированной C ^∞ ( M ) -алгебры . Это нечетное вывод определяется путем расширения алгебры Ли homomorphim от гамильтонова действия . Полученный комплекс Кошуля является комплексом Кошуля -модуля C ^∞ ( M ), где - симметрическая алгебра модуля, а структура модуля происходит из гомоморфизма колец, индуцированного гамильтоновым действием .${\displaystyle \Lambda ^{\cdot }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to C^{\infty }(M)}$${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle S({\mathfrak {g}})\to C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to C^{\infty }(M)}$

Этот комплекс Кошуля является резольвентой -модуля , т. Е.${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle C^{\infty }(M_{0})}$

${\displaystyle H^{j}(\Lambda ^{\cdot }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M),\delta )={\begin{cases}C^{\infty }(M_{0})&j=0\\0&j\neq 0\end{cases}}}$

Затем рассмотрим коцепной комплекс Шевалле-Эйленберга для комплекса Кошуля, рассматриваемого как dg-модуль над алгеброй Ли :${\displaystyle \Lambda ^{\cdot }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle K^{\cdot ,\cdot }=C^{\cdot }\left({\mathfrak {g}},\Lambda ^{\cdot }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)\right)=\Lambda ^{\cdot }{\mathfrak {g}}^{*}\otimes \Lambda ^{\cdot }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M).}$

«Горизонтальный» дифференциал определяется по коэффициентам${\displaystyle d:K^{i,\cdot }\to K^{i+1,\cdot }}$

${\displaystyle \Lambda ^{\cdot }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)}$

действием и на как внешнюю производную правоинвариантных дифференциальных форм на группе Ли G , алгебра Ли которой равна .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \Lambda ^{\cdot }{\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Пусть Tot ( K ) - такой комплекс, что

${\displaystyle \operatorname {Tot} (K)^{n}=\bigoplus \nolimits _{i-j=n}K^{i,j}}$

с дифференциалом D  =  d  + δ. Группы когомологий (Tot ( K ),  D ) вычисляются с использованием спектральной последовательности, связанной с двойным комплексом .${\displaystyle (K^{\cdot ,\cdot },d,\delta )}$

Первый член спектральной последовательности вычисляет когомологии «вертикального» дифференциала δ:

${\displaystyle E_{1}^{i,j}=H^{j}(K^{i,\cdot },\delta )=\Lambda ^{i}{\mathfrak {g}}^{*}\otimes C^{\infty }(M_{0})}$, если j = 0 и ноль в противном случае.

Первый член спектральной последовательности можно интерпретировать как комплекс вертикальных дифференциальных форм

${\displaystyle (\Omega _{\operatorname {vert} }^{\cdot }(M_{0}),d_{\operatorname {vert} })}$

для пучка волокон .${\displaystyle M_{0}\to {\widetilde {M}}}$

Второй член спектральной последовательности вычисляет когомологии "горизонтального" дифференциала d на :${\displaystyle E_{1}^{\cdot ,\cdot }}$

${\displaystyle E_{2}^{i,j}\cong H^{i}(E_{1}^{\cdot ,j},d)=C^{\infty }(M_{0})^{g}=C^{\infty }({\widetilde {M}})}$, если и ноль в противном случае.${\displaystyle i=j=0}$

Спектральная последовательность схлопывается на втором члене, так что , который сосредоточен в нулевой степени.${\displaystyle E_{\infty }^{i,j}=E_{2}^{i,j}}$

Следовательно,

${\displaystyle H^{p}(\operatorname {Tot} (K),D)=C^{\infty }(M_{0})^{g}=C^{\infty }({\widetilde {M}})}$, если p = 0 и 0 в противном случае.

Оператор BRST и асимптотическое пространство Фока [ править ]

Следует сделать два важных замечания по поводу оператора BRST. Во-первых, вместо работы с калибровочной группой G можно использовать только действие калибровочной алгебры на поля (функции на фазовом пространстве).${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Во-вторых, вариация любой "БРСТ- точной формы " s _B X относительно локального калибровочного преобразования d λ есть

${\displaystyle \left[i_{\delta \lambda },s_{B}\right]s_{B}X=i_{\delta \lambda }(s_{B}s_{B}X)+s_{B}\left(i_{\delta \lambda }(s_{B}X)\right)=s_{B}\left(i_{\delta \lambda }(s_{B}X)\right),}$

что само по себе является точной формой.

Что еще более важно для гамильтонова пертурбативного формализма (который осуществляется не на расслоении слоев, а на локальном сечении), добавление точного члена BRST к калибровочно-инвариантной плотности лагранжиана сохраняет соотношение s _B X  = 0. Как мы увидим, это следует , что существует родственный оператор Q _B на пространстве состояний , для которых -ie, оператор BRST на фоковском является сохраняющимся зарядом в гамильтоновой системе . Это означает, что оператор временной эволюции в вычислении ряда Дайсона не будет преобразовывать конфигурацию поля, подчиняющуюся, в более позднюю конфигурацию (или наоборот).${\displaystyle [Q_{B},{\mathcal {H}}]=0}$${\displaystyle Q_{B}|\Psi _{i}\rangle =0}$${\displaystyle Q_{B}|\Psi _{f}\rangle \neq 0}$

Другой способ взглянуть на нильпотентность оператора BRST - сказать, что его образ (пространство точных форм BRST ) полностью лежит внутри его ядра (пространства замкнутых форм BRST ). («Истинный» лагранжиан, который считается инвариантным относительно локальных калибровочных преобразований, находится в ядре оператора BRST, но не в его образе.) Предыдущий аргумент говорит, что мы можем ограничить нашу совокупность начальных и конечных условий асимптотическими »состояниями. "- конфигурации поля во времениподобной бесконечности, где лагранжиан взаимодействия" выключен ", - лежащие в ядре Q _Bи при этом получить унитарную матрицу рассеяния. (БРСТ-замкнутые и точные состояния определяются аналогично БРСТ-замкнутым и точным полям; замкнутые состояния аннулируются Q _B , в то время как точные состояния можно получить, применяя Q _B к некоторой произвольной конфигурации поля.)

Мы также можем подавить состояния, которые лежат внутри образа Q _B, при определении асимптотических состояний нашей теории, но рассуждения немного тоньше. Поскольку мы постулировали, что «истинный» лагранжиан нашей теории является калибровочно-инвариантным, истинные «состояния» нашей гамильтоновой системы являются классами эквивалентности относительно локального калибровочного преобразования; другими словами, два начальных или конечных состояния в гамильтоновой картине, которые отличаются только точным БРСТ-состоянием, физически эквивалентны. Однако использование предписания нарушения точной калибровки БРСТ не гарантирует, что гамильтониан взаимодействия сохранит какое-либо конкретное подпространство замкнутых конфигураций поля, которое мы можем назвать «ортогональным» пространству точных конфигураций. (Это важный момент, который часто неправильно понимается в учебниках QFT.априорный внутренний продукт по конфигурациям полей, заложенный в принцип действия; мы строим такое внутреннее произведение как часть нашего гамильтонова пертурбативного аппарата.)

Поэтому мы сосредотачиваемся на векторном пространстве БРСТ-замкнутых конфигураций в конкретный момент времени с намерением преобразовать его в пространство Фока промежуточных состояний, подходящее для гамильтонова возмущения. С этой целью мы снабдим его лестничными операторами для собственных конфигураций энергии-импульса (частиц) каждого поля, дополненными соответствующими (анти-) правилами коммутации, а также положительным полуопределенным внутренним произведением . Мы требуем, чтобы скалярное произведение было сингулярнымисключительно вдоль направлений, соответствующих БРСТ-точным собственным состояниям невозмущенного гамильтониана. Это гарантирует, что из двух классов эквивалентности асимптотических полевых конфигураций, соответствующих конкретным начальным и конечным собственным состояниям (непрерывного) гамильтониана свободного поля, можно свободно выбирать любую пару БРСТ-замкнутых состояний Фока, которые нам нравятся.

Требуемые предписания квантования также обеспечат фактор- пространство Фока, изоморфное БРСТ-когомологиям , в котором каждый БРСТ-класс замкнутой эквивалентности промежуточных состояний (отличающийся только точным состоянием) представлен ровно одним состоянием, которое не содержит квантов точных БРСТ-полей. . Это то пространство Фока, которое нам нужно для асимптотических состояний теории; даже несмотря на то, что нам обычно не удастся выбрать конкретную окончательную конфигурацию поля, до которой фиксированная калибровкой лагранжева динамика эволюционировала бы эту начальную конфигурацию, сингулярность внутреннего произведения вдоль точных степеней свободы BRST гарантирует, что мы получим правильные записи для физическая матрица рассеяния.

(На самом деле нам, вероятно, следует построить пространство Крейна для BRST-замкнутых промежуточных состояний Фока, где оператор обращения времени играет роль «фундаментальной симметрии», связывающей лоренц-инвариантные и положительные полуопределенные скалярные произведения. Асимптотическое состояние пространство предположительно является гильбертовым пространством, полученным путем факторизации BRST точных состояний из этого пространства Крейна.)

В общем, никакое поле, введенное как часть процедуры фиксации калибровки БРСТ, не появится в асимптотических состояниях теории фиксированной калибровки. Однако это не означает, что мы можем обойтись без этих «нефизических» полей в промежуточных состояниях пертурбативного расчета! Это связано с тем, что пертурбативные вычисления выполняются в картине взаимодействия . Они неявно включают начальное и конечное состояния гамильтониана невзаимодействия , постепенно преобразованные в состояния полного гамильтониана в соответствии с адиабатической теоремой путем «включения» гамильтониана взаимодействия (калибровочной связи). Разложение ряда Дайсона по диаграммам Фейнмана${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}}$будет включать в себя вершину , что пара «физические» частицы (те , которые могут появиться в асимптотических состояниях свободного гамильтониана) до «нефизических» частиц (состояния полей , которые живут за пределами ядра в ы _B или внутри изображений из й _В ) и вершины, соединяют друг с другом «нефизические» частицы.

Ответ Куго-Одзимы на вопросы об унитарности [ править ]

Т. Куго и И. Одзима обычно приписывают открытие основного критерия ограничения цвета КХД . Их роль в получении правильной версии формализма BRST в лагранжевой структуре, кажется, менее широко оценена. Полезно изучить их вариант BRST-преобразования, который подчеркивает эрмитовские свойства вновь введенных полей, прежде чем переходить к полностью геометрическому ракурсу. Ниже приведена калибровочная фиксированная плотность лагранжиана; два члена в скобках образует связь между датчиком и призраком секторами, а конечный член становится гауссовым весовым для функционального измерения на вспомогательных поля B .

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{\textrm {matter}}(\psi ,\,A_{\mu }^{a})-{\tfrac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F^{a,\,\mu \nu }-(i(\partial ^{\mu }{\bar {c}}^{a})D_{\mu }^{ab}c^{b}+(\partial ^{\mu }B^{a})A_{\mu }^{a})+{\tfrac {1}{2}}\alpha _{0}B^{a}B^{a}}$

Фаддеева-Попова призрак поле с уникально среди новых направлений нашей калибровочной фиксированной теории в том , геометрический смысл помимо формальных требований к процедуре BRST. Это версия формы Маурера – Картана на , которая связывает каждое правоинвариантное вертикальное векторное поле с его представлением (с точностью до фазы) как -значное поле. Это поле должно входить в формулы для бесконечно малых калибровочных преобразований объектов (таких как фермионы ψ, калибровочные бозоны A _μ и сам дух c ), которые несут нетривиальное представление калибровочной группы. Таким образом, преобразование БРСТ по отношению к δλ имеет вид:${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$${\displaystyle \delta \lambda \in V{\mathfrak {E}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta \psi _{i}&=\delta \lambda D_{i}c\\\delta A_{\mu }&=\delta \lambda D_{\mu }c\\\delta c&=-\delta \lambda {\tfrac {g}{2}}[c,c]\\\delta {\bar {c}}&=i\delta \lambda B\\\delta B&=0\end{aligned}}}$

Здесь мы опустили детали сектора материи ψ и оставили неопределенной форму оператора Уорда на нем; они не важны, пока представление калибровочной алгебры на полях материи совместимо с их связью с δ A _μ . Свойства других полей, которые мы добавили, в основном аналитические, а не геометрические. Смещение, которое мы ввели в сторону связей, зависит от калибра и не имеет особого геометрического значения. Анти-призрак - это не что иное, как множитель Лагранжа для члена, фиксирующего калибровку, а свойства скалярного поля B полностью продиктованы соотношением${\displaystyle \partial ^{\mu }A_{\mu }=0}$${\displaystyle {\bar {c}}}$${\displaystyle \delta {\bar {c}}=i\delta \lambda B}$. (Все новые поля являются эрмитовыми в соглашениях Куго-Одзимы, но параметр δλ является антиэрмитовым «антикоммутирующим c- числом ». Это приводит к некоторой ненужной неудобству в отношении фаз и передачи бесконечно малых параметров через операторы; это будет будет разрешено с изменением условных обозначений в геометрической трактовке ниже.)

Из связи оператора БРСТ с внешней производной и духа Фаддеева – Попова с формой Маурера – Картана мы уже знаем, что дух c соответствует (с точностью до фазы) -значной 1-форме на . Для того чтобы интегрирование такого термина как было значимым, анти-призрак должен нести представления этих двух алгебр Ли - вертикального идеала и калибровочной алгебры - двойные по отношению к тем, которые несет призрак. В геометрических терминах, должно быть послойно двойственными к и один рангу короткому бытия верхней формы на . Точно так же вспомогательное поле B должно иметь то же представление (с точностью до фазы), что и${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$${\displaystyle -i(\partial ^{\mu }{\bar {c}})D_{\mu }c}$${\displaystyle {\bar {c}}}$${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\bar {c}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\bar {c}}}$, а также представление двойственного к его тривиальному представлению на A _μ , т. е. B является послойно -двойственной волчаной формой на .${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$

Кратко остановимся на одночастичных состояниях теории в адиабатически развязанном пределе g  → 0. В пространстве Фока гамильтониана с фиксированной калибровкой есть два вида квантов, которые, как мы ожидаем, полностью лежат вне ядра системы. БРСТ-оператор: операторы анти-призрака Фаддеева – Попова и прямо поляризованного калибровочного бозона. Это связано с тем, что никакая комбинация содержащихся полей не аннулируется s _B, и мы добавили к лагранжиану член, нарушающий калибровку, который с точностью до расходимости равен${\displaystyle {\bar {c}}}$${\displaystyle {\bar {c}}}$

${\displaystyle s_{B}\left({\bar {c}}\left(i\partial ^{\mu }A_{\mu }-{\tfrac {1}{2}}\alpha _{0}s_{B}{\bar {c}}\right)\right).}$

Точно так же есть два вида квантов, которые будут полностью лежать в образе оператора BRST: кванты призрака Фаддеева – Попова c и скалярное поле B , которое «съедается» путем заполнения квадрата в функциональном интеграле, чтобы стать обратно поляризованный калибровочный бозон. Это четыре типа «нефизических» квантов, которые не появятся в асимптотических состояниях пертурбативного вычисления - если мы правильно соберем наши правила квантования.

Анти-призрак считается скаляром Лоренца ради инвариантности Пуанкаре в . Однако его (анти) закон коммутации относительно c - т.е. его предписание квантования, которое игнорирует теорему спиновой статистики , давая статистику Ферми-Дирака частице со спином 0, - будет определяться требованием, чтобы скалярное произведение на наше фоковское пространство асимптотических состояний сингулярно вдоль направлений, соответствующих повышающим и понижающим операторам некоторой комбинации небРСТ-замкнутых и БРСТ-точных полей. Это последнее утверждение является ключом к «BRST-квантованию» в отличие от простой «BRST-симметрии» или «BRST-преобразования».${\displaystyle -i(\partial ^{\mu }{\bar {c}})D_{\mu }c}$

(Необходимо дополнить на языке BRST-когомологий со ссылкой на трактовку Куго – Одзимы асимптотического пространства Фока.)

Связки датчиков и вертикальный идеал [ править ]

Чтобы отдать должное BRST-методу, мы должны переключиться с картины «алгеброзначные поля в пространстве Минковского», типичной для текстов по квантовой теории поля (и вышеприведенного изложения), на язык расслоений , в которых есть два вполне различные способы смотреть на калибровочное преобразовании: как изменение локальной секции (также известной в ОТО как пассивную трансформации ) или в качестве отката конфигурации поля вдоль вертикального диффеоморфизма от главного расслоения. Именно последний вид калибровочного преобразования входит в метод BRST. В отличие от пассивного преобразования, оно корректно определено глобально на главном расслоении с любой структурной группой над произвольным многообразием. (Однако для конкретности и актуальности для традиционной КТП в этой статье мы будем рассматривать случай главного калибровочного расслоения с компактным слоем над 4-мерным пространством Минковского.)

Главным манометрическое расслоение P над 4-многообразии М локально изоморфна U  ×  F , где U  ⊂  R ⁴ и волокна F изоморфна группе Ли G , то калибровочной группой теории поля (это изоморфизм многообразия структуры, а не групповые структуры, нет никакой специальной поверхности в Р , соответствующая 1 в G , так что более правильно говорить о том , что волокна F является G - торсор). Таким образом, (физическое) главное калибровочное расслоение связано с (математическим) главным G-расслоением, но имеет большую структуру. Его самым основным свойством как расслоения является «проекция на базовое пространство» π:  P  →  M , которая определяет «вертикальные» направления на P (те, которые лежат внутри слоя π ⁻¹ ( p ) над каждой точкой p в M ). Как калибровочное расслоение оно имеет левое действие группы G на P, которое уважает структуру слоя, и как главное расслоение оно также имеет правое действиегруппы G на P, которая также соблюдает структуру слоев и коммутирует с левым действием.

Левое действие структурной группы G на P соответствует простому изменению системы координат на отдельном слое. (Глобальное) правое действие R _g  :  P  →  P для фиксированного g в G соответствует действительному автоморфизму каждого слоя и, следовательно, отображению P в себя. Чтобы P можно было квалифицировать как главное G- расслоение, глобальное правое действие каждого g в G должно быть автоморфизмом по отношению к структуре многообразия Pс гладкой зависимостью от г -ie, диффеоморфизму Р  ×  G  →  P .

Существование глобального правильного действия групповой структуры выхватывает специальный класс правоинвариантных геометрических объектов на Р -those , которые не изменяется при отстранились вдоль R _г для всех значений г в G . Наиболее важные правоинвариантные объекты на главном расслоении являются правильными инвариантно векторными полями , которые образуют идеал в алгебре Ли о бесконечно малых диффеоморфизмах на P . Эти векторные поля на P , которые являются одновременно инвариантны справа и вертикальной формой идеальным из ${\displaystyle {\mathfrak {E}}}$${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$${\displaystyle {\mathfrak {E}}}$, Который имеет отношение ко всей расслоение P , аналогичные тем, что в алгебре Ли из калибровочной группы G к индивидуальной G торсора волокна F .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

«Теория поля» интерес определяется в терминах набора «полей» (гладкие отображения в различных векторных пространств) , определенных на основной калибровке пучка P . Различные поля несут разные представления калибровочной группы G и, возможно, других групп симметрий многообразия, таких как группа Пуанкаре . Можно определить пространство Pl из локальных полиномов в этих областях и их производных. Предполагается, что фундаментальная плотность лагранжиана теории лежит в подпространстве Pl ₀многочленов, которые действительнозначны и инвариантны относительно любых ненарушенных некалибровочных групп симметрий. Также предполагается, что он инвариантен не только относительно левого действия (пассивные преобразования координат) и глобального правого действия калибровочной группы, но также и относительно локальных калибровочных преобразований - обратного движения по бесконечно малому диффеоморфизму, связанному с произвольным выбором правого инвариантного вертикального векторного поля. .${\displaystyle \epsilon \in V{\mathfrak {E}}}$

Отождествление локальных калибровочных преобразований с конкретным подпространством векторных полей на многообразии P дает нам лучшую основу для работы с бесконечномерными бесконечно малыми величинами: дифференциальную геометрию и внешнее исчисление . Изменение скалярного поля при откате вдоль бесконечно малого автоморфизма фиксируется в производной Ли , а идея сохранения только члена, линейного в масштабе векторного поля, реализуется путем разделения его на внутреннюю производную и внешнюю производную . (В этом контексте «формы» и внешнее исчисление относятся исключительно к степеням свободы, которые двойственны векторным полям на калибровочном расслоении, а не к степеням свободы, выраженным в (греческих) тензорных индексах на базовом многообразии или (римских) матричных индексах на калибровочной алгебре.)

Производная Ли на многообразии - это глобально корректно определенная операция, в отличие от частной производной . Правильное обобщение теоремы Клеро к нетривиальным многообразию структуры Р задается скобкой Ли векторных полей и нильпотентности от внешней производной . И мы получаем важный инструмент для вычислений: обобщенную теорему Стокса , которая позволяет нам интегрировать по частям и отбрасывать поверхностный член до тех пор, пока подынтегральное выражение спадает достаточно быстро в направлениях, где есть открытая граница. (Это нетривиальное предположение, но с ним можно справиться с помощью методов перенормировки , таких какразмерная регуляризация до тех пор, пока поверхностный член может быть калибровочно инвариантным.)

Формализм BRST [ править ]

В теоретической физике , то БРСТ является методом реализации первого класса ограничений . Буквы BRST обозначают Бекки , Руэ, Стора и (независимо) Тютина, открывших этот формализм. Это сложный метод работы с квантовыми физическими теориями с калибровочной инвариантностью . Например, методы BRST часто применяются в калибровочной теории и квантованной общей теории относительности .

Квантовая версия [ править ]

Пространство состояний не является гильбертовым пространством (см. Ниже). Это векторное пространство является как Z 2 -градуироваиных и R -градуироваиным . Если вы хотите, вы можете думать об этом как Z ₂  ×  R - градуированное векторное пространство . Первая оценка - это четность, которая может быть как четной, так и нечетной. Последняя оценка - это номер призрака . Обратите внимание, что это R, а не Z, потому что, в отличие от классического случая, у нас могут быть нецелые числа-призраки. Операторы , действующие на этом пространстве также Z ₂ × R - градуированноеочевидным образом. В частности, Q нечетно и имеет призрачное число 1.

Пусть H _n - подпространство всех состояний с призрачным номером n . Тогда Q, ограниченный на H _n, отображает H _n в H _{n +1} . Поскольку Q ²  = 0, мы имеем коцепной комплекс, описывающий когомологии .

Физические состояния идентифицируются как элементы когомологий оператора Q , т. Е. Как векторы в Ker ( Q _{n +1} ) / Im ( Q _n ). Фактически теория BRST связана со стандартной резольвентой в когомологиях алгебр Ли .

Напомним, что пространство состояний Z ₂ -градуировано. Если A - чистый градуированный оператор, то преобразование BRST отображает A в [ Q ,  A ), где [,) - суперкоммутатор . BRST-инвариантные операторы - это операторы, для которых [ Q ,  A ) = 0. Поскольку операторы также градуируются призрачными числами, это BRST-преобразование также образует когомологии для операторов, поскольку [ Q , [ Q ,  A )) = 0.

Хотя формализм BRST является более общим, чем фиксация калибровки Фаддеева-Попова , в частном случае, когда он является производным от него, оператор BRST также полезен для получения правого якобиана, связанного с ограничениями, фиксирующими калибровку симметрии.

Оператор BRST - это суперсимметрия . Он генерирует супералгебру Ли с нульмерными даже частями и одномерной нечетной частью , натянутой на Q . [ Q ,  Q ) = { Q ,  Q } = 0, где [,) - суперкобка Ли (т.е. Q ²  = 0). Это означает, что Q действует как первообраз .

Поскольку Q является эрмитово и его квадрат равен нулю , но Q сам не равен нулю, это означает векторное пространство всех государств до когомологического сокращения имеет неопределенную норму ! Это означает, что это не гильбертово пространство .

Для более общих потоков, которые не могут быть описаны ограничениями первого класса, см. Формализм Баталина – Вилковиского .

Пример [ править ]

Для специального случая калибровочных теорий (обычного типа , описанные секциями одного главного G-расслоения ) с квантовым соединительной формой А, заряд БРСТА (иногда также BRS заряд) является оператором обычно обозначается Q .

Пусть -значными условиями фиксации калибровки являются, где ξ - положительное число, определяющее калибровку. Есть много других возможных креплений калибра, но они здесь не рассматриваются. Поля представляют собой -значную форму связи A , -значное скалярное поле с фермионной статистикой, b и c и a -значное скалярное поле с бозонной статистикой B. c занимается калибровочными преобразованиями, тогда как b и B имеют дело с фиксацией калибровки. На самом деле есть некоторые тонкости, связанные с установкой датчика из-за неоднозначности Грибова, но здесь они не будут рассматриваться.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G=\xi \partial ^{\mu }A_{\mu }}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle QA=Dc}$

где D - ковариантная производная .

${\displaystyle Qc={\tfrac {i}{2}}[c,c]_{L}}$

где [,] _L - скобка Ли .

${\displaystyle QB=0}$

${\displaystyle Qb=B}$

Q - это первообраз .

Плотность лагранжиана BRST

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4g^{2}}}\operatorname {Tr} [F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }]+{1 \over 2g^{2}}\operatorname {Tr} [BB]-{1 \over g^{2}}\operatorname {Tr} [BG]-{\xi \over g^{2}}\operatorname {Tr} [\partial ^{\mu }bD_{\mu }c]}$

Хотя плотность лагранжиана не является BRST-инвариантом, ее интеграл по всему пространству-времени, действие, является.

Оператор Q определяется как

${\displaystyle Q=c^{i}\left(L_{i}-{\frac {1}{2}}{{f_{i}}^{j}}_{k}b_{j}c^{k}\right)}$

где - призраки Фаддеева – Попова и анти -призраки (поля с отрицательным призрачным числом ) соответственно, L _i - бесконечно малые образующие группы Ли , а - ее структурные константы.${\displaystyle c^{i},b_{i}}$${\displaystyle f_{ij}{}^{k}}$

См. Также [ править ]

• Формализм Баталина – Вилковиского
• Квантовая хромодинамика

Ссылки [ править ]

Цитаты [ править ]

Учебник лечения [ править ]

• Глава 16 Peskin & Schroeder ( ISBN  0-201-50397-2 или ISBN 0-201-50934-2 ) применяет «симметрию BRST» к объяснению устранения аномалии в лагранжиане Фаддеева – Попова. Это хорошее начало для неспециалистов по КТП, хотя связи с геометрией опускаются, а рассмотрение асимптотического пространства Фока - это только набросок. 
• В главе 12 М. Гёкелера и Т. Шюккера ( ISBN 0-521-37821-4 или ISBN 0-521-32960-4 ) обсуждается связь между формализмом BRST и геометрией калибровочных расслоений. По сути, это похоже на статью Шюккера 1987 года .  

Математическая обработка [ править ]

• Фигероа-О'Фарилл, Дж. М.; Кимура, Т. (1991). "Геометрическое BRST-квантование I. Предварительное квантование" . Commun. Математика. Phys . Springer-Verlag . 136 (2): 209–229. Bibcode : 1991CMaPh.136..209F . DOI : 10.1007 / BF02100022 . ISSN  0010-3616 . Руководство по ремонту  1096113 . S2CID  120119621 .CS1 maint: ref=harv (link)
• Костант, Б .; Штернберг, С. (1987). «Симплектическая редукция, BRS-когомологии и бесконечномерные алгебры Клиффорда». Анна. Phys . Эльзевир . 176 (1): 49–113. Bibcode : 1987AnPhy.176 ... 49K . DOI : 10.1016 / 0003-4916 (87) 90178-3 .CS1 maint: ref=harv (link)

Первичная литература [ править ]

Оригинальные статьи БРСТ:

• Брандт, Фридеманн; Барнич, Гленн; Henneaux, Marc (2000), "Локальные BRST-когомологии в калибровочных теориях", Physics Reports. Обзорный раздел Physics Letters , 338 (5): 439–569, arXiv : hep-th / 0002245 , Bibcode : 2000PhR ... 338..439B , doi : 10.1016 / S0370-1573 (00) 00049-1 , ISSN  0370-1573 , Руководство по ремонту  1792979 , S2CID  119420167
• Becchi, C .; Руэ, А .; Стора, Р. (1974). «Абелева модель Хиггса-Киббла, унитарность S-оператора». Физика Письма Б . Elsevier BV. 52 (3): 344–346. DOI : 10.1016 / 0370-2693 (74) 90058-6 . ISSN  0370-2693 .
• Becchi, C .; Руэ, А .; Стора, Р. (1975). «Перенормировка абелевой модели Хиггса-Киббла» . Сообщения по математической физике . ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 42 (2): 127–162. DOI : 10.1007 / bf01614158 . ISSN  0010-3616 . S2CID  120552882 .
• Бекки, К; Руэ, А; Стора, Р. (1976). «Перенормировка калибровочных теорий» . Летопись физики . Elsevier BV. 98 (2): 287–321. DOI : 10.1016 / 0003-4916 (76) 90156-1 . ISSN  0003-4916 .
• И. В. Тютин, "Калибровочная инвариантность в теории поля и статистической физике в операторном формализме" , Препринт Физического института им. П. Н. Лебедева 39 (1975), arXiv: 0812.0580.
• Куго, Тайчиро; Одзима, Идзуми (1979). "Локальный ковариантный операторный формализм неабелевых калибровочных теорий и проблема конфайнмента кварков" . Приложение "Прогресс теоретической физики" . Издательство Оксфордского университета (ОУП). 66 : 1–130. DOI : 10.1143 / ptps.66.1 . ISSN  0375-9687 .
• Более доступная версия Куго-Одзима доступна в Интернете в серии статей, начиная с: Kugo, T .; Одзима, И. (1978-12-01). "Явно ковариантная каноническая формулировка теорий поля Янга-Миллса. I: - Общий формализм -" . Успехи теоретической физики . Издательство Оксфордского университета (ОУП). 60 (6): 1869–1889. DOI : 10,1143 / ptp.60.1869 . ISSN 0033-068X .  Это, вероятно, единственный лучший справочник по квантованию BRST на языке квантовой механики (в отличие от геометрического).
• Многое о взаимосвязи между топологическими инвариантами и BRST-оператором можно найти в: Э. Виттен, "Топологическая квантовая теория поля" , Commun. Математика. Phys. 117, 3 (1988), стр. 353–386

Альтернативные точки зрения [ править ]

• БРСТ-системы кратко анализируются с точки зрения теории операторов в: С.С. Хоружий, А.В. Воронин, «Замечания по математической структуре БРСТ-теорий» , Comm. Математика. Phys. 123, 4 (1989) стр. 677–685
• Теоретико-мерный взгляд на метод BRST можно найти в лекциях Карло Бекки 1996 года .

Внешние ссылки [ править ]

• Первые когомологии на arxiv.org