В математике и теоретической физике , то березиниан или superdeterminant является обобщением детерминанта на случай суперматрицами . Имя для Феликса Березина . Березиниан играет роль, аналогичную определителю, при рассмотрении изменений координат для интегрирования на супермногообразии .
Определение
Березиниан однозначно определяется двумя определяющими свойствами:
где ул ( Х ) обозначает суперслед из X . В отличие от классического определителя, березиниан определен только для обратимых суперматриц.
Простейший случай , чтобы рассмотреть это березиниан из суперматрицы с записями в поле K . Такие суперматрицы представляют собой линейные преобразования из в супер векторного пространства над K . Конкретная четная суперматрица - это блочная матрица вида
Такая матрица обратима тогда и только тогда , когда оба и D являются обратимыми матрицами над K . Березиниан X задается формулой
Для мотивации отрицательной экспоненты см. Формулу замены в нечетном случае.
В более общем смысле , рассматривать матрицы с элементами из суперкоммутативной алгебры R . Тогда четная суперматрица имеет вид
где A и D имеют четные записи, а B и C имеют нечетные записи. Такая матрица обратима тогда и только тогда , когда оба и D обратимы в коммутативном кольце R 0 (The даже подалгебры из R ). В этом случае березиниан дается выражением
или, что то же самое,
Эти формулы корректно определены, поскольку мы берем только определители матриц, элементы которых находятся в коммутативном кольце R 0 . Матрица
известен как дополнение Шура к A относительно
Нечетная матрица X может быть обратимой, только если количество четных измерений равно количеству нечетных измерений. В этом случае обратимость X эквивалентна обратимости JX , где
Тогда березиниан X определяется как
Характеристики
- Березиниец из всегда является единицей в кольце R 0 .
- где обозначает супертранспонирование .
Березинский модуль
Определитель эндоморфизма свободного модуля M может быть определен как индуцированное действие на 1-мерном высшей внешней степени М . В суперсимметричном случае нет высшей внешней степени, но все еще существует аналогичное определение березиниана следующим образом.
Предположим , что М является свободным модулем размерности ( р , д ) над R . Пусть буду (супер) симметричная алгебра S * ( M *) двойственные М * из М . Тогда автоморфизм M действует на ext- модуле
(который имеет размерность (1,0), если q четно, и размерность (0,1), если q нечетное)) как умножение на березиниан.
Смотрите также
Рекомендации
- Березин, Феликс Александрович (1966) [1965], Метод вторичного квантования , Чистая и прикладная физика, 24 , Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN 978-0-12-089450-5, Руководство по ремонту 0208930
- Делинь, Пьер ; Морган, Джон В. (1999), «Заметки о суперсимметрии (вслед за Джозефом Бернштейном)» , в Deligne, Pierre ; Этингоф, Павел; Freed, Daniel S .; Джеффри, Лиза С.; Каждан, Давид; Морган, Джон В .; Моррисон, Дэвид Р .; Виттен, Эдвард (ред.), Квантовые поля и струны: курс для математиков, Vol. 1 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 41–97, ISBN 978-0-8218-1198-6, Руководство по ремонту 1701597
- Манин, Юрий Иванович (1997), Калибровочная теория поля и комплексная геометрия (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-61378-7