В математике и теоретической физике , A суперматрица является Z 2 -градуированных аналог обычной матрицы . В частности, суперматрица - это блочная матрица 2 × 2 с элементами супералгебры (или суперкольца ). Наиболее важными примерами являются те, которые содержат элементы в коммутативной супералгебре (такой как алгебра Грассмана ) или обычном поле (рассматриваемом как чисто четная коммутативная супералгебра).
Суперматрицы возникают при изучении суперинейной алгебры, где они появляются как координатные представления линейных преобразований между конечномерными супервекторными пространствами или свободными супермодулями . У них есть важные приложения в области суперсимметрии .
Определения и обозначения
Пусть R - фиксированная супералгебра (предполагается, что она унитальная и ассоциативная ). Часто требуется, чтобы R также был суперкоммутативным (по существу по тем же причинам, что и в случае без оценки).
Пусть p , q , r и s - целые неотрицательные числа. Суперматрица размерности ( г | s ) × ( р | Q ) представляет собой матрицу с элементами из R , который разделен на 2 × 2 блочной структуры
с полными строками r + s и полными столбцами p + q (так что подматрица X 00 имеет размеры r × p, а X 11 имеет размеры s × q ). Обычную (неградуированную) матрицу можно рассматривать как суперматрицу, для которой q и s равны нулю.
Квадрат суперматрица один , для которых ( г | ев ) = ( р | д ). Это означает, что квадрат не только неразмеченной матрицы X , но и диагональных блоков X 00 и X 11 .
Даже суперматрица один , для которых диагональные блоки ( X 00 и X 11 ) состоят только из четных элементов R (т.е. однородных элементов четности 0) и недиагональные блоки ( X 01 и X 10 ) состоят исключительно из нечетных элементов из R .
Нечетная суперматрица один , для которого обратного имеет место диагональных блоки являются нечетными и недиагональными блоки даже.
Если скаляры R чисто четные, нет ненулевых нечетных элементов, поэтому четные суперматрицы являются блочно-диагональными , а нечетные суперматрицы - недиагональными.
Суперматрица однородна, если она четная или нечетная. Четности , | X | ненулевой однородной суперматрицы X равно 0 или 1 в зависимости от того, четная она или нечетная. Каждую суперматрицу можно однозначно записать как сумму четной и нечетной суперматрицы.
Алгебраическая структура
Суперматрицы совместимых размерностей можно складывать или умножать так же, как и обычные матрицы. Эти операции точно такие же, как и обычные, за исключением того, что они определяются только тогда, когда блоки имеют совместимые размеры. Можно также умножить суперматрицы на элементы R (слева или справа), однако, эта операция отличается от неклассифицируемой случае из - за наличия нечетных элементов в R .
Пусть M r | s × p | q ( R ) обозначает множество всех суперматриц над R размерности ( r | s ) × ( p | q ). Этот набор образует супермодуль над R при сложении суперматриц и скалярном умножении. В частности, если R супералгебра над полем K, то M r | s × p | д ( R ) образует супер векторное пространство над K .
Пусть M p | q ( R ) обозначает множество всех квадратных суперматриц над R размерности ( p | q ) × ( p | q ). Этот набор образует надкольцо при сложении и умножении суперматриц. Кроме того, если R - коммутативная супералгебра , то умножение суперматриц является билинейной операцией, так что M p | д ( R ) образует супералгебру над R .
Добавление
Две суперматрицы размерности ( r | s ) × ( p | q ) могут быть добавлены так же, как и в неклассифицированном случае, чтобы получить суперматрицу той же размерности. Добавление может выполняться поблочно, поскольку блоки имеют совместимые размеры. Легко видеть, что сумма двух четных суперматриц четна, а сумма двух нечетных суперматриц нечетна.
Умножение
Можно умножить суперматрицу с размерами ( r | s ) × ( p | q ) на суперматрицу с размерами ( p | q ) × ( k | l ), как в неклассифицированном случае, чтобы получить матрицу размерности ( r | s ) × ( k | l ). Умножение может быть выполнено на уровне блока очевидным образом:
Отметим, что блоки суперматрицы произведения Z = XY имеют вид
Если X и Y однородны с четностями | X | и | Y | то XY однородно с четностью | X | + | Y |, То есть произведение двух четных или двух нечетных суперматриц является четным, в то время как произведение четной и нечетной суперматриц является нечетным.
Скалярное умножение
Скалярное для суперматриц отличается от неклассифицируемой случае из - за наличия нечетных элементов в R . Пусть X - суперматрица. Левое скалярное умножение на α ∈ R определяется равенством
где внутренние скалярные умножения - обычные неклассифицированные и обозначает инволюцию класса в R . На однородных элементах это задается формулой
Аналогично определяется правое скалярное умножение на α:
Если α четно, то и обе эти операции такие же, как и в неклассифицированных версиях. Если α и X однородны, то оба α · X и X · α однородны с четностью | α | + | X |, Кроме того, если R суперкоммутативно, то
Как линейные преобразования
Обычные матрицы можно рассматривать как координатные представления линейных карт между векторными пространствами (или свободными модулями ). Точно так же суперматрицы можно рассматривать как координатные представления линейных отображений между супер-векторными пространствами (или свободными супермодулями ). Однако есть важное различие в градуированном случае. Гомоморфизм из одного супервекторного пространства в другое по определению сохраняет градуировку (т. Е. Отображает четные элементы в четные элементы и нечетные элементы в нечетные элементы). Координатное представление такого преобразования всегда является четной суперматрицей. Нечетные суперматрицы соответствуют линейным преобразованиям, которые меняют градуировку. Общие суперматрицы представляют собой произвольное линейное преобразование без градации. Такие преобразования все еще важны в градуированном случае, хотя и в меньшей степени, чем градуированные (четные) преобразования.
Супермодуль М над супералгеброй R является свободным , если он имеет свободную однородную основу. Если такой базис состоит из p четных элементов и q нечетных элементов, то говорят , что M имеет ранг p | q . Если R суперкоммутативно, ранг не зависит от выбора базиса, как и в случае без оценки.
Пусть R p | q - пространство супервекторов столбцов - суперматриц размерности ( p | q ) × (1 | 0). Это, естественно, правый R -супермодуль, называемый правым координатным пространством . Тогда суперматрицу T размерности ( r | s ) × ( p | q ) можно рассматривать как правое R -линейное отображение
где действие T на R p | q - это просто суперматричное умножение (это действие обычно не является левым R -линейным, поэтому мы думаем о R p | q как о правом супермодуле).
Пусть M - свободный правый R -супермодуль ранга p | q и N - свободный правый R -супермодуль ранга r | с . Пусть ( е я ) быть свободным основанием для М и ( е к ) быть свободным основанием для N . Такой выбор базисов эквивалентен выбору изоморфизмов из M в R p | q и от N до R r | с . Любая (без оценки) линейная карта
можно записать в виде суперматрицы ( r | s ) × ( p | q ) относительно выбранных базисов. Компоненты ассоциированной суперматрицы определяются по формуле
Блочное разложение суперматрицы T соответствует разложению M и N на четные и нечетные подмодули:
Операции
Многие операции с обычными матрицами можно обобщить на суперматрицы, хотя обобщения не всегда очевидны или просты.
Супертранспозиция
Supertranspose из суперматрицы является Z 2 -градуированных аналогами транспонированного . Позволять
- однородная суперматрица ( r | s ) × ( p | q ). Супертранспонирование X - это суперматрица ( p | q ) × ( r | s )
где т обозначает обычное транспонирование A . Это можно распространить на произвольные суперматрицы по линейности. В отличие от обычного транспонирования, супертранспозиция обычно не является инволюцией , а имеет порядок 4. Двойное применение супертранспозиции к суперматрице X дает
Если R суперкоммутативно, супертранспозиция удовлетворяет тождеству
Транспонирование четности
Четности транспонирование из суперматрицы является новой операцией без неклассифицируемого аналога. Позволять
- суперматрица ( r | s ) × ( p | q ). Четность, транспонированная к X, является суперматрицей ( s | r ) × ( q | p )
То есть блок ( i , j ) транспонированной матрицы является блоком (1− i , 1− j ) исходной матрицы.
Операция транспонирования четности подчиняется тождествам
также как и
где st обозначает операцию суперпереноса.
Supertrace
Суперслед квадратной суперматрицы является Z 2 -градуированным аналогом следа . Он определяется на однородных суперматрицах формулой
где tr обозначает обычный след.
Если R суперкоммутативно, суперслед удовлетворяет тождеству
для однородных суперматрицами X и Y .
Березинский
Березиниан (или superdeterminant ) квадратная суперматрица является Z 2 -градуированным аналогом определителя . Березиниан только хорошо определен на четной, обратимых суперматрицах над коммутативной супералгеброй R . В этом случае он задается формулой
где det обозначает обычный определитель (квадратных матриц с элементами коммутативной алгебры R 0 ).
Березиниан обладает свойствами, аналогичными обычному определителю. В частности, он мультипликативен и инвариантен относительно супертранспозиции. Он связан с суперследом формулой
Рекомендации
- Варадараджан, VS (2004). Суперсимметрия для математиков: Введение . Конспект лекций Куранта по математике 11 . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-3574-2.
- Делинь, Пьер; Морган, Джон В. (1999). «Заметки о суперсимметрии (вслед за Джозефом Бернштейном)». Квантовые поля и струны: курс математиков . 1 . Американское математическое общество. С. 41–97. ISBN 0-8218-2012-5.