В математике , супер векторное пространство является- градуированное векторное пространство , то есть векторное пространство над полем с заданным разложением подпространств степени и оценка . Изучение супервекторных пространств и их обобщений иногда называют суперинейной алгеброй . Эти объекты находят свое основное применение в теоретической физике, где они используются для описания различных алгебраических аспектов суперсимметрии .
Определения
Супер векторное пространство - это -градуированное векторное пространство с декомпозицией [1]
Векторы, которые являются элементами или же называются однородными . Четности ненулевого однородного элемента, обозначаемая, является или же в зависимости от того, находится ли он в или же ,
Векторы с четностью 0 называются четными, а с четностью 1 - нечетными . В теоретической физике четные элементы иногда называют бозе-элементами или бозонами , а нечетные элементы - ферми-элементами или фермионными. Определения супервекторных пространств часто даются только в терминах однородных элементов, а затем расширяются на неоднородные элементы по линейности.
Если это конечномерен и размеры а также находятся а также соответственно, то Говорят, что имеет размер . Стандартное суперкоординатное пространство, обозначенное, - обычное координатное пространство где четное подпространство натянуто на первое координатные базисные векторы, а нечетное пространство покрыто последними .
Однородное подпространство в супер векторном пространстве является линейным подпространством , которое натянут на однородных элементах. Однородные подпространства сами по себе являются супервекторными пространствами (с очевидной градуировкой).
Для любого супер-векторного пространства , можно определить пространство с обращенной четностью быть супервекторным пространством с перестановками четных и нечетных подпространств. Это,
Линейные преобразования
Гомоморфизм , морфизм в категории супер векторных пространств, от одного супер векторного пространства в другое является класс сохраняющих линейное преобразование . Линейное преобразование между супер-векторными пространствами сохраняет оценку, если
То есть он отображает четные элементы к даже элементам и нечетные элементы к нечетным элементам . Изоморфизм супер векторных пространств является взаимно однозначным гомоморфизмом. Множество всех гомоморфизмов обозначается . [2]
Каждое линейное преобразование, не обязательно сохраняющее оценку, из одного супервекторного пространства в другое может быть однозначно записано как сумма преобразования, сохраняющего оценку, и преобразования, меняющего оценку, то есть преобразования такой, что
Объявление преобразований, сохраняющих оценку, четными, а преобразований, изменяющих оценку, - нечетными, дает пространство для всех линейных преобразований из к , обозначенный и назвал внутренним , структура супервекторного пространства. В частности, [3]
Реверсивное преобразование от к можно рассматривать как гомоморфизм из к пространству с обратной четностью , чтобы
Операции над супер-векторными пространствами
Обычные алгебраические конструкции для обычных векторных пространств имеют аналог в настройке супервекторных пространств.
Двойное пространство
Сопряженное пространство супер векторного пространства можно рассматривать как супервекторное пространство, считая четными функционалами те, которые обращаются в нуль на а нечетные функционалы - те, которые обращаются в нуль на . [4] Аналогично, можно определить быть пространством линейных отображений из к (базовое поле как чисто ровное супервекторное пространство) с градацией, приведенной в предыдущем разделе.
Прямая сумма
Прямые суммы супервекторных пространств строятся, как в неградуированном случае, с градуировкой, заданной формулой
Тензорное произведение
Также можно построить тензорные произведения супервекторных пространств. Здесь аддитивная структуравступает в игру. Базовое пространство такое же, как и в случае без оценки, с оценкой по формуле
где индексы в . В частности, есть
Супермодули
Так же, как можно обобщить векторные пространства над полем на модули над коммутативным кольцом , можно обобщить супервекторные пространства над полем до супермодулей над суперкоммутативной алгеброй (или кольцом).
Обычная конструкция при работе с супервекторными пространствами заключается в расширении поля скаляров до суперкоммутативной алгебры Грассмана . Учитывая поле позволять
Обозначим алгебру грассманов генерируемый по антикоммутирующие нечетные элементы . Любой супер вектор пространство над может быть встроен в модуль над рассматривая (градуированное) тензорное произведение
Категория супер векторных пространств
Категория супер векторных пространств , обозначаемая, - категория , объектами которой являются супервекторные пространства (над фиксированным полем), морфизмы которых являются четными линейными преобразованиями (т. е. сохраняющими градацию).
Категорический подход к суперинейной алгебре состоит в том, чтобы сначала сформулировать определения и теоремы, касающиеся обычных (неклассифицированных) алгебраических объектов на языке теории категорий, а затем перенести их непосредственно в категорию супервекторных пространств. Это приводит к трактовке «суперобъектов», таких как супералгебры , супералгебры Ли , супергруппы и т. Д., Которая полностью аналогична их неклассифицированным аналогам.
Категория является моноидальной категорией с супертензорным произведением в качестве моноидального произведения и чисто четным супервекторным пространствомкак единичный объект. Оператор инволютивного плетения
дано
на однородных элементах, витки в симметричную моноидальную категорию . Этот изоморфизм коммутативности кодирует «правило знаков», необходимое для суперинейной алгебры. Он фактически говорит, что знак минус поднимается всякий раз, когда два нечетных элемента меняются местами. Не нужно беспокоиться о знаках в категориальной настройке, если вышеупомянутый оператор используется там, где это уместно.
также является замкнутой моноидальной категорией с внутренним объектом Hom ,, заданное супервекторным пространством всех линейных отображений из к . Обычный набор есть четное подпространство в нем:
Дело в том, что замкнуто означает, что функтор будет сопряжен слева функтору, учитывая естественную биекцию
Супералгебра
Супералгеброй над можно описать как супер векторное пространство с картой умножения
это гомоморфизм супервекторного пространства. Это эквивалентно требованию [5]
Ассоциативность и существование тождества могут быть выражены с помощью обычных коммутативных диаграмм, так что единичная ассоциативная супералгебра надявляется моноидом в категории.
Заметки
- ^ Варадараджан 2004 , стр. 83
- ^ Варадараджан 2004 , стр. 83
- ^ Варадараджан 2004 , стр. 83
- ^ Варадараджан 2004 , стр. 84
- ^ Варадараджан 2004 , стр. 87
Рекомендации
- Делинь, П .; Морган, JW (1999). «Заметки о суперсимметрии (вслед за Джозефом Бернштейном)» . Квантовые поля и струны: курс математиков . 1 . Американское математическое общество . С. 41–97. ISBN 0-8218-2012-5- через IAS .
- Варадараджан, VS (2004). Суперсимметрия для математиков: Введение . Конспект лекций Куранта по математике. 11 . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3574-6.