В математике , A супермодулем является Z 2 - градуированный модуль над Надкольцом или супералгебре . Супермодули возникают в суперлинейной алгебре, которая представляет собой математическую основу для изучения концепции суперсимметрии в теоретической физике .
Супермодули над коммутативной супералгеброй можно рассматривать как обобщение супер векторных пространств над (чисто четными) полями K . Супермодули часто играют более важную роль в суперинейной алгебре, чем супервекторные пространства. Причина в том, что часто необходимо или полезно расширить поле скаляров, включив в него нечетные переменные. При этом мы переходим от полей к коммутативным супералгебрам и от векторных пространств к модулям.
- В этой статье все супералгебры считаются ассоциативными и унитальными, если не указано иное.
Формальное определение
Пусть A - фиксированная супералгебра . Правый супермодуль над А является правым модуль Е над А с прямой суммой разложением (как абелевая группа )
такое, что умножение на элементы A удовлетворяет
для всех i и j в Z 2 . Тогда подгруппы E i являются правыми A 0 -модулями.
Элементы E i называются однородными . Четности однородного элемента х , обозначается через | x |, равно 0 или 1 в зависимости от того, находится ли он в E 0 или E 1 . Элементы четности 0 называются четными, а элементы четности 1 - нечетными . Если a - однородный скаляр и x - однородный элемент E, то | x · a | однородна и | x · a | = | х | + | а |,
Аналогично, левые супермодули и супербимодули определяются как левые модули или бимодули над A, чьи скалярные умножения очевидным образом соответствуют градуировкам. Если является суперкоммутативны , то каждый левый или правый супермодулем над А можно рассматривать как супербимодуль по установке
для однородных элементов a ∈ A и x ∈ E и продолжая по линейности. Если A чисто четно, это сводится к обычному определению.
Гомоморфизмы
Гомоморфизм между супермодулями является модульным гомоморфизмом , который сохраняет градуировку. Пусть E и F будут правые супермодули над A . Карта
является гомоморфизмом супермодулей, если
для всех в ∈ A и всех х , у ∈ E . Множество всех гомоморфизмов модулей из E в F обозначается Hom ( E , F ).
Во многих случаях необходимо или удобно рассматривать более широкий класс морфизмов между супермодулями. Пусть A - суперкоммутативная алгебра. Тогда все супермодули над A естественным образом можно рассматривать как супербимодули. Для супермодулей E и F пусть Hom ( E , F ) обозначает пространство всех правых A-линейных отображений (т. Е. Всех модульных гомоморфизмов из E в F, рассматриваемых как неградуированные правые A -модули). На Hom ( E , F ) существует естественная градуировка , где четные гомоморфизмы - это те, которые сохраняют градуировку
а нечетные гомоморфизмы - это те, которые обращают градуировку
Если φ ∈ Hom ( E , F ) и a ∈ A однородны, то
То есть четные гомоморфизмы являются как правыми, так и левыми линейными, тогда как нечетные гомоморфизмы являются правыми линейными, но левыми антилинейными (относительно градуирующего автоморфизма).
Множеству Hom ( E , F ) можно дать структуру бимодуля над A , положив
С указанной выше градуировкой Hom ( E , F ) становится супермодулем над A , четная часть которого является множеством всех обычных гомоморфизмов супермодулей
На языке теории категорий класс всех супермодулей над A образует категорию с гомоморфизмами супермодулей в качестве морфизмов. Эта категория является симметричной моноидальной замкнутой категорией относительно супертензорного произведения, внутренний функтор Hom которой задается Hom .
Рекомендации
- Делинь, Пьер ; Джон В. Морган (1999). «Заметки о суперсимметрии (вслед за Джозефом Бернштейном)». Квантовые поля и струны: курс математиков . 1 . Американское математическое общество. С. 41–97. ISBN 0-8218-2012-5.
- Манин, Ю.И. (1997). Теория калибровочного поля и комплексная геометрия ((2-е изд.) Изд.). Берлин: Springer. ISBN 3-540-61378-1.
- Варадараджан, VS (2004). Суперсимметрия для математиков: Введение . Конспект лекций Куранта по математике 11 . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-3574-2.