Березинский

В математике и теоретической физике , то березиниан или superdeterminant является обобщением детерминанта на случай суперматрицами . Имя для Феликса Березина . Березиниан играет роль, аналогичную определителю, при рассмотрении изменений координат для интегрирования на супермногообразии .

Определение [ править ]

Березиниан однозначно определяется двумя определяющими свойствами:

• ${\ Displaystyle \ OperatorName {Ber} (XY) = \ Operatorname {Ber} (X) \ OperatorName {Ber} (Y)}$
• ${\ displaystyle \ operatorname {Ber} (e ^ {X}) = e ^ {\ operatorname {str (X)}} \,}$

где ул ( Х ) обозначает суперслед из X . В отличие от классического определителя, березиниан определен только для обратимых суперматриц.

Простейший случай , чтобы рассмотреть это березиниан из суперматрицы с записями в поле K . Такие суперматрицы представляют собой линейные преобразования из в супер векторного пространства над K . Конкретная четная суперматрица - это блочная матрица вида

${\ displaystyle X = {\ begin {bmatrix} A & 0 \\ 0 & D \ end {bmatrix}}}$

Такая матрица обратима тогда и только тогда , когда оба и D являются обратимыми матрицами над K . Березиниан X задается формулой

${\ Displaystyle \ OperatorName {Ber} (X) = \ det (A) \ det (D) ^ {- 1}}$

Для мотивации отрицательной экспоненты см. Формулу замены в нечетном случае.

В более общем смысле , рассматривать матрицы с элементами из суперкоммутативной алгебры R . Тогда четная суперматрица имеет вид

${\ displaystyle X = {\ begin {bmatrix} A&B \\ C&D \ end {bmatrix}}}$

где A и D имеют четные записи, а B и C имеют нечетные записи. Такая матрица обратима тогда и только тогда , когда оба и D обратимы в коммутативном кольце R ₀ (The даже подалгебры из R ). В этом случае березиниан дается выражением

${\ Displaystyle \ OperatorName {Ber} (X) = \ det (A-BD ^ {- 1} C) \ det (D) ^ {- 1}}$

или, что то же самое,

${\ displaystyle \ operatorname {Ber} (X) = \ det (A) \ det (D-CA ^ {- 1} B) ^ {- 1}.}$

Эти формулы корректно определены, поскольку мы берем только определители матриц, элементы которых находятся в коммутативном кольце R ₀ . Матрица

${\ displaystyle D-CA ^ {- 1} B \,}$

известен как дополнение Шура к A относительно${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}.}$

Нечетная матрица X может быть обратимой, только если количество четных измерений равно количеству нечетных измерений. В этом случае обратимость X эквивалентна обратимости JX , где

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}0&I\\-I&0\end{bmatrix}}.}$

Тогда березиниан X определяется как

${\displaystyle \operatorname {Ber} (X)=\operatorname {Ber} (JX)=\det(C-DB^{-1}A)\det(-B)^{-1}.}$

Свойства [ править ]

• Березиниан всегда является единицей в кольце R ₀ .${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ber} (X^{-1})=\operatorname {Ber} (X)^{-1}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ber} (X^{st})=\operatorname {Ber} (X)}$где обозначает супертранспонирование .${\displaystyle X^{st}}$${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ber} (X\oplus Y)=\operatorname {Ber} (X)\mathrm {Ber} (Y)}$

Березинский модуль [ править ]

Определитель эндоморфизма свободного модуля M может быть определен как индуцированное действие на 1-мерном высшей внешней степени М . В суперсимметричном случае нет высшей внешней степени, но все еще существует аналогичное определение березиниана следующим образом.

Предположим , что М является свободным модулем размерности ( р , д ) над R . Пусть буду (супер) симметричная алгебра S * ( M *) двойственные М * из М . Тогда автоморфизм M действует на ext- модуле

${\displaystyle Ext_{A}^{p}(R,A)}$

(который имеет размерность (1,0), если q четно, и размерность (0,1), если q нечетное)) как умножение на березиниан.

См. Также [ править ]

• Березинская интеграция

Ссылки [ править ]

• Березин, Феликс Александрович (1966) [1965], Метод вторичного квантования , Чистая и прикладная физика, 24 , Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN 978-0-12-089450-5, Руководство по ремонту  0208930
• Делинь, Пьер ; Морган, Джон В. (1999), «Заметки о суперсимметрии (вслед за Джозефом Бернштейном)» , в Deligne, Pierre ; Этингоф, Павел; Freed, Daniel S .; Джеффри, Лиза С.; Каждан, Давид; Морган, Джон В .; Моррисон, Дэвид Р .; Виттен, Эдвард (ред.), Квантовые поля и струны: курс для математиков, Vol. 1 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 41–97, ISBN 978-0-8218-1198-6, Руководство по ремонту  1701597
• Манин, Юрий Иванович (1997), Калибровочная теория поля и комплексная геометрия (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-61378-7