Березин интеграл

В математической физике , то интеграл Березин , названный в честь Феликса Березина (также известный как грассмановом интеграл , после Грассман ), является способом определения интеграции для функций грассмановых переменных (элементы на внешней алгебре ). Это не интеграл в смысле Лебега ; Слово «интеграл» используется потому, что интеграл Березина обладает свойствами, аналогичными интегралу Лебега, и потому, что он расширяет интеграл по путям в физике, где он используется как сумма по историям для фермионов .

Определение [ править ]

Пусть - внешняя алгебра многочленов от антикоммутирующих элементов над полем комплексных чисел. (Порядок генераторов фиксирован и определяет ориентацию внешней алгебры.)${\ displaystyle \ Lambda ^ {n}}$${\ displaystyle \ theta _ {1}, \ dots, \ theta _ {n}}$${\ displaystyle \ theta _ {1}, \ dots, \ theta _ {n}}$

Одна переменная [ править ]

Интеграл Березина по единственной переменной грассмановом определяется линейный функционал${\ displaystyle \ theta = \ theta _ {1}}$

${\ Displaystyle \ int [af (\ theta) + bg (\ theta)] \, d \ theta = a \ int f (\ theta) \, d \ theta + b \ int g (\ theta) \, d \ тета, \ quad a, b \ in \ mathbb {C}}$

где мы определяем

${\displaystyle \int \theta \,d\theta =1,\qquad \int \,d\theta =0}$

чтобы :

${\displaystyle \int {\frac {\partial }{\partial \theta }}f(\theta )\,d\theta =0.}$

Эти свойства однозначно определяют интеграл и влекут за собой

${\displaystyle \int (a\theta +b)\,d\theta =a,\quad a,b\in \mathbb {C} .}$

Обратите внимание, что это наиболее общая функция, поскольку переменные Грассмана равны нулю, поэтому не могут иметь ненулевые члены за пределами линейного порядка.${\displaystyle f(\theta )=a\theta +b}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle f(\theta )}$

Несколько переменных [ править ]

Интеграл Березина на определен как единственный линейный функционал со следующими свойствами:${\displaystyle \Lambda ^{n}}$${\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}\cdot {\textrm {d}}\theta }$

${\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}\theta _{n}\cdots \theta _{1}\,\mathrm {d} \theta =1,}$

${\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}{\frac {\partial f}{\partial \theta _{i}}}\,\mathrm {d} \theta =0,\ i=1,\dots ,n}$

для любого where означает левую или правую частную производную. Эти свойства однозначно определяют интеграл.${\displaystyle f\in \Lambda ^{n},}$${\displaystyle \partial /\partial \theta _{i}}$

Обратите внимание, что в литературе существуют различные соглашения: некоторые авторы вместо этого определяют ^[1]

${\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}\theta _{1}\cdots \theta _{n}\,\mathrm {d} \theta :=1.}$

Формула

${\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}f(\theta )\mathrm {d} \theta =\int _{\Lambda ^{1}}\left(\cdots \int _{\Lambda ^{1}}\left(\int _{\Lambda ^{1}}f(\theta )\,\mathrm {d} \theta _{1}\right)\,\mathrm {d} \theta _{2}\cdots \right)\mathrm {d} \theta _{n}}$

выражает закон Фубини. В правой части внутренний интеграл одночлена равен где ; интеграл обращается в нуль. Аналогично вычисляется интеграл по и т. Д.${\displaystyle f=g(\theta ')\theta _{1}}$${\displaystyle g(\theta '),}$${\displaystyle \theta '=\left(\theta _{2},\ldots ,\theta _{n}\right)}$${\displaystyle f=g(\theta ')}$${\displaystyle \theta _{2}}$

Замена грассмановых переменных [ править ]

Пусть - нечетные многочлены от некоторых антисимметричных переменных . Якобиан - это матрица${\displaystyle \theta _{i}=\theta _{i}\left(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n}\right),\ i=1,\ldots ,n,}$${\displaystyle \xi _{1},\ldots ,\xi _{n}}$

${\displaystyle D=\left\{{\frac {\partial \theta _{i}}{\partial \xi _{j}}},\ i,j=1,\ldots ,n\right\},}$

где относится к правой производной ( ). Формула изменения координат выглядит так:${\displaystyle \partial /\partial \xi _{j}}$${\displaystyle \partial (\theta _{1}\theta _{2})/\partial \theta _{2}=\theta _{1},\;\partial (\theta _{1}\theta _{2})/\partial \theta _{1}=-\theta _{2}}$

${\displaystyle \int f(\theta )\mathrm {d} \theta =\int f(\theta (\xi ))(\det D)^{-1}\mathrm {d} \xi .}$

Интегрирование четных и нечетных переменных [ править ]

Определение [ править ]

Рассмотрим теперь алгебру функций вещественных коммутирующих переменных и антикоммутирующих переменных (которая называется свободной супералгеброй размерности ). Интуитивно функция является функцией m четных (бозонных, коммутирующих) переменных и n нечетных (фермионных, антикоммутирующих) переменных. Более формально, элемент является функцией аргумента, который изменяется в открытом множестве со значениями в алгебре. Предположим, что эта функция непрерывна и обращается в нуль в дополнении к компакту. Интеграл Березина - это число${\displaystyle \Lambda ^{m\mid n}}$${\displaystyle x=x_{1},\ldots ,x_{m}}$${\displaystyle \theta _{1},\ldots ,\theta _{n}}$${\displaystyle (m|n)}$${\displaystyle f=f(x,\theta )\in \Lambda ^{m\mid n}}$${\displaystyle f=f(x,\theta )\in \Lambda ^{m\mid n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \Lambda ^{n}.}$${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{m}.}$

${\displaystyle \int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x,\theta )\mathrm {d} \theta \mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} ^{m}}\mathrm {d} x\int _{\Lambda ^{n}}f(x,\theta )\mathrm {d} \theta .}$

Замена четных и нечетных переменных [ править ]

Пусть преобразование координат задается выражением где четные и нечетные полиномы зависимости от четных переменных Матрица Якоби этого преобразования имеет блочную форму:${\displaystyle x_{i}=x_{i}(y,\xi ),\ i=1,\ldots ,m;\ \theta _{j}=\theta _{j}(y,\xi ),j=1,\ldots ,n,}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \theta _{j}}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle y.}$

${\displaystyle \mathrm {J} ={\frac {\partial (x,\theta )}{\partial (y,\xi )}}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}},}$

где каждая четная производная коммутирует со всеми элементами алгебры ; нечетные производные коммутируют с четными элементами и антикоммутируют с нечетными элементами. Элементы диагональных блоков и являются четными, а элементы недиагональных блоков являются нечетными функциями, где снова означают правые производные .${\displaystyle \partial /\partial y_{j}}$${\displaystyle \Lambda ^{m\mid n}}$${\displaystyle A=\partial x/\partial y}$${\displaystyle D=\partial \theta /\partial \xi }$${\displaystyle B=\partial x/\partial \xi ,\ C=\partial \theta /\partial y}$${\displaystyle \partial /\partial \xi _{j}}$

Теперь нам понадобится березиниан (или супердетерминант ) матрицы , которая является четной функцией${\displaystyle \mathrm {J} }$

${\displaystyle \mathrm {Ber~J} =\det \left(A-BD^{-1}C\right)\det D^{-1}}$

определяется, когда функция обратима в. Предположим, что действительные функции определяют гладкое обратимое отображение открытых множеств в, и линейная часть отображения обратима для каждого . Общий закон преобразования для интеграла Березина имеет вид${\displaystyle \det D}$${\displaystyle \Lambda ^{m\mid n}.}$${\displaystyle x_{i}=x_{i}(y,0)}$${\displaystyle F:Y\to X}$${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \xi \mapsto \theta =\theta (y,\xi )}$${\displaystyle y\in Y.}$

${\displaystyle \int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x,\theta )\mathrm {d} \theta \mathrm {d} x=\int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x(y,\xi ),\theta (y,\xi ))\varepsilon \mathrm {Ber~J~d} \xi \mathrm {d} y=\int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x(y,\xi ),\theta (y,\xi ))\varepsilon {\frac {\det \left(A-BD^{-1}C\right)}{\det D}}\mathrm {d} \xi \mathrm {d} y,}$

где ) - знак ориентации карты . Суперпозиция определяется очевидным образом, если функции не зависят от В общем случае запишем где - четные нильпотентные элементы и положим${\displaystyle \varepsilon =\mathrm {sgn} (\det \partial x(y,0)/\partial y}$${\displaystyle F.}$${\displaystyle f(x(y,\xi ),\theta (y,\xi ))}$${\displaystyle x_{i}(y,\xi )}$${\displaystyle \xi .}$${\displaystyle x_{i}(y,\xi )=x_{i}(y,0)+\delta _{i},}$${\displaystyle \delta _{i},i=1,\ldots ,m}$${\displaystyle \Lambda ^{m\mid n}}$

${\displaystyle f(x(y,\xi ),\theta )=f(x(y,0),\theta )+\sum _{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x(y,0),\theta )\delta _{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}(x(y,0),\theta )\delta _{i}\delta _{j}+\cdots ,}$

где ряд Тейлора конечен.

Полезные формулы [ править ]

Следующие формулы для гауссовых интегралов часто используется в пути интегральной постановке в квантовой теории поля :

• ${\displaystyle \int \exp \left[-\theta ^{T}A\eta \right]\,d\theta \,d\eta =\det A}$

с будучи сложной матрицей.${\displaystyle A}$${\displaystyle n\times n}$

• ${\displaystyle \int \exp \left[-{\tfrac {1}{2}}\theta ^{T}M\theta \right]\,d\theta ={\begin{cases}\mathrm {Pf} \,M&n{\mbox{ even}}\\0&n{\mbox{ odd}}\end{cases}}}$

с будучи сложной кососимметрична матрицей, будучи пфаффиан из , который выполняет .${\displaystyle M}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathrm {Pf} \,M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (\mathrm {Pf} \,M)^{2}=\det M}$

В приведенных выше формулах используются обозначения . Из этих формул следуют другие полезные формулы (см. Приложение A в ^[2] ):${\displaystyle d\theta =d\theta _{1}\cdots \,d\theta _{n}}$

• ${\displaystyle \int \exp \left[\theta ^{T}A\eta +\theta ^{T}J+K^{T}\eta \right]\,d\eta _{1}\,d\theta _{1}\dots d\eta _{n}d\theta _{n}=\det A\,\,\exp[-K^{T}A^{-1}J]}$

с обратимой матрицей. Обратите внимание, что все эти интегралы имеют форму статистической суммы .${\displaystyle A}$${\displaystyle n\times n}$

История [ править ]

Математическая теория интеграла с коммутирующими и антикоммутирующими переменными была изобретена и развита Феликсом Березиным . ^[3] Некоторые важные ранее выводы были сделаны Дэвидом Джоном Кэндлином ^[4] в 1956 году. В эти разработки внесли свой вклад другие авторы, в том числе физики Халатников ^[5] (хотя его статья содержит ошибки), Мэтьюз и Салам ^[6] и Мартин . ^[7]

Литература [ править ]

• Теодор Воронов: Геометрическая теория интеграции на супермногообразиях , Harwood Academic Publisher, ISBN  3-7186-5199-8
• Березин, Феликс Александрович: Введение в суперанализ , Springer, Нидерланды, ISBN 978-90-277-1668-2 

См. Также [ править ]

• Супермногообразие
• Березинский

Ссылки [ править ]