Число Грассмана

В математической физике число Грассмана , названное в честь Германа Грассмана (также называемое антикоммутирующим числом или сверхчислом ), является элементом внешней алгебры над комплексными числами. ^[1] Частный случай одномерной алгебры известен как двойственное число . Числа Грассмана вначале использовались в физике для выражения представления интеграла по путям для фермионных полей , хотя теперь они широко используются в качестве основы для суперпространства , на котором построена суперсимметрия .

Неформальное обсуждение [ править ]

Числа Грассмана порождаются антикоммутирующими элементами или объектами. Идея объектов, препятствующих коммутированию, возникает во многих областях математики: они обычно встречаются в дифференциальной геометрии , где дифференциальные формы препятствуют коммутации. Дифференциальные формы обычно определяются в терминах производных на многообразии; тем не менее, можно представить себе ситуацию, когда кто-то «забывает» или «игнорирует» существование любого лежащего в основе многообразия, и «забывает» или «игнорирует», что формы были определены как производные, и вместо этого просто размышляет о ситуации, когда у человека есть объекты которые препятствуют коммутации и не имеют других заранее определенных или предполагаемых свойств. Такие объекты образуют алгебру , в частности алгебру Грассмана.или внешняя алгебра.

Числа Грассмана являются элементами этой алгебры. Название «числа» оправдано тем фактом, что они ведут себя не так, как «обычные» числа: их можно складывать, умножать и делить: они ведут себя почти как поле . Можно сделать больше: можно рассматривать многочлены от чисел Грассмана, что приводит к идее голоморфных функций . Можно взять производные от таких функций, а затем также рассмотреть антипроизводные. Каждая из этих идей может быть тщательно определена и достаточно хорошо соответствует эквивалентным концепциям из обычной математики. На этом аналогия не заканчивается: существует целая ветвь суперматематики , где аналогом евклидова пространства является суперпространство , аналогом многообразия являетсясупермногообразие , то аналог алгебры Ли является супералгеброй Ли и так далее. Числа Грассмана - это основная конструкция, которая делает все это возможным.

Конечно, можно было бы реализовать аналогичную программу в любой другой области или даже в кольце , и это действительно широко и обычно делается в математике. Однако суперматематика приобретает особое значение в физике, потому что антикоммутирующее поведение может быть четко отождествлено с квантово-механическим поведением фермионов: антикоммутация - это антикоммутация принципа исключения Паули . Таким образом, изучение чисел Грассмана и суперматематики в целом во многом определяется их полезностью в физике.

В частности, в квантовой теории поля или, более узко, во втором квантовании работают с лестничными операторами, которые создают многочастичные квантовые состояния. Лестничные операторы для фермионов создают кванты поля, которые обязательно должны иметь антисимметричные волновые функции , поскольку это обусловлено принципом исключения Паули. В этой ситуации число Грассмана сразу и непосредственно соответствует волновой функции, содержащей некоторое (обычно неопределенное) количество фермионов.

Когда число фермионов фиксировано и конечно, явная связь между антикоммутационными соотношениями и спинорами задается с помощью спиновой группы . Эта группа может быть определена как подмножество векторов единичной длины в алгебре Клиффорда и естественным образом разлагается на антикоммутирующие спиноры Вейля . И антикоммутация, и выражение в виде спиноров естественным образом возникают для спиновой группы. По сути, числа Грассмана можно рассматривать как отбрасывание отношений, возникающих из-за спина, и сохранение только отношений, обусловленных антикоммутацией.

Общее описание и свойства [ править ]

Числа Грассмана - это отдельные элементы или точки внешней алгебры, порожденные набором из n грассмановых переменных или грассмановых направлений или суперзарядов , причем n может быть бесконечным. Использование термина «переменные Грассмана» исторически; они не являются переменными сами по себе ; их лучше понимать как базисные элементы алгебры с единицей . Терминология исходит из того факта, что основное использование состоит в том, чтобы определять интегралы, и что переменная интегрирования имеет грассмановозначные значения и, следовательно, из-за злоупотребления языком называется грассмановой переменной. Точно так же понятие направления происходит от понятия${\ Displaystyle \ {\ theta _ {я} \}}$суперпространство , где обычное евклидово пространство расширено дополнительными грассмановозначными «направлениями». Название заряда происходит от понятия зарядов в физике , которые соответствуют генераторам физических симметрий (согласно теореме Нётер ). Воспринимаемая симметрия состоит в том, что умножение на одну переменную Грассмана меняет градуировку между фермионами и бозонами; это обсуждается более подробно ниже.${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$

Переменные грассмановы являются базисными векторами из в векторном пространстве (размерности п ). Они образуют алгебру над полем , причем полем обычно считаются комплексные числа , хотя можно рассматривать и другие поля, такие как вещественные числа. Алгебра - это алгебра с единицей , а генераторы антикоммутируют:

${\ displaystyle \ theta _ {i} \ theta _ {j} = - \ theta _ {j} \ theta _ {i}}$

Поскольку являются элементами векторного пространства над комплексными числами, они по определению коммутируют с комплексными числами. То есть, для комплексных х , один имеет${\ displaystyle \ theta _ {я}}$

${\ displaystyle \ theta _ {i} x = x \ theta _ {i}.}$

Квадраты генераторов исчезают:

${\ Displaystyle (\ тета _ {я}) ^ {2} = 0,}$ поскольку ${\ displaystyle \ theta _ {i} \ theta _ {i} = - \ theta _ {i} \ theta _ {i}.}$

Другими словами, переменная Грассмана представляет собой ненулевой квадратный корень из нуля.

Формальное определение [ править ]

Формально, пусть V - n- мерное комплексное векторное пространство с базисом . Алгебра Грассмана, переменные Грассмана которой равны , определяется как внешняя алгебра V , а именно${\displaystyle \theta _{i},i=1,\ldots ,n}$${\displaystyle \theta _{i},i=1,\ldots ,n}$

${\displaystyle \Lambda (V)=\mathbb {C} \oplus V\oplus \left(V\wedge V\right)\oplus \left(V\wedge V\wedge V\right)\oplus \cdots \oplus \underbrace {\left(V\wedge V\wedge \cdots \wedge V\right)} _{n}\equiv \mathbb {C} \oplus \Lambda ^{1}V\oplus \Lambda ^{2}V\oplus \cdots \oplus \Lambda ^{n}V,}$

где - внешний продукт, а - прямая сумма . Тогда отдельные элементы этой алгебры называются числами Грассмана . Стандартно опускать символ клина при написании числа Грассмана после того, как определение установлено. Общее число Грассмана можно записать как${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle \wedge }$

${\displaystyle z=c_{0}+\sum _{k=1}^{n}\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}},}$

где - строго возрастающие k -наборы с , а - комплексные, полностью антисимметричные тензоры ранга k . Опять же, можно увидеть, что конечные произведения , и (подлежащие ), и более крупные конечные произведения играют роль базисных векторов подпространств .${\displaystyle (i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k})}$${\displaystyle 1\leq i_{j}\leq n,1\leq j\leq k}$${\displaystyle c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}}$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle \theta _{i}\wedge \theta _{j}=\theta _{i}\theta _{j}}$${\displaystyle i<j}$${\displaystyle \Lambda }$

Алгебра Грассмана, порожденная n линейно независимыми грассмановыми переменными, имеет размерность 2 ⁿ ; это следует из биномиальной теоремы, примененной к указанной выше сумме, и того факта, что ( n + 1) -кратное произведение переменных должно обращаться в нуль по антикоммутационным соотношениям, приведенным выше. Размерность задается как n выберите k , биномиальный коэффициент . Частный случай n = 1 называется двойственным числом и был введен Уильямом Клиффордом в 1873 году.${\displaystyle \Lambda ^{k}V}$

В случае, когда V бесконечномерно, указанный выше ряд не заканчивается и определяется

${\displaystyle \Lambda _{\infty }(V)=\mathbb {C} \oplus \Lambda ^{1}V\oplus \Lambda ^{2}V\oplus \cdots .}$

Общий элемент теперь

${\displaystyle z=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}{\frac {1}{k!}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}}\equiv z_{B}+z_{S}=z_{B}+\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}{\frac {1}{k!}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}},}$

где иногда называют телом и как душа в supernumber .${\displaystyle z_{B}}$${\displaystyle z_{S}}$ ${\displaystyle z}$

Свойства [ править ]

В конечномерном случае (используя ту же терминологию) душа нильпотентна , т. Е.

${\displaystyle z_{S}^{n+1}=0,}$

но это не обязательно так в бесконечномерном случае. ^[2]

Если V конечномерно, то

${\displaystyle \theta _{i}z=0,\quad 1\leq i\leq n\Rightarrow z=c\theta _{1}\theta _{2}\cdots \theta _{n},\quad c\in \mathbb {C} ,}$

и если V бесконечномерно ^[3]

${\displaystyle \theta _{a}z=0\quad \forall a\Rightarrow z=0.}$

Конечные и счетные наборы генераторов [ править ]

В литературе обычно встречаются два различных типа сверхчислов: с конечным числом образующих, обычно n = 1, 2, 3 или 4, и со счетно-бесконечным числом образующих. Эти две ситуации не так разрознены, как может показаться на первый взгляд. Во-первых, в определении супермногообразия один вариант использует счетно-бесконечное число образующих, но затем использует топологию, которая эффективно уменьшает размерность до небольшого конечного числа. ^{[4] [5]}

В другом случае можно начать с конечного числа генераторов, но в ходе вторичного квантования возникает потребность в бесконечном количестве генераторов: по одному на каждый возможный импульс, который может нести фермион.

Инволюция, выбор поля [ править ]

Комплексные числа обычно выбираются в качестве поля для определения чисел Грассмана, в отличие от действительных чисел, так как это позволяет избежать некоторых странных действий при введении сопряжения или инволюции . Обычно для чисел Грассмана вводят оператор * такой, что:

${\displaystyle \theta =\theta ^{*}}$

когда генератор, и такой, что${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle (\theta _{i}\theta _{j}\cdots \theta _{k})^{*}=\theta _{k}\cdots \theta _{j}\theta _{i}}$

Затем можно рассмотреть числа Грассмана z, для которых это число , и назвать их (супер) действительными , а те, которые подчиняются, - (супер) мнимыми . Эти определения выполняются очень хорошо, даже если числа Грассмана используют действительные числа в качестве основного поля; однако в таком случае многие коэффициенты принудительно обращаются в нуль, если количество генераторов меньше 4. Таким образом, по соглашению, числа Грассмана обычно определяются над комплексными числами.${\displaystyle z=z^{*}}$${\displaystyle z^{*}=-z}$

Возможны другие соглашения; вышеизложенное иногда называют соглашением ДеВитта; Роджерс работает над инволюцией. Согласно этому соглашению, у реальных сверхчислов всегда есть действительные коэффициенты; тогда как в соглашении ДеВитта реальные сверхчисла могут иметь как действительные, так и мнимые коэффициенты. Несмотря на это, обычно проще всего работать с соглашением ДеВитта.${\displaystyle \theta ^{*}=i\theta }$

Анализ [ править ]

Произведения нечетного числа грассмановых переменных антикоммутируют друг с другом; такой товар часто называют а-номером . Произведения четного числа грассмановых переменных коммутируют (со всеми числами Грассмана); их часто называют c- числами. Из-за злоупотребления терминологией a-число иногда называют антикоммутирующим c-числом . Это разложение на четные и нечетные подпространства обеспечивает градуировку алгебры; таким образом, алгебры Грассмана являются прототипами суперкоммутативных алгебр . Обратите внимание, что c-числа образуют подалгебру , а a-числа - нет (они являются подпространством, а не подалгеброй).${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \Lambda }$

Определение чисел Грассмана позволяет проводить математический анализ по аналогии с анализом комплексных чисел. То есть можно определять суперголоморфные функции , определять производные, а также определять интегралы. Некоторые из основных понятий более подробно описаны в статье о двойных числах .

Как правило, обычно проще определить суперсимметричные аналоги обычных математических объектов, работая с числами Грассмана с бесконечным числом генераторов: большинство определений становятся простыми и могут быть взяты из соответствующих бозонных определений. Например, одно число Грассмана можно рассматривать как порождающее одномерное пространство. Векторное пространство, m -мерное суперпространство , затем появляется как m -кратное декартово произведение этих одномерных ^{[ требуется пояснение ].} Можно показать, что это по существу эквивалентно алгебре с m образующими, но это требует работы. ^{[6] [}${\displaystyle \Lambda .}$^{требуется разъяснение ]}

Спинорное пространство [ править ]

Спинорная пространство определяются как грассманов или внешней алгебра пространства Вейля спиноров (и анти-спиноры ), таким образом, что волновые функции п фермионов принадлежат .${\displaystyle \textstyle {\bigwedge }W}$ ${\displaystyle W}$${\displaystyle {\overline {W}}}$${\displaystyle \textstyle {\bigwedge }^{n}W}$

Интеграция [ править ]

Интегралы по числам Грассмана известны как интегралы Березина (иногда называемые интегралами Грассмана). Чтобы воспроизвести интеграл по путям для поля Ферми, определение интегрирования Грассмана должно иметь следующие свойства:

• линейность

${\displaystyle \int \,[af(\theta )+bg(\theta )]\,d\theta =a\int \,f(\theta )\,d\theta +b\int \,g(\theta )\,d\theta }$

• формула частичного интегрирования

${\displaystyle \int \left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}f(\theta )\right]\,d\theta =0.}$

Более того, разложение Тейлора любой функции заканчивается после двух членов, потому что , и квантовая теория поля дополнительно требует инвариантности относительно сдвига переменных интегрирования , так что${\displaystyle f(\theta )=A+B\theta }$${\displaystyle \theta ^{2}=0}$${\displaystyle \theta \to \theta +\eta }$

${\displaystyle \int d\theta f(\theta )=\int d\theta (A+B\theta )\equiv \int d\theta ((A+B\eta )+B\theta ).}$

Единственная линейная функция, удовлетворяющая этому условию, - это константа (обычно 1), умноженная на B , поэтому Березин определил ^[7]

${\displaystyle \int d\theta (A+B\theta )\equiv B.}$

Это приводит к следующим правилам интегрирования грассманова величины:

• ${\displaystyle \int \,1\,d\theta =0}$
• ${\displaystyle \int \,\theta \,d\theta =1.}$

Таким образом, мы заключаем, что операции интегрирования и дифференцирования числа Грассмана идентичны.

В пути интегральной формулировке в квантовой теории поля следующих гауссов интеграл грассмановы величин необходим для фермионных полех антикоммутирующих с будучи N  ×  N матрицей:

${\displaystyle \int \exp \left[-\theta ^{\rm {T}}A\eta \right]\,d\theta \,d\eta =\det A}$.

Соглашения и сложная интеграция [ править ]

Неоднозначность возникает при интегрировании по нескольким числам Грассмана. Соглашение, которое сначала выполняет самый внутренний интеграл, дает

${\displaystyle \int d\theta \int d\eta \;\eta \theta =+1.}$

Некоторые авторы также определяют комплексное сопряжение, подобное эрмитову сопряжению операторов, ^[8]

${\displaystyle (\theta \eta )^{*}\equiv \eta ^{*}\theta ^{*}=-\theta ^{*}\eta ^{*}.}$

С дополнительным условием

${\displaystyle \theta ={\frac {\theta _{1}+i\theta _{2}}{\sqrt {2}}},\quad \theta ^{*}={\frac {\theta _{1}-i\theta _{2}}{\sqrt {2}}},}$

мы можем рассматривать θ и θ * как независимые числа Грассмана и принимать

${\displaystyle \int d\theta ^{*}d\theta \,(\theta \theta ^{*})=1.}$

Таким образом, гауссовский интеграл оценивается как

${\displaystyle \int d\theta ^{*}d\theta \,e^{-\theta ^{*}b\theta }=\int d\theta ^{*}d\theta \,(1-\theta ^{*}b\theta )=\int d\theta ^{*}d\theta \,(1+\theta \theta ^{*}b)=b}$

а дополнительный множитель θθ * эффективно вводит множитель (1 / b) , как и обычный гауссиан,

${\displaystyle \int d\theta ^{*}d\theta \,\theta \theta ^{*}\,e^{-\theta ^{*}b\theta }=1.}$

После доказательства унитарности мы можем вычислить общий гауссовский интеграл, включающий эрмитову матрицу B с собственными значениями b _i , ^{[8] [9]}

${\displaystyle \left(\prod _{i}\int d\theta _{i}^{*}d\theta _{i}\right)e^{-\theta _{i}^{*}B_{ij}\theta _{j}}=\left(\prod _{i}\int d\theta _{i}^{*}d\theta _{i}\right)e^{-\theta _{i}^{*}b_{i}\theta _{i}}=\prod _{i}b_{i}=\det B.}$

Матричные представления [ править ]

Числа Грассмана могут быть представлены матрицами . Рассмотрим, например, алгебру Грассмана, порожденную двумя числами Грассмана и . Эти числа Грассмана могут быть представлены матрицами 4 × 4:${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle \theta _{2}}$

${\displaystyle \theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}\qquad \theta _{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}}\qquad \theta _{1}\theta _{2}=-\theta _{2}\theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}.}$

В общем, алгебра Грассман на п генераторов могут быть представлены 2 ^п × 2 ^п квадратных матриц. Физически эти матрицы можно рассматривать как операторы повышающие действующий на гильбертовом пространстве из п одинаковых фермионов в оккупации числовой основе. Поскольку число заполнения для каждого фермиона равно 0 или 1, существует 2 ⁿ возможных базисных состояний. Математически эти матрицы можно интерпретировать как линейные операторы, соответствующие левому внешнему умножению на самой алгебре Грассмана.

Обобщения [ править ]

Есть некоторые обобщения чисел Грассмана. Для этого требуются правила с точки зрения N переменных, такие как:

${\displaystyle \theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{N}}+\theta _{i_{N}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots +\cdots =0}$

где индексы суммируются по всем перестановкам, так что, как следствие:

${\displaystyle (\theta _{i})^{N}=0\,}$

для некоторого N  > 2. Они полезны для вычисления hyperdeterminants из N тензоров , где N  > 2 , а также для вычисления дискриминантов полиномов для степеней больших чем 2. Существует также предельный случай , как N стремится к бесконечности , в котором можно определить один случай аналитические функции от чисел. Например, в случае N  = 3 одно число Грассмана может быть представлено матрицей:

${\displaystyle \theta ={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}}\qquad }$

так что . Для двух чисел Грассмана матрица будет иметь размер 10 × 10.${\displaystyle \theta ^{3}=0}$

Например, правила для N  = 3 с двумя переменными Грассмана подразумевают:

${\displaystyle \theta _{1}(\theta _{2})^{2}+\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}+(\theta _{2})^{2}\theta _{1}=0}$

так что можно показать, что

${\displaystyle \theta _{1}(\theta _{2})^{2}=-{\frac {1}{2}}\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}=(\theta _{2})^{2}\theta _{1}}$

и так

${\displaystyle (\theta _{1})^{2}(\theta _{2})^{2}=(\theta _{2})^{2}(\theta _{1})^{2}=\theta _{1}(\theta _{2})^{2}\theta _{1}=\theta _{2}(\theta _{1})^{2}\theta _{2}=-{\frac {1}{2}}\theta _{1}\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}=-{\frac {1}{2}}\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}\theta _{1},}$

что дает определение гипердетерминанта тензора 2 × 2 × 2 как

${\displaystyle (A^{abc}\theta _{a}\eta _{b}\psi _{c})^{4}=\det(A)(\theta _{1})^{2}(\theta _{2})^{2}(\eta _{1})^{2}(\eta _{2})^{2}(\psi _{1})^{2}(\psi _{2})^{2}.}$

См. Также [ править ]

• Грассманиан
• Герман Грассманн (лингвист и математик)
• Суперпространство
• Внешняя алгебра

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• ДеВитт, Б. (1984). Супермногообразия . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-42377-5.CS1 maint: ref=harv (link)

• Пескин, Майкл Э .; Шредер, Дэниел В. (1995). Введение в квантовую теорию поля (5. (исправленное) изд. Ред.). Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. ISBN 9780201503975.CS1 maint: ref=harv (link)

• Роджерс, Элис (2007a). Супермногообразия: теория и приложения (PDF) . World Scientific. Глава 1. DOI : 10.1142 / 1878 . ISBN 978-981-3203-21-1.CS1 maint: ref=harv (link)

• Роджерс, Элис (2007). Супермногообразия: теория и приложения . World Scientific. ISBN 978-981-3203-21-1.CS1 maint: ref=harv (link)